四川广安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量评价数学试题

2026年春高一期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． A． B． C． D． 2．某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是 A．95 B．95.5 C．105 D．106.5 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为 A． B． C． D． 5．已知α，β，γ为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则 A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为 A． B．2 C． D． 8．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则 A． B． C． D． 10．小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是 A．这10个月营业额的极差为39万元 B．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额的平均数大于30 11．如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，上的点，，O是上、下底面的中心，M是底面内一点，下列结论正确的是 A． B．若，平面，则点M的轨迹长等于 C． D．当时，由点、O、D、P构成的四边形为直角梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 13．圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 14．在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数（i为虚数单位，） （1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； （2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（15分）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 17．（15分）已知锐角的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， （1）若，证明：为等腰三角形； （2）若，，的周长为，求角B． 18．（17分）如图，已知菱形的边长为4，，平面外一点P在平面内的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 19．（17分）如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春高一期末教学质量评价 数学参考答案 一、单选题： 题号 1 23 4 5 6 7 答案DB C B 二、多选题： 9 10 11 BCD ACD AC 三、填空题： 12.12 13.12π 14.2π 四、解答题： 15.【详解】(1)由题意得： m2+2m-3>0 3分 m-1<0 解得m<-3 5分 故m的取值范围是(-o,-3) 6分 (2)若m=0,则z=-3-i .7分 .复数z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根 .2(-3-i02+p(-3-)十q-0… 8分 ∴.16-3p叶q+(12-p)i-0.. .10分 16-3p+q=0 12-p=0 11分 ∴.p=12,q=20. .13分 16.【详解】(1)由题意得： (a+0.020+0.025+0.035+a)×10=1. .2分 .a=0.010 .3分 (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为： 号80+90)=85（分） .5分 估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为 55×0.1+65×0.2+75×0.25+85×0.35+95×0.1=76.5（分) 9分 (3).1-0.17=0.83 10分 ∴.[50,80)内的频率为：0.1+0.2+0.25=0.55<0.83 [80,90)内的频率为：0.35 .第83百分位数在[80,90)内， .11分 令其为m,则 (m-80)×0.035=0.83-0.55 .12分 即m=88 .14分 .估计受嘉奖的学生分数不低于88分.15分 17.【详解】(1)：m∥i,m=(sinA,cosA),i=(1+cosB,sinB) .'sin Asin B=cos A(1+cos B) CoS AcOS B-sin Asin B=-cos A.....2 .C0s(A+B）=-C0SA3分 高一数学参考答案第1页共5页 ∴.-cosC=-cosA即cosC=cosA 4分 hce(0) .C=A. .5分 ∴.△ABC为等腰三角形 6分 (2)若m方= 5√39 则 26 sin (+cos B)+cos Asin B=539 26 sin 4+sin AcosB+cos sin5 26 .7分 “s4+sin4+B）)=539即sin4+si血c 5v39 .9分 26 26 .b=13,△ABC的周长为5+V13 .a+c=5 .10分 a=bc =2R sin A sin B sin C .'a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 11分 2R(sin 4+sin C)=2x539 26 2=5, 即2R= 26 √39 .13分 3三0smB,即sm9=日 .14分 2 .△ABC为锐角三角形 8-骨 15分 18.【详解】(1).在菱形ABCD中，ACnBD=O ∴.AC⊥BD 1分 ,P在平面ABCD内的射影是点O .POL平面ABCD… .2分 .BDC平面ABCD ∴.PO⊥BD 3分 ,POnAC=O,PO,ACC平面PAC .BDL平面PAC4分 (2)由题意可得：△ABD,△BCD与△PBD都是边长为4的等边三角形 BP-BC-4.PO-40COx ×42=4V5 ∴.PC=V√P02+C02=V12+12=2W6… .6分 过点B作BH⊥PC,垂足为H ∴.BH=V42-W6}=V1o Sc=号PCxB明=x26xi0-25 7分 设点D到平面PBC的距离为h,则 由m=e,则片S.ach=专.OP .8分 高一数学参考答案第2页共5页 ∴写25x有=45x25解得h=正 ·点D到平面PBC的距离为4I西 10分 5 (3)设直线PE与平面PBC所成的角为0， .'AD//BC,AD丈平面PBC,BCC平面PBC ∴.AD/平面PBC ∴.点E到平面PBC的距离，即为点D到平面PBC的距离h.11分 过点E作EF⊥平面PBC交平面PBC于点F,则EF=45,0=∠EPF 5 此时sin6=EF=45 PE SPE 要使sin最大，则需使PE最小，此时PELAD..12分 由题意可知：PA=PC,AD=CB,PD=PB .△PAD与△PBC全等 ∴.SAPD=SAPBC=2V15 1 ·Saw=24D-PB=25 ∴.PE=V15 .15分 “sin6=EF-4v54154 PE 5PE 5W155 即直线PE与平面PBC所成角的正弦的最大值为 .17分 19.【详解】(1)由题意得： 点A,点B分别为SM,SN的中点 ∴.MW=2AB M=2AB=2OB-0A)=26-a=2b-2a 2分 ÷=46-=46+4-8a-6=4x4+4x9-8x2×3×2-28 .MN=27,即MW=2√7. .4分 (也可以用解三角形知识求解) (2)方法一： 设OM=x,则 ON=0M+MN=0M+2五-2a ..5分 ·ON 高一数学参考答案第3页共5页 -0M+26-2a} =om+46+4+40.6-4od.a-85-a =x2+36+16+12x-4x-24 =x2+8x+28 .x2+8x+28=37 8分 .x=1或x=-9(舍去)，即OM=1 9分 5oOsin OB-xxx ..10分 2 2 B 方法二： 由题意得：MN/WAB ∠0MN=x-∠0BA且lA=2hW=万 在△0AB中，c0S∠0BA=OB+AB2-0A2_9+7-4_2N万 2XOB×AB 2x3×V77 .6分 COS ZOMN=cos(π-∠OBA)=-cos LOBA=- 2W7 。。。。。。。。。。。。。。。 .7分 7 在△OMN中，设OM=x,则 cos∠0N=MN2+0M2-0W2_28+x-37-25 2xMNXOM 2×2W7x 7 .X=1或x=-9(舍去)，即0M=19分 5au041o4sn∠408-分2xx5-9 .10分 22 (3)当点M,B位于直线OA的异侧时 设OM=x,∠MOA=0,9∈(0，π) o-Oi+-od++20M--2+28+20M.ml1分 ·OM.MN B =0M.26-a =2oM.b-oM.a) =2 M.6）-2xcos9] 9]时，o.-号+0 S 当0（时.o)-- 3 高一数学参考答案第4页共5页 ∴.OM·MW =-xcos0+3v3sin0) =-27xsin(0+p) 其中anp= 2,0<p< 2 ON=X2+28-4hW7 7xsin((0+p）…14分 .JON'+doMp OM =x2+28-4W7xsin(0+p)+6x2 七 =7x+28-4W7 sin(0+-p） 15分 2=28,当且仅当x=2时，取等号： 4W7sin(0+p)2-4W7，当sin(0+p)=1时，取等号； 又：e∈0，z),tanp= 3 ∴等号能取得 综上可知， ONP+6OM的最小值为28-47 OM 17分 高一数学参考答案第5页共5页