2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册15《第4章投影与视图第1节投影》预习讲义

本讲义聚焦投影核心知识点，系统梳理投影概念、平行与中心投影的特征、正投影（线段、平面图形、几何体）的变化规律，以及利用相似三角形解决高度与影长计算的应用，形成从概念到应用的学习支架。 资料特色在于结合皮影、路灯等生活实例辨析投影类型，通过对比表格明晰两种投影差异，分层练习强化应用。培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）、模型意识（数学语言），如用相似三角形计算旗杆高度，课中辅助教学重点突出，课后帮助学生查漏补缺。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册15 《第4章投影与视图第1节投影》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能区分中心投影与平行投影，说出两种投影的光源特征、成像特点。 2.理解正投影的定义，掌握线段、平面图形正投影的变化规律。 3.会利用投影原理确定点光源位置、计算物体高度与影长，解决生活影子类应用题。 4.能结合皮影、太阳光、路灯等生活实例辨析投影类型，建立几何模型解决实际问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行投影、中心投影的概念与图像区分； 2.正投影的变化规律； 3.利用相似三角形解决投影高度、影长计算。 （二） 难点 1.区分太阳光（平行光）与路灯（点光源）下影子的变化规律； 2.复杂场景中构建相似三角形模型求解投影实际问题。 ) 三．知识梳理 （一）认识投影的基本概念 物体在光线的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子。 从以上这些图片中你们发现了什么？ 1.定义：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙面）上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫投影线，承载影子的平面叫投影面。 2.生活举例：太阳光下树的影子；路灯下行人的影子；皮影戏、手影游戏。 （二）平行投影（太阳光投影） 平行投影最常见的例子就是物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的。在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。 1.光源特征：太阳距离地面极远，光线可看作互相平行，这类投影称为平行投影。 2.性质： （1）投影线互相平行； （2）同一时刻，垂直地面的物体，高度比等于影长比； （3）物体顶端与影子顶端连线互相平行； （4）线段、平面图形平行投影面时，投影与原图形全等；倾斜则缩小，垂直则投影成线（或点）； （5）一天内影子先变短、后变长。 3.特殊平行投影——正投影：投影线垂直于投影面时产生的投影。 （1）线段的正投影 ①当线段平行于投影面：正投影长度与原线段长度相等； ②当线段倾斜于投影面：正投影长度小于原线段长度； ③当线段垂直于投影面：正投影缩成一个点。 （2）平面图形的正投影 ①平面图形平行于投影面：正投影和原图形全等（形状、大小完全一样）； ②平面图形倾斜于投影面：正投影缩小，形状相似； ③平面图形垂直于投影面：正投影变为一条线段。 （3）几何体的正投影 几何体平行于投影面摆放，正投影能反映物体真实形状与大小；几何体倾斜放置，投影会变形、缩小；几何体垂直投影面，投影为平面图形。 （三）中心投影（点光源投影） 从以上图片中你们发现了什么？ 1.光源特征：光线由同一点（点光源）向外发散，如路灯、台灯、手电筒、皮影灯光，形成的投影叫中心投影。 2.性质： （1）光源、物体顶端、影子顶端三点共线； （2）物体离点光源越近，影子越长；离光源越远，影子越短； （3）不同物体高度与影长比值不固定，无法直接相等。 （四）平行投影 vs 中心投影的对比 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（路灯/手电） 光线特点 光线互相平行 光线从一点发散 影子变化 同一时刻物高/影长为定值 物体靠近光源，影子变长 顶端连线 所有连线互相平行 所有连线交于点光源 几何模型 全等、相似三角形 相似三角形 典型实例 正午树影 夜晚路灯人影、手影 （五）中心投影相关的作图步骤 如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 【归纳】 （1）连接两组物体顶端与影子顶端并延长； （2）直线交点即为点光源； （3）连接点光源与物体顶端，延长交投影面，得到影子。 四．经典例题 1.（2024-2025贵阳南明区九年级上期末） 下列光源形成的投影属于平行投影的是（ ） A. 路灯灯光 B. 正午太阳光 C. 台灯灯光 D. 皮影戏射灯 2.（2025贵阳花溪区九年级期末） 等高的两根电线杆垂直地面放置，夜晚同一盏路灯下，离路灯更远的电线杆影子（ ） A. 更短 B. 更长 C. 长度相等 D. 无法判断 3.（2026贵阳云岩区一模） 水平放置的矩形课本平行于地面，太阳光垂直照射地面时，课本的正投影是（ ） A. 线段 B. 缩小矩形 C. 与课本全等的矩形 D. 点 4．下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6.（2026贵阳全市二模） 同一时刻，身高1.5m同学影长1m，一棵树影长6m，则树高为__m。 7.（2025白云区期中） 一条线段垂直于投影面放置，它的正投影是____。 8.（2024清镇市九年级期末） 夜晚两根标杆的影子顶端连线延长交于一点，该交点是___。 9．在学习完投影的知识后小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操场旗杆的高度. (1)如图，请你根据小张（）在阳光下的投影（），画出此时旗杆（）在阳光下的投影． (2)已知小张的身高为，在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为和，求旗杆的高度． 10．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024南明区期中） 判断两棵树同一时刻阳光下影子，正确图形特征是（ ） A. 影子方向相反 B. 影子互相平行 C. 影子交于一点 D. 高树影子更短 2.（2025乌当区期末） 下列投影一定是正投影的是（ ） A. 路灯地面人影 B. 正午垂直照射地面的树影 C. 斜射窗户影子 D. 手电筒墙面手影 3.（2026观山湖一模） 长方形纸片倾斜放置在平行光下，投影形状为（ ） A. 线段 B. 全等长方形 C. 缩小平行四边形 D. 三角形 4.（2024白云区期末） 点光源照射正方形，正方形离光源越近，投影面积（ ） A. 不变 B. 越小 C. 越大 D. 无规律 5.（2025清镇市期中） 从早晨到傍晚，同一棵树影子长度变化规律（北半球）（ ） A. 持续变长 B. 持续变短 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 6.（2026贵阳全市二模） 下列能确定点光源位置的条件是（ ） A. 仅一根电线杆影子 B. 两根不平行物体的影子 C. 平行太阳光影子 D. 仅墙面一个手影 7．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 8．一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 （二）填空题 9.（2024花溪区期末） 投影分为两大类：____投影和____投影。 10.（2025南明区期中） 身高1.6m学生影长0.8m，同时刻旗杆影长10m，旗杆高____m。 11.（2026云岩一模） 平行于墙面的圆形镜子，垂直墙面灯光正投影为____。 12.（2024乌当区期末） 皮影戏利用____投影原理。 13.（2025观山湖期中） 线段倾斜于投影面，它的正投影长度____原线段长度（填＞、＜、＝）。 14.（2026白云区三模） 等高两物体，路灯下离灯近的物体影子更____。 15.（2025秋•青羊区校级期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满3FD＝2FA，盲区EB的长度是6米，车宽FA的长度为 　 米． 16．（2025秋•禅城区期末）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图，“手影戏”中的手影属于 　 　 （填“中心”或“平行”）投影． （三）解答题 17．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 18．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 19.如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯．在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4π m2的圆．已知圆桌的高度为1.5 m，圆桌面的半径为1 m，试求吊灯距圆桌面的高度． 20．（2024秋•张店区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳花溪区一模） 下列各组影子，属于同一时刻太阳光的是（ ） A. 两树影子相交 B. 两树影子平行同向 C. 一影长一影短方向相反 D. 影子长短差距极大且相交 2.（2025乌当区二模） 圆柱侧面平行投影面，垂直光线照射，正投影为（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 线段 D. 椭圆 3.（2026观山湖三模） 夜晚两根等高立柱，一根靠近路灯，一根远离，下列说法正确（ ） A. 近的影子更长 B. 远的影子更长 C. 影子一样长 D. 影子方向相反 4.（2024白云区期末） 下列不属于平行投影应用的是（ ） A. 测量旗杆高度 B. 日晷计时 C. 皮影表演 D. 正午估算树高 5.（2025清镇市一模） 一条线段平行于投影面，它的正投影（ ） A. 长度缩小 B. 长度不变 C. 变成点 D. 变成折线 6.（2026云岩区二模） 房间顶灯照射地面正方形地砖，地砖离灯越远，投影（ ） A. 越小 B. 越大 C. 不变 D. 形状改变 7.（2024南明区期末） 下午3点同一地点，高10m大树和高2m灌木，影长比值为（ ） A. 5:1 B. 1:5 C. 1:1 D. 无法计算 8.（2025花溪区期中） 判断正投影的核心条件是（ ） A. 光源为太阳光 B. 投影线垂直投影面 C. 物体平行地面 D. 光源为单点灯光 9．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 10．如图，从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（　　）    A． B． C． D． （二）填空题 11.（2026贵阳全市一模） 手电筒照射墙面手影，该投影是____投影。 12.（2024乌当区期末） 同一时刻，物体高度之比等于____之比。 13.（2025观山湖二模） 垂直放置的圆形纸片，平行光垂直墙面照射，正投影是____。 14.（2026白云区三模） 路灯下，人从路灯底部向远处走，影子长度逐渐____。 15.（2025南明区期末） 平行投影光源特征：光线____；中心投影光源特征：光线____。 16.（2026花溪区一模） 平行于地面的三角形硬纸板，正午阳光正投影是____。 17.（2024云岩区期中） 确定路灯位置需要____组物体与影子（填数字）。 18．（2024秋•清水县期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 　 　 m． 19．（2025秋•莱芜区期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝8m，则路灯的高度OP为 　 　 m． 20．（2025秋•郫都区校级期中）小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 　 　 ． （三）解答题 21．（2025秋•莲湖区月考）三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH，已知AB⊥GF，CD⊥GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK（用线段表示）． 22.如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积． 23.一圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，已知AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD为该器皿的高，CD＝4，CP′＝1，点D在点P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A在点P下的投影为A′，求点A′到CD的距离． 24．（2025秋•南海区校级期中）（1）解方程：2x2+3＝5x． （2）如图，一根木棒AD竖直立在地面上，请你画出它在路灯C下的影子． 25.如图所示，分别是两棵树及其影子的情形. (1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？ (2)请画出图中表示小丽影长的线段； (3)阳光下小丽影子长为1.20 m树的影子长为2.40 m，小丽身高1.88 m，求树高； 26．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高AB=1.65m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=1.5m，旗杆的高与墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册15 《第4章投影与视图第1节投影》预习讲义 一．学习目标 ( 1.能区分中心投影与平行投影，说出两种投影的光源特征、成像特点。 2.理解正投影的定义，掌握线段、平面图形正投影的变化规律。 3.会利用投影原理确定点光源位置、计算物体高度与影长，解决生活影子类应用题。 4.能结合皮影、太阳光、路灯等生活实例辨析投影类型，建立几何模型解决实际问题。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.平行投影、中心投影的概念与图像区分； 2.正投影的变化规律； 3.利用相似三角形解决投影高度、影长计算。 （二） 难点 1.区分太阳光（平行光）与路灯（点光源）下影子的变化规律； 2.复杂场景中构建相似三角形模型求解投影实际问题。 ) 三．知识梳理 （一）认识投影的基本概念 物体在光线的照射下，会在地面、墙壁等处形成影子。 从以上这些图片中你们发现了什么？ 【解析】我们发现光线照射物体，会在平面上形成影子，该现象为投影。影子分为中心投影（手影，点光源形成）和平行投影（太阳光下树影、人影，平行光线形成）。 1.定义：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙面）上得到的影子叫做物体的投影；照射光线叫投影线，承载影子的平面叫投影面。 2.生活举例：太阳光下树的影子；路灯下行人的影子；皮影戏、手影游戏。 （二）平行投影（太阳光投影） 平行投影最常见的例子就是物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影） 下图中三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的。在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。 【解析】顺序为：3 → 2 → 1，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东 物体影子的长度变化是：长→短→最短→短→长。 1.光源特征：太阳距离地面极远，光线可看作互相平行，这类投影称为平行投影。 2.性质： （1）投影线互相平行； （2）同一时刻，垂直地面的物体，高度比等于影长比； （3）物体顶端与影子顶端连线互相平行； （4）线段、平面图形平行投影面时，投影与原图形全等；倾斜则缩小，垂直则投影成线（或点）； （5）一天内影子先变短、后变长。 3.特殊平行投影——正投影：投影线垂直于投影面时产生的投影。 （1）线段的正投影 ①当线段平行于投影面：正投影长度与原线段长度相等； ②当线段倾斜于投影面：正投影长度小于原线段长度； ③当线段垂直于投影面：正投影缩成一个点。 （2）平面图形的正投影 ①平面图形平行于投影面：正投影和原图形全等（形状、大小完全一样）； ②平面图形倾斜于投影面：正投影缩小，形状相似； ③平面图形垂直于投影面：正投影变为一条线段。 （3）几何体的正投影 几何体平行于投影面摆放，正投影能反映物体真实形状与大小；几何体倾斜放置，投影会变形、缩小；几何体垂直投影面，投影为平面图形。 （三）中心投影（点光源投影） 从以上图片中你们发现了什么？ 【解析】由点光源（手电筒）发出发散的光线，照射物体后在投影面上形成影子，这种投影是中心投影；对应物体顶端、影子顶端和点光源在同一直线上；物体距离点光源越近，影子越大。 1.光源特征：光线由同一点（点光源）向外发散，如路灯、台灯、手电筒、皮影灯光，形成的投影叫中心投影。 2.性质： （1）光源、物体顶端、影子顶端三点共线； （2）物体离点光源越近，影子越长；离光源越远，影子越短； （3）不同物体高度与影长比值不固定，无法直接相等。 （四）平行投影 vs 中心投影的对比 对比项目 平行投影（太阳光） 中心投影（路灯/手电） 光线特点 光线互相平行 光线从一点发散 影子变化 同一时刻物高/影长为定值 物体靠近光源，影子变长 顶端连线 所有连线互相平行 所有连线交于点光源 几何模型 全等、相似三角形 相似三角形 典型实例 正午树影 夜晚路灯人影、手影 （五）中心投影相关的作图步骤 如图，一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）试判断是路灯还是太阳光产生的影子，如果是路灯产生的影子确定路灯的位置（用点P表示）．如果是太阳光请画出光线． （2）在图中画出表示大树高的线段． 解（1）如图所示：P点即为路灯的位置； （2）如图所示：GM即为所求． 【归纳】 （1）连接两组物体顶端与影子顶端并延长； （2）直线交点即为点光源； （3）连接点光源与物体顶端，延长交投影面，得到影子。 四．经典例题 1.（2024-2025贵阳南明区九年级上期末） 下列光源形成的投影属于平行投影的是（ ） A. 路灯灯光 B. 正午太阳光 C. 台灯灯光 D. 皮影戏射灯 【答案】：B 【解析】：太阳光线可视为平行光线，属于平行投影；路灯、台灯、射灯均为点光源，形成中心投影。 2.（2025贵阳花溪区九年级期末） 等高的两根电线杆垂直地面放置，夜晚同一盏路灯下，离路灯更远的电线杆影子（ ） A. 更短 B. 更长 C. 长度相等 D. 无法判断 【答案】：B 【解析】：中心投影性质：等高物体垂直地面，离点光源越远，影子越长。 3.（2026贵阳云岩区一模） 水平放置的矩形课本平行于地面，太阳光垂直照射地面时，课本的正投影是（ ） A. 线段 B. 缩小矩形 C. 与课本全等的矩形 D. 点 【答案】：C 【解析】：平面图形平行于投影面时，正投影与原图形全等。 4．下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误； C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误．D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确；故选：D． 5．如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【解析】∵太阳光是平行光，∴投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行，∵题中没说明阳光是从哪个角度射入，∴影子为平行四边形；故选A． 6.（2026贵阳全市二模） 同一时刻，身高1.5m同学影长1m，一棵树影长6m，则树高为__m。 【答案】：9 【解析】：平行投影物高与影长成正比，设树高x，=，解得x=9。 7.（2025白云区期中） 一条线段垂直于投影面放置，它的正投影是____。 【答案】：一个点 【解析】：线段垂直投影面，投影收缩为单点。 8.（2024清镇市九年级期末） 夜晚两根标杆的影子顶端连线延长交于一点，该交点是___。 【答案】：路灯（点光源） 【解析】：中心投影中，物体顶端与影子顶端连线交于点光源。 9．在学习完投影的知识后小张同学立刻进行了实践，他利用所学知识测量操场旗杆的高度. (1)如图，请你根据小张（）在阳光下的投影（），画出此时旗杆（）在阳光下的投影． (2)已知小张的身高为，在同一时刻测得小张和旗杆的投影长分别为和，求旗杆的高度． 解：（1）连接，过作交于，如图： 线段即为所求； （2）根据题意得：，解得，旗杆的高度为． 10．（2025秋•周村区期末）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（5，5）处，木杆AB平行于x轴，木杆两端的坐标分别为A（0，2），B（6，2）． （1）画出木杆AB在x轴上的投影CD； （2）求出其投影CD的长． 解：（1）如图所示： （2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，∵P（5，5），A（0，2），B（6，2）．∴PM＝3，PE＝5，AB＝6，∵AB∥CD，∴=，∴=，∴CD＝10． 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024南明区期中） 判断两棵树同一时刻阳光下影子，正确图形特征是（ ） A. 影子方向相反 B. 影子互相平行 C. 影子交于一点 D. 高树影子更短 【答案】：B 【解析】：平行投影光线平行，物体影子顶端连线互相平行。 2.（2025乌当区期末） 下列投影一定是正投影的是（ ） A. 路灯地面人影 B. 正午垂直照射地面的树影 C. 斜射窗户影子 D. 手电筒墙面手影 【答案】：B 【解析】：正投影定义：投影线垂直投影面，正午阳光垂直地面，树影为正投影。 3.（2026观山湖一模） 长方形纸片倾斜放置在平行光下，投影形状为（ ） A. 线段 B. 全等长方形 C. 缩小平行四边形 D. 三角形 【答案】：C 【解析】：平面图形倾斜投影面，正投影为缩小的同类平行四边形。 4.（2024白云区期末） 点光源照射正方形，正方形离光源越近，投影面积（ ） A. 不变 B. 越小 C. 越大 D. 无规律 【答案】：C 【解析】：中心投影，物体靠近点光源，投影放大，面积变大。 5.（2025清镇市期中） 从早晨到傍晚，同一棵树影子长度变化规律（北半球）（ ） A. 持续变长 B. 持续变短 C. 先变短后变长 D. 先变长后变短 【答案】：C 【解析】：北半球正午太阳高度最大，影子最短，早晚影子长，影长先变短再变长。 6.（2026贵阳全市二模） 下列能确定点光源位置的条件是（ ） A. 仅一根电线杆影子 B. 两根不平行物体的影子 C. 平行太阳光影子 D. 仅墙面一个手影 【答案】：B 【解析】：两组物体与影子顶端连线延长，交点即为点光源，单组影子无法确定。 7．用发光的手电筒由远及近去照射吊在空中的小球，如图，那么小球落在竖直墙面上的影子会（   ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【解析】当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 8．一个平行四边形的中心投影是（   ） A．与原来相似的平行四边形 B．与原来不相似的四边形 C．一条线段 D．以上均有可能 【答案】D 【解析】一个平行四边形的中心投影可能是与原来相似的平行四边形，也有可能是与原来不相似的四边形或一条线段，故选：D． （二）填空题 9.（2024花溪区期末） 投影分为两大类：____投影和____投影。 【答案】：平行；中心 【解析】：课本基础分类，依据光源是平行光/点光源划分。 10.（2025南明区期中） 身高1.6m学生影长0.8m，同时刻旗杆影长10m，旗杆高____m。 【答案】：20 【解析】：比例1.6：0.8=2，10×2=20。 11.（2026云岩一模） 平行于墙面的圆形镜子，垂直墙面灯光正投影为____。 【答案】：圆（与镜子等大） 【解析】：图形平行投影面，正投影全等。 12.（2024乌当区期末） 皮影戏利用____投影原理。 【答案】：中心 【解析】：皮影依靠单点灯光发散光线，属于中心投影。 13.（2025观山湖期中） 线段倾斜于投影面，它的正投影长度____原线段长度（填＞、＜、＝）。 【答案】：＜ 【解析】：倾斜放置时投影缩短，平行相等，垂直缩为点。 14.（2026白云区三模） 等高两物体，路灯下离灯近的物体影子更____。 【答案】：短 【解析】：中心投影等高物体，距光源越近影子越短。 15.（2025秋•青羊区校级期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满3FD＝2FA，盲区EB的长度是6米，车宽FA的长度为 　 　 米． 【答案】． 【解析】如图，过点P作PM⊥BE于点M，交FA于点N，∵FA∥BE，∴∠PAF＝∠PBE，∠PF＝∠PEB，∴△PAF∽△PBE，∴=，设DF＝2k，则AF＝3k，PN＝1.6﹣2k，∴=解得k=，∴DF=，AF=， 16．（2025秋•禅城区期末）宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图，“手影戏”中的手影属于 　 　 （填“中心”或“平行”）投影． 【答案】中心． 【解析】由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心． （三）解答题 17．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 解：（1）圆柱从上向下的正投影如图； （2）该圆柱体从左向右的正投影如图． 18．（2025秋•贵阳校级月考）如图，广场上有一路灯，路灯下一墙墩AB的影子是BC，小明身高DE的影子是EF，在M处有一棵大树，它的影子是MN． （1）在图中确定路灯灯泡P的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在图中画出表示大树的线段MG（不写作法，保留作图痕迹）． 解：（1）如图，连接CA并延长与FD的延长线交于点P，则点P即为所求， ； （2）如图，线段MG即为所求． 19.如图，在圆桌的正上方有一盏吊灯．在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为4π m2的圆．已知圆桌的高度为1.5 m，圆桌面的半径为1 m，试求吊灯距圆桌面的高度． 解：∵圆桌面的半径为1 m，∴圆桌面的面积为π m2，∴=，∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，∴PA∶PC＝1∶2，∵圆桌的高度为1.5 m，∴PA∶（PA+1.5）＝1：2，∴PA＝1.5(m)，即吊灯距圆桌面的高度为1.5 m. 20．（2024秋•张店区期末）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱．AB＝7m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝4m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为8m，计算DE的长． 解（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影． （2）∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ABC＝∠DEF＝90°∴△ABC∽△DEF． ∴AB：DE＝BC：EF，∵AB＝7m，BC＝4m，EF＝8∴7：4＝DE：8∴DE＝14（m）． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳花溪区一模） 下列各组影子，属于同一时刻太阳光的是（ ） A. 两树影子相交 B. 两树影子平行同向 C. 一影长一影短方向相反 D. 影子长短差距极大且相交 【答案】：B 【解析】：平行投影光线平行，所有物体影子方向一致、互相平行。 2.（2025乌当区二模） 圆柱侧面平行投影面，垂直光线照射，正投影为（ ） A. 圆 B. 矩形 C. 线段 D. 椭圆 【答案】：B 【解析】：圆柱侧面平行投影面，正投影为和圆柱侧面全等矩形。 3.（2026观山湖三模） 夜晚两根等高立柱，一根靠近路灯，一根远离，下列说法正确（ ） A. 近的影子更长 B. 远的影子更长 C. 影子一样长 D. 影子方向相反 【答案】：B 【解析】：中心投影等高垂直物体，距点光源越远影子越长。 4.（2024白云区期末） 下列不属于平行投影应用的是（ ） A. 测量旗杆高度 B. 日晷计时 C. 皮影表演 D. 正午估算树高 【答案】：C 【解析】：皮影为中心投影，其余均依靠太阳光平行投影。 5.（2025清镇市一模） 一条线段平行于投影面，它的正投影（ ） A. 长度缩小 B. 长度不变 C. 变成点 D. 变成折线 【答案】：B 【解析】：线段平行投影面，正投影与原线段长度相等。 6.（2026云岩区二模） 房间顶灯照射地面正方形地砖，地砖离灯越远，投影（ ） A. 越小 B. 越大 C. 不变 D. 形状改变 【答案】：A 【解析】：中心投影，物体远离点光源，投影缩小。 7.（2024南明区期末） 下午3点同一地点，高10m大树和高2m灌木，影长比值为（ ） A. 5:1 B. 1:5 C. 1:1 D. 无法计算 【答案】：A 【解析】：平行投影物高与影长成正比例，比值等于高度比10:2=5:1。 8.（2025花溪区期中） 判断正投影的核心条件是（ ） A. 光源为太阳光 B. 投影线垂直投影面 C. 物体平行地面 D. 光源为单点灯光 【答案】：B 【解析】：正投影严格定义：投影线与投影面互相垂直，和光源类型无直接绑定。 9．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【解析】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 10．如图，从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知: 从小区的某栋楼的四个位置向对面楼方向看，所看到的范围的大小顺序是: ．故选A． （二）填空题 11.（2026贵阳全市一模） 手电筒照射墙面手影，该投影是____投影。 【答案】：中心 【解析】：手电筒为点光源，发散光线形成中心投影。 12.（2024乌当区期末） 同一时刻，物体高度之比等于____之比。 【答案】：影子长度 【解析】：平行投影核心等量关系，相似三角形对应边成比例。 13.（2025观山湖二模） 垂直放置的圆形纸片，平行光垂直墙面照射，正投影是____。 【答案】：线段 【解析】：平面图形垂直投影面，投影收缩为一条线段。 14.（2026白云区三模） 路灯下，人从路灯底部向远处走，影子长度逐渐____。 【答案】：变长 【解析】：远离点光源，影子持续变长。 15.（2025南明区期末） 平行投影光源特征：光线____；中心投影光源特征：光线____。 【答案】：互相平行；从同一点发散 【解析】：两类投影本质区分依据。 16.（2026花溪区一模） 平行于地面的三角形硬纸板，正午阳光正投影是____。 【答案】：全等三角形 【解析】：平面图形平行投影面，正投影与原图全等。 17.（2024云岩区期中） 确定路灯位置需要____组物体与影子（填数字）。 【答案】：2 【解析】：两组连线延长才有唯一交点，一组直线无法定点光源。 18．（2024秋•清水县期末）在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 　 　 m． 【答案】12 【解析】设旗杆的高度为xm，根据题意，得：=解得x＝12，即旗杆的高度为12m， 19．（2025秋•莱芜区期中）如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC，若树高AB＝3m，树影BC＝4m，树与路灯的水平距离BP＝8m，则路灯的高度OP为 　 　 m． 【答案】9． 【解析】如图：∵OP⊥PC，AB⊥PC，∴AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴=，∵AB＝3m，BC＝4m，BP＝8m，∴PC＝BP+BC＝8+4＝12（m），=∴OP=9（m），故答案为：9． 20．（2025秋•郫都区校级期中）小明家的客厅有一张直径为1.4m，高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE．如图，根据题意，以1m为1个单位长度建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是 　 　 ． 【答案】（4.1，0）． 【解析】∵高0.8m的圆桌BC，在距地面2.4m的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，∴BC∥DE，∴∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，∴△ABC∽△ADE，∴=∵BC＝1.4m，∴DE＝2.1m，∵点 D的坐标为 （2，0），∴OD＝2m，∴OE＝2+2.1＝4.1m，∴E（4.1，0）．故答案为：（4.1，0）． （三）解答题 21．（2025秋•莲湖区月考）三根竖立的竹竿在同一光源O下的影子如图所示，其中竹竿AB的影子为AG，竹竿CD的影子为CH，已知AB⊥GF，CD⊥GF，点G、A、C、H、E、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源O的位置，并画出影子为EF的竹竿EK（用线段表示）． 解：连接GB，HD并延长，交点即为光源O的位置，连接OF，作KE⊥EF，交OF于点K，EK即为所求． 22.如图所示，阳光透过长方形玻璃投射到地面上，地面上出现一个明亮的平行四边形，杨阳用量角器量出了一条对角线与一边垂直，用直尺量出平行四边形的一组邻边的长分别是30 cm,50 cm，请你帮助杨阳计算出该平行四边形的面积． 解：如图，AB＝30 cm，BC＝50 cm，AB⊥AC，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝40 cm，所以该平行四边形的面积＝30×40＝1 200(cm2)． 23.一圆柱形器皿在点光源P下的投影如图所示，已知AD为该器皿底面圆的直径，且AD＝3，CD为该器皿的高，CD＝4，CP′＝1，点D在点P下的投影刚好位于器皿底与器皿壁的交界处，即点B处，点A在点P下的投影为A′，求点A′到CD的距离． 解：根据题意得△APD∽△A′PB，△PDE∽△PBP′，∴AD∶A′B＝PD∶PB＝DE∶BP′，又DE＝CP′＝1，AD＝BC＝3，将各线段长度代入，得3∶A′B＝1∶4，解得A′B＝12，∴点A′到CD的距离为A′B＋BC＝12＋3＝15. 24．（2025秋•南海区校级期中）（1）解方程：2x2+3＝5x． （2）如图，一根木棒AD竖直立在地面上，请你画出它在路灯C下的影子． 解：（1）2x2+3＝5x，2x2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，2x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1=，x2＝1； （2）如图所示：线段AB即为所求 25.如图所示，分别是两棵树及其影子的情形. (1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？ (2)请画出图中表示小丽影长的线段； (3)阳光下小丽影子长为1.20 m树的影子长为2.40 m，小丽身高1.88 m，求树高； 解：(1)如图所示，甲图反映了阳光下的情形，乙图反映了路灯下的情形. (2)如图所示，AB，CD是小丽影长的线段. (3)∵阳光下小丽影子长为1.20 m，树的影子长为2.40 m，小丽身高1.88 m， 设树高为x m，∴1.20∶1.88＝2.40∶x，解得x＝3.76，即树的高度为3.76 m. 26．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高AB=1.65m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=1.5m，旗杆的高与墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过M作MN⊥DE于N，设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB ∴=又∵AB=1.65m，BC=2.4m，DN=15-x,∴=，解得：x=4， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为4米． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $