精品解析：陕西省宝鸡市第一中学2025-2026学年七年级下学期6月期末数学试题

2025－2026学年度第二学期期末考试（卷） 七年级数学 （时间120分钟 试题分值120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ） A. 阿基米德螺旋线 B. 太极图 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称的定义“在平面内,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”进行判定即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 故选：D ． 2. 华为Mate20系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个纳米工艺的AI芯片，拥有个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的非零数，绝对值小于的非零数可以记作的形式，其中，等于将原数变为时，原数的小数点向右移动的位数． 【详解】解：． 3. 如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据对顶角相等即可得． 【详解】解：如图，， ， 由对顶角相等得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 4. 一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率．据此解答即可． 【详解】解：根据题意可得：一个袋子中装有5个球，其中有2个白球，3个红球， 随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是． 故选：C． 5. 若是完全平方式，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首末两项是和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和乘积的倍． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴这两个数是和， ∴， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的倍，是完全平方式的主要结构特征，熟记完全平方公式，注意积的倍的符号，有正负两种情况，避免漏解． 6. 如图，在与中，，再添加一个下列条件，能判断的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用全等三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A、 ，不能证明，故不正确； B、 ，，根据证明，故正确； C、，，不等证明，故不正确； D、 ，则，不能证明，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握三角形全等的条件是解题的关键． 7. 中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 8. 如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件证明，从而得证，最后根据全等三角形的性质和平行的性质即可求解． 【详解】和中，， ， ，，，，①正确， ，， ，③正确， ，④正确， ， ，②正确 综上所述，正确的共有4个， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，等式的性质的运用，三角形的内角和定理的运用，平行线的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 10. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 11. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝_______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD=CD，结合△ABD的周长求出AB+AC的长，再根据△ABC的周长求出BC的长，解答即可． 【详解】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E， ∴DB＝DC，BE＝EC， ∵△ABD的周长为20， ∴AB＋AD＋BD＝20， ∵DB＝DC， ∴AB＋AD＋DC＝20， 即AB＋AC＝20， ∵△ABC的周长为32， ∴AB＋BC＋AC＝32， ∴BC＝32−20＝12， ∴BE＝EC＝BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线的性质求出DB＝DC． 12. 人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数的表示方法、函数关系式，根据温度等于初始温度+运行时上升温度，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：. 故答案为：. 13. 如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ． 14. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的P点． 连接交于点，连接，，根据两点之间线段最短，得出、、在同一直线上时，最小，即最小，根据等边三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴、、在同一直线上时，最小，即最小， ∵是的中点，是等边三角形， ∵，, ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共计78分） 15. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算每一项后再做加减运算即可得到结果． （2）先计算乘方，再计算除法，最后合并同类项即可得到化简结果． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 16. 先化简，再求值：[（3x+1）（3x﹣1）+（x+1）2]÷x，其中x＝﹣ 【答案】，1 【解析】 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项，再计算多项式除以单项式，再将x值代入计算即可． 【详解】解： = = = 将x＝代入， 原式==1． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则和乘方公式是解决本题的关键. 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求，根据角平分线的性质定理可得到点P到AB的距离等于PD的长． 【详解】解：如图，点P即为所求． ． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 【答案】；；角平分线的定义；；；；同位角相等，两直线平行． 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理及已知条件逐步推导论证即可． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 又（已知）， ． （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 19. 如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出相等的角，根据垂直得出直角，然后利用角角边进行证明全等三角形． 【详解】证明：略． 20. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程s（米）与时间t（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是______米． （2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ （3）兔子醒来，以100米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 【答案】（1）兔子， （2）兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米 （3）兔子中间停下睡觉用了分钟 【解析】 【分析】（1）根据函数图象获取信息； （2）根据函数图象获取信息，求出各自的速度； （3）根据函数图象获取信息，求出各段时间即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，折线表示赛跑过程中兔子的路程与时间的关系，赛跑的全程是米； 【小问2详解】 解：； ； 所以，兔子在起初每分钟跑米，乌龟每分钟爬米； 【小问3详解】 解：（分钟）， （分钟）， 所以，兔子中间停下睡觉用了分钟． 21. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【小问1详解】 证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或蓝色区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以获得相应的奖品分别为笔袋、圆规、笔记本．小颖和妈妈购买了110元的商品，可以获得一次转动转盘的机会． 请解答下列问题： （1）小颖获得圆规的概率是______． （2）小颖获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】（1） （2）小颖获得奖品的概率是； （3）需要再将4个空白扇形涂上颜色. 【解析】 【分析】（1）用黄色区域数除以20即可得到答案； （2）用黄色，绿色，红色的区域数之和除以20即可得到答案； （3）用20乘以获奖概率得到染色的区域总数，再减去原本染色的区域总数即可得到答案. 【小问1详解】 解：， ∴小颖获得圆规的概率是； 【小问2详解】 解：， ∴小颖获得奖品的概率是； 【小问3详解】 解：∵获得奖品的概率提高为， ∴涂色的区域一共有个， ∵， ∴需要再将4个空白扇形涂上颜色. 23. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 24. 如图（1），，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点运动到何处时有与全等，求出相应的的值． 【答案】（1）全等， （2）1或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，如：． （1）结合，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到； （2）分情况讨论：①若，则，；②若，则，，，然后分别求出和的值即可． 【小问1详解】 解：，，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①若，则，， 可得， 解得，； ②若，则，， 可得，， 解得：，． 综上所述，当与全等时，的值为1或． 25. 【发现问题】 如图1，已知，以点为直角顶点，为腰向外作等腰直角、请你以为直角顶点、为腰，向外作等腰直角（不写作法，保留作图痕迹）．连接、．那么与的数量关系是________． 【拓展探究】 如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 如图3，有一个四边形场地，，，，，求的最大值． 【答案】发现问题：BD=CE，证明见详解；拓展探究：BD=CE，证明见详解；解决问题：BD的最大值为23． 【解析】 【分析】发现问题：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD=AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；由等腰直角三角形的性质，证出∠BAD=∠EAC，证明△BAD≌△EAC（SAS），即可得出BD=CE； 拓展探究：由正方形的性质，证出∠BAD=∠EAC，证明△BAD≌△EAC（SAS），即可得出BD=CE； 解决问题：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，由等边三角形的性质，证出△ACD是等边三角形，得出∠CAD=60°，AC=AD，证出∠BAD=∠EAC，证明△BAD≌△EAC（SAS），得出BD=CE；当C、B、E三点共线时，CE最大=BC+BE=23，得出BD的最大值为23． 【详解】发现问题： 解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD=AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示： ∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形， ∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠EAC， 在△BAD和△EAC中， ， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE， 故答案为：BD=CE； 拓展探究： 解：BD=CE；理由如下：如图： ∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形， ∴AB=AE，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°， ∴∠BAD=∠EAC， 在△BAD和△EAC中， ， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE； 解决问题： 解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示： 则∠BAE=60°，BE=AB=AE=8， ∵AD=CD，∠ADC=60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠CAD=60°，AC=AD， ∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC， 即∠BAD=∠EAC， 在△BAD和△EAC中， ， ∴△BAD≌△EAC（SAS）， ∴BD=CE； 当C、B、E三点共线时，CE最大=BC+BE=15+8=23， ∴BD的最大值为23． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期末考试（卷） 七年级数学 （时间120分钟 试题分值120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 如图所示的4个图案中是轴对称图形的是（ ） A. 阿基米德螺旋线 B. 太极图 C. 赵爽弦图 D. 笛卡尔心形线 2. 华为Mate20系列搭载了麒麟芯片，这个被华为称之为全球首个纳米工艺的AI芯片，拥有个全球第一，7纳米就是米．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（ ） A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 4. 一个不透明的袋子里装有2个白球，3个红球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同．随机从中抽出一个球，抽到红球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若是完全平方式，则值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在与中，，再添加一个下列条件，能判断的是（ ）． A. B. C. D. 7. 中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A. 40 B. 42 C. 48 D. 56 8. 如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 10. 的平方根是____． 11. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为20，△ABC的周长为32，则BE＝_______． 12. 人工智能工具训练模型时，记录的初始温度为，运行后的温度每分钟上升，则温度关于运行时间（分钟）的函数关系式为______． 13. 如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，，则________． 14. 如图，是等边三角形，点，分别是，的中点，点是线段上任意一点，若，则最小值是______． 三、解答题（共11小题，共计78分） 15. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 16. 先化简，再求值：[（3x+1）（3x﹣1）+（x+1）2]÷x，其中x＝﹣ 17. 如图，在△ABC中，AB=AC，过顶点A作AD⊥BC交BC于点D．请用尺规作图法在AD边上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 19. 如图，点A，C，F，D在同一条直线上，，，，且．求证：； 20. “龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉，图中的线段和折线表示龟兔赛跑时的路程s（米）与时间t（分钟）的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题． （1）折线表示赛跑过程中______（填“兔子”或“乌龟”）的路程与时间的关系，赛跑的全程是______米． （2）兔子在起初每分钟跑多少米？乌龟每分钟爬多少米？ （3）兔子醒来，以100米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟？ 21. 如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或蓝色区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以获得相应的奖品分别为笔袋、圆规、笔记本．小颖和妈妈购买了110元的商品，可以获得一次转动转盘的机会． 请解答下列问题： （1）小颖获得圆规的概率是______． （2）小颖获得奖品的概率是多少？ （3）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 23. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 24. 如图（1），，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点运动到何处时有与全等，求出相应的的值． 25. 【发现问题】 如图1，已知，以点为直角顶点，为腰向外作等腰直角、请你以为直角顶点、为腰，向外作等腰直角（不写作法，保留作图痕迹）．连接、．那么与的数量关系是________． 【拓展探究】 如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【解决问题】 如图3，有一个四边形场地，，，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $