第27章 《反比例函数》单元测试卷（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 《反比例函数》单元测试通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖从概念理解到跨知识综合的完整路径，适配单元复习需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数定义、图像性质、简单计算|单选题1-5题直接考查概念辨析，填空题11-13题结合几何图形基础应用，夯实基础| |提升层|图像与几何综合、性质推理|单选题6-8题涉及三角形面积与函数关系，解答题17-20题融合图像分析与计算，培养推理意识| |综合层|跨函数综合、实际应用、动态问题|单选题9-10题结合一次函数交点，解答题21-25题涉及实际情境建模（如小孔成像）与动态几何，发展模型意识与创新意识|

《反比例函数》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，需根据反比例函数形如（为常数，，）的形式逐一判断选项，即可作答． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合反比例函数定义 B、符合（）的形式，是反比例函数 C、中的次数为，不符合反比例函数中次数为的要求 D、分母为多项式，不是单独的，不符合反比例函数定义 故选：B． 2．与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3） 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的关系，应该满足函数解析式，即点的横纵坐标的积等于比例系数k．把各个点代入检验即可． 【详解】与点（2，﹣3）的横纵坐标乘积为-6， 四个答案中只有A的横纵坐标的积等于-6， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义，形如（为常数，且）的函数是反比例函数．逐一检查各选项，只有B选项符合此定义． 【详解】解：反比例函数的形式为，其中为常数且． 选项A：，是正比例函数，不是反比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，即，但未指定为常数且，不一定是反比例函数； 选项D：，是与成反比，不是与成反比，不是反比例函数； 故选：B． 4．反比例函数的图象一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象上的点的坐标的特征是关键． 根据反比例函数的性质，点在函数的图象上，需满足，逐一判断即可． 【详解】解：在反比例函数 中，， 对于选项A，，故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：C． 5．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限， ∴2﹣k＜0， 解得k＞2， 故选择：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限” ． 6．如图，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 【答案】C 【分析】根据AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为2，得到，解之即可得到答案． 【详解】∵AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为2， ∴, ∴k=4， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k=4， 故选：C． 【点睛】此题考查反比例函数比例系数k的几何意义，掌握此类问题的解题方法是解题的关键． 7．根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合．根据图①所示的程序得，当时，，当时，，可判断结论①错误；设，，则，，，可判断结论②正确；时，，y随x的增大而减小，可判断结论③错误；根据，可判断结论④正确；设，根据有实数解，可判断结论⑤正确． 【详解】解：根据图①所示的程序得，当时，，当时，， 故①结论错误； 设，， 则，， ∴， 故②结论正确； 时，，y随x的增大而减小， 故③结论错误； ，， ∴， ∴， 故④结论正确； 设， ∴，， ∴， ∴，， 令，得：， 即， 有实数解， ∴存在． 故⑤结论正确； ∴正确结论是②④⑤． 故选A． 8．已知反比例函数图像上三点的坐标分别是，，，若，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知点代入反比例函数，求出的值，确定的符号，进而判断反比例函数图像所在的象限，明确不同象限内点的横、纵坐标的符号特征即可． 【详解】解：将代入反比例函数得， ∴函数图象在二、四象限， 当时，时， ． 9．如图，在中，，D为边上的中点，连接．在平面直角坐标系中，矩形满足，E、F分别是边上的点，且，将沿着翻折，的对应边与x轴交于H点．已知反比例函数和分别经过点G、点F，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，折叠的性质，正方形的性质和全等三角形的判定和性质，利用折叠和全等进行转化是关键． 作于Q，则四边形是矩形，利用折叠的性质得，证明，结合，根据反比例函数系数k的几何意义得的值． 【详解】解：在中，，D为边上的中点， ∴， 作于Q，则四边形是矩形， ∵矩形满足， ∴， ∵，将沿着翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得、的值是解题的关键．把点坐标代入反比例函数解析式可求得，则可求得反比例函数解析式，则可求得点坐标，把、坐标代入一次函数解析式即可求得、的值． 【详解】解：点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 在反比例函数图象上， ∴， ， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， 故选：D． 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=8，则k的值为___________ ． 【答案】 【分析】作轴于，得出，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点， 设，把代入中，得， ， 由勾股定理，得，即， 解得（负值舍去）． ． 把代入，得， 故答案是：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象得交点、勾股定理、反比例函数解析式的求法，解题的关键是求出点的坐标是解决问题的关键． 12．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…、分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、…，得直角三角形、、、、…，并设其面积分别为、、、…，则的值为________． 【答案】 【分析】根据反比例函数中k的几何意义再结合图象即可解答． 【详解】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，． 依此类推： ， 当时， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为 ，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即． 13．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 14．如图，矩形的顶点O在坐标原点，顶点分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋得到矩形．若点O的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比函数k的几何意义，解一元二次方程，图形的旋转，设，则可得两点坐标，由反比函数k的几何意义即可求解．解题关键是k等于反比例函数上的点的纵坐标与横坐标乘积的一半． 【详解】解：设则， 根据反比函数k的几何意义可得：， 即， 解得：， 两点在第一象限， ， ， 点在反比例函数图像上， ． 15．如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为______； （2）若的面积为，则______． 【答案】 5 2 【分析】（1）根据点A和点B在反比例函数图象上，即可得到； （2）根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答． 本题主要考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：（1）∵点和在反比例函数（）的图象上， ∴， 故答案为：5 （2）∵， ∴， ∴， 过点B作轴于点D，交于点E，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 令， 则， 解得：，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2． 16．定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 【答案】 或 或 【分析】本题考查二次函数，反比例函数，根据反比例函数图象上的点，二次函数图象上点的坐标特点的特征结合新定义，利用数形结合和分类讨论思想逐一进行判断即可． 【详解】解：设函数的“和谐点”坐标为， 根据“和谐点”定义，， 又， 所以， 解得或， 当时，； 当时，， 所以，函数的“和谐点”坐标为或； （2）二次函数，其顶点坐标为， 因为该二次函数是“和谐二次函数”，所以顶点是“和谐点”，即， 解得， 所以二次函数的表达式为 对于二次函数，其对称轴为直线， 当时，； 当时，， 因为线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点，所以有两种情况：如图， ①当时，点Q在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有两个公共点，； 当时，点P在二次函数图象上，此时线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 所以，当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． ②当时，线段与二次函数图象有且只有一个公共点． 综上，线段与二次函数图象有且只有一个公共点满足的条件是或． 故答案为：或；或 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，，. (1)若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式； (2)通过计算判断点 是否在该函数的图像上； (3)若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)点在函数的图像上； (3)， 【分析】（1）根据顶点B的坐标为，，得出点、的坐标分别为、，将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）将当时，，得出点在函数的图像上； （3）根据反比例函数图像的性质，当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小，分别待定系数法求反比例函数解析式即可求解． 【详解】（1）∵两条直角边、分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为，，. ∴点、的坐标分别为、， ∵（）的图像经过点， ∴. ∴反比例函数的解析式为， （2）∵点，当时，， ∴点在函数的图像上； （3）∵当反比例函数的图像经过点A、C时，m的值最大；当经过点B时，m的值最小， ∴当反比例函数的图像经过点时，，解得； 当经过点B时，，解得， ∴ 的最小值为，最大值为 故答案为： ，． 【点睛】本题考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 18．（本题6分）如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 【答案】(1) (2)或6 【分析】本题主要考查了一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）分点在线段上和点在线段上两种情况，分别求解即可； （2）画出函数、的图像，结合图像即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，，，， ∴，， 当点在线段上时，可有，， 此阶段 ∴的面积； 当点在线段上时，如下图， 可有，， ∴， ∴的面积． 综上所述，关于的函数表达式为； （2）结合（1），画出函数图像如下图所示， 由图像可知，当时，或6． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，进而求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可； （2）求出点的坐标，进而求出的长，根据三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解:令，解得， ∴点A的坐标为， 由，则， ∴点B的坐标为， ∵B为线段的中点， ∴，将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题知直线分别交函数与的图象于点E，F， ∴点E在上，令，得，解得， ∴点E的坐标为． 点F在上，令，得，解得， ∴点F的坐标为． ∵，点C到直线的距离为， ∴． 20．（本题8分）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b (1)填空：________，________； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出函数的一条性质：______________； (4)若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接） 【答案】(1)，1 (2) 根据表格，描点，连线，画出的图象如图． (3)当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 (4) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出的值，再求出和的函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据图象，进行作答即可； （4）图象法进行判断即可． 【详解】（1）∵，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； （2）略 （3）由图象可知：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； （4）由图象可知，当，。 21．（本题8分）大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求解函数表达式是解答的关键． （1）利用待定系数法进行计算，即可解答； （2）把代入解析式中进行计算，即可解答； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把，代入中得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）解：把代入中得：， ∴火焰的像高为． 22．（本题10分）【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可； （3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可． 【详解】（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与几何综合，利用一线三等角模型求得点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作轴于点，则，证明求得点坐标，再利用中点公式求得点坐标，代入即可解答． 【详解】（1）解：将点分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解： 点， ， 如图，过点作轴于点，则． 四边形是正方形， ． ． ， ． ， ， ， ， 点的坐标为， 点， 点的坐标为，即， 反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点， ． 24．（本题14分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用系数待定法求出反比例函数解析式即可． （2）由轴可得出点C的纵坐标为2，进而代入反比例函数求出x的值即可得出点C的坐标． （3）分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，即可求出，由反比例函数的性质可知，，进而可得出，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， ∴反比例函数的表达式为 （2）解轴， 点C的纵坐标为2， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得， ∴点C的坐标为； （3）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N， 点A的坐标为，点C的坐标为， ， 由反比例函数的性质可知，， ． 25．（本题14分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3)2 【分析】本题考查一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法、不等式解集、三角形面积等知识． （1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，即得当时，S有最大值，且最大值是2． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， ∴一次函数解析式是， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点， 一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 由图可得，的解集为：或； （3）解：∵点P是线段上一点， ∴设，， ∴， ∵，且， ∴当时，S有最大值，且最大值是2． 故答案为：2． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《反比例函数》 单元测试 （考试时间：120分钟；分值：150） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共10题，每小题4分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．与点（2，﹣3）在同一反比例函数图象上的点是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣1，﹣6） C．（6，1） D．（﹣2，﹣3） 3．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象一定经过的点是（    ）． A． B． C． D． 5．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞﹣2 D．k＞2 6．如图，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．若△AOB的面积为2，则k的值为（     ） A．2 B．-2 C．4 D．-4 7．根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②．若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作平行x轴交图象于点P，Q，连接，则以下结论：①时，；②的面积为定值；③时，y随x的增大而增大；④；⑤存在．其中正确结论是（　　） A．②④⑤ B．①②⑤ C．③④⑤ D．②③⑤ 8．已知反比例函数图像上三点的坐标分别是，，，若，则下列式子正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，D为边上的中点，连接．在平面直角坐标系中，矩形满足，E、F分别是边上的点，且，将沿着翻折，的对应边与x轴交于H点．已知反比例函数和分别经过点G、点F，若，则的值为（    ） A．8 B．4 C．3 D．2 10．若反比例函数与一次函数的图象相交于点，，则b的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题（本大题共6题，每小题4分，满分24分。） 11．如图，点M是函数y=x与y=的图象在第一象限内的交点，OM=8，则k的值为___________ ． 12．如图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、…、分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点、、、…，得直角三角形、、、、…，并设其面积分别为、、、…，则的值为________． 13．如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 14．如图，矩形的顶点O在坐标原点，顶点分别在x轴，y轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，，）的图象上，，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋得到矩形．若点O的对应点恰好落在此反比例函数图象上，则k的值为_____． 15．如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．    （1）的值为______； （2）若的面积为，则______． 16．定义：在平面直角坐标系中，如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“和谐点”，例如：为函数的“和谐点”．若二次函数图象的顶点为“和谐点”，则我们称这个二次函数为“和谐二次函数”．例如二次函数就是“和谐二次函数”． （1）函数的“和谐点”是______． （2）已知二次函数是“和谐二次函数”，点，，若线段与这个“和谐二次函数”的图象有且只有一个公共点时，则的取值范围是______． 三、解答题（本大题共9题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．（本题6分）如图，在直角坐标系中 位于第一象限，两条直角边 、 分别平行于 轴、 轴，顶点 的坐标为，，. (1)若反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的解析式； (2)通过计算判断点 是否在该函数的图像上； (3)若反比例函数 的图像与 有公共点， 的最小值为 ，最大值为 ． 18．（本题6分）如图，在等腰中，，，点，分别在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿折线方向运动，到达点时停止运动，设点的运动时间为秒，的面积记为． (1)请求出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)若函数，结合函数图像，请直接写出时对应的的取值． 19．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴和反比例函数的图象交于点A，B，C，B为线段的中点，过点作y轴的垂线分别交函数与的图象于E，F两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积． 20．（本题8分）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．下表是函数部分自变量与对应的函数值． x 0 1 2 y a 1 2 b (1)填空：________，________； (2)描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)结合图象，写出函数的一条性质：______________； (4)若点在这个函数的图象上，且，请写出的大小关系：________．（用“”连接） 21．（本题8分）大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． 22．（本题10分）【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 23．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象恰好经过正方形的中心点（即对角线的交点）． (1)求一次函数的表达式． (2)求的值． 24．（本题14分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 25．（本题14分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $