第08讲 有理数的加法运算律 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.1.2 加法运算律 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解并掌握有理数的加法交换律——a + b = b + a。 1. 理解并掌握有理数的加法结合律——(a + b) + c = a + (b + c)。 1. 能灵活运用两条运算律进行简便运算，熟练掌握“同号归组 · 相反数配对 · 凑整”三大策略。 【过程与方法】 1. 经历“实例验证 → 观察归纳 → 字母抽象”的完整过程，体会从特殊到一般的数学思想。 1. 通过“直接算 vs 用运算律算”的对比，感受算法优化与结构观察的价值。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学的简洁美与规律美——运算律让繁琐计算变得优雅，为后续代数式变形打下基础。 二、学习重难点 重 点 ① 加法交换律与结合律的字母表达式与几何直观；② 三大简便策略——同号归组 · 相反数配对 · 凑整——的选择与规范书写。 难 点 观察式子结构并合理选择运算律进行简便运算——尤其是“搬项时正负号一起搬”这一关键动作。 易错点 ① 搬项漏带符号——(-3)+5 搬成 (+3)+5；② 分组括号内正负颠倒——把 (-3)+(-4) 写成 -(3+4) 后又漏号；③ 遗忘“相反数配对为 0”——(-8)+(+8) 不主动配对；④ 分数简便运算未先通分。 三、小初衔接·知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学阶段的加法运算律 小学阶段（自然数范围内）学过两条运算律，请回忆并填写： 维 度 小学阶段内容 举 例 加法交换律 __________________________ __________________________ 加法结合律 __________________________ __________________________ 运算律作用 __________________________ __________________________ 初中新问题 __________________________ __________________________ 💡 本节课的核心问题：有理数范围（含负数）内，加法交换律、结合律 还成立吗？——我们要用实例验证并归纳出字母表达式。 🔍 回顾二：2.1.1 打下的“加法地基” 上节课积累的加法工具，本节课要拿来“组合运用”——请填空： 上节工具 内容回顾 本节要怎样用它？ 加法三条法则 ①同号取原号、绝对值相加；②异号取大号、绝对值相减；③加 0 不变 __________________________________ 三步法 ① 定符号 → ② 算绝对值 → ③ 写结果 __________________________________ 互为相反数 两数之和为 0（如 +3 与 -3 相加为 0） __________________________________ 绝对值 |a| 只表“距离”的非负数 __________________________________ 数轴模型 从原点出发的“行走” __________________________________ 一句话小结：上节课解决“两数如何加”，这节课解决“多个数怎样加得又快又准”——运算律 = 有理数加法的“加速器”。 💡 情境导入·账户变动 小华账户上一周变动如下：周一支出 15 元、周二收入 8 元、周三支出 3 元、周四收入 15 元、周五支出 8 元。用有理数加法列式，最快的算法是什么？ 算式：__________________________________________________________ 最快算法思路：__________________________________________________________ 结果 = __________ 四、新知探究 探究一：加法交换律（8 分钟） 先看三组实例——每组“交换两个加数位置”，看结果是否相同： 原式 交换后 原式 = 交换后 = 比较 ① (-8) + (+5) = ? (+5) + (-8) = ? _______ _______ _______ ② (-3.7) + (-2.1) = ? (-2.1) + (-3.7) = ? _______ _______ _______ ③ (+7) + 0 = ? 0 + (+7) = ? _______ _______ _______ 📐 归纳·加法交换律 对任意两个有理数 a、b，都有： a + b = b + a 文字表述：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 ★ 关键细节：搬项时正负号必须一起搬！(-8) + (+5) 交换成 (+5) + (-8) —— 负号跟着 8 走，不能变成 (+8)+(-5)。 探究二：加法结合律（10 分钟，核心难点） 三个数相加，先算前两个 vs 先算后两个，结果是否相同？看三组实例： 先加前两个 先加后两个 左式 = 右式 = [ (-3) + (-4) ] + (+7) (-3) + [ (-4) + (+7) ] __________ __________ [ (+8) + (-5) ] + (-4) (+8) + [ (-5) + (-4) ] __________ __________ [ (-2) + (+6) ] + (-4) (-2) + [ (+6) + (-4) ] __________ __________ 📐 归纳·加法结合律 对任意三个有理数 a、b、c，都有： (a + b) + c = a + (b + c) 文字表述：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 ★ 两律并用：交换律 + 结合律 → 任意多个数相加，可以任意交换顺序、任意分组。这就是简便运算的理论依据！ 探究三：简便运算三大策略（12 分钟，通用套路） 拿到一列多数相加，先观察式子结构，从三大策略中挑选： 策略一·相反数配对（优先度最高） 式子中若有互为相反数的两项，先配对相加为 0——直接消灭两项，最省力。 识别标志：找绝对值相同、符号相反的两个数——如 -15 与 +15、-1.7 与 +1.7、- 与 +。 策略二·同号归组（正的一起，负的一起） 把所有正数放一组求和、负数放一组求和，最后异号相加——把“多次异号运算”压缩为“两次同号 + 一次异号”。 识别标志：多个数正负混杂，没有明显相反数——按符号分组即可。 策略三·凑整（能凑成整数或方便计算的先加） 小数或分数运算时，若两项之和为整数（或分母通分方便的），先加起来——把“硬算”变“口算”。 识别标志：看小数末位——如 1.25 + 2.75 = 4；看分母——同分母 or 分母倍数关系的先加。 三步法示范：(-15) + (+12) + (-8) + (+16) = ? 第 1 步·观察：________________________________________ 第 2 步·分组：________________________________________ 第 3 步·求和：________________________________________ 第 4 步·结果：________________________________________ 五、典例精讲 例 1【运算律基本应用】 按要求用运算律计算下列各题： (1) 用交换律计算：(-23) + (+18) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (2) 用结合律计算：[ (-3) + (-4) ] + (+7) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (3) 用两律并用：(-8) + (+5) + (+8) + (-5) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ 例 2【策略一·相反数配对】 计算下列各题（找出互为相反数，先配对为 0）： (1) (-23) + (+18) + (+23) + (-18) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (2) (-1.7) + 2.3 + (-2.3) + 1.7 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (3) (-) + (+) + (+) + (-) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ 例 3【策略二+三·同号归组 & 凑整】 综合使用运算律进行简便运算： (1) (-15) + (+12) + (-8) + (+16) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ (2) 1.25 + (-3.5) + 2.75 + (-6.5) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ (3) (-) + (+) + (+) + (-) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1. 【概念填空】 请在横线上填入合适内容： (1) 加法交换律的字母表达式：__________________________。 (2) 加法结合律的字母表达式：__________________________。 (3) 简便运算三大策略：__________ · __________ · __________。 (4) 搬项时，必须连同 __________ 一起搬，例如：(-8) 搬到别处仍是 __________。 2. 【辨析选择】 下列运算过程使用运算律正确的是（　　） A. (-3) + (+5) = (+3) + (+5)（用了交换律） B. (-8) + (-4) + (+8) = [(-8) + (+8)] + (-4)（交换+结合律） C. (-5) + (+3) + (+5) = (-5) + (+5) + (+3)（只用了结合律） D. (-2) + (-3) + (+2) = [(-2) + (-3)] + (+2)（用了结合律，且能简化） 3. 【简便运算】 请用运算律计算下列各题（写清所用策略）： (1) (-7) + (+12) + (+7) + (-3) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (2) (-1.5) + (+0.8) + (-0.5) + (+1.2) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (3) (-) + (+) + (-) + (+) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ (4) 25 + (-13) + (+75) + (-27) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ 4. 【生活应用·仓库出入库】 某零食仓库一周进出货记录（+ 表进货，- 表出货，单位：吨）：+3.5, -2.8, +6.5, -7.2, +2.8, -1.5。请用有理数加法列式并用运算律简算，求本周库存净变动。 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ ∴ 本周库存净变动 __________ 吨。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 加法交换律 · a + b = b + a 两条运算律 ──────┤ └── 加法结合律 · (a+b)+c = a+(b+c) ┌── 策略一·相反数配对 → 优先！两项直接消灭为 0 三大简便策略 ────┼── 策略二·同号归组 → 正一组、负一组，最后异号相加 └── 策略三·凑整 → 小数末位互补 / 分数分母方便 ┌── ① 观察式子 → 找相反数、找同号、找凑整 使用套路 ────────┼── ② 交换 + 结合 → 重组式子结构 └── ③ 逐组求和 → 最后合并 🔑 一句口诀：“相反先配对，同号再归组；凑整巧计算，运算有加速。” 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1. 【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 (1) 加法交换律 a+b=b+a 中，a、b 可以是任意有理数（含负数、0）。 判断：__________ 理由：______________________________________ (2) 搬项时，符号跟着数字一起搬，例如：(-5) 搬到别处仍是 (-5)。 判断：__________ 理由：______________________________________ (3) 加法结合律要求至少 3 个加数，2 个加数用不到结合律。 判断：__________ 理由：______________________________________ (4) 遇到互为相反数的两项，一定要“优先配对”，能省一步计算。 判断：__________ 理由：______________________________________ (5) (-3) + (+5) + (-3) 用交换律可以变成 (+5) + (-3) + (-3)。 判断：__________ 理由：______________________________________ (6) 加法交换律和结合律，让我们可以“任意交换加数顺序、任意分组”。 判断：__________ 理由：______________________________________ 2. 【填空题】 请在横线上填入正确的数或运算律名称： (1) (-6) + (+9) = (+9) + __________，用了 __________ 律。 (2) [ (-3) + (+7) ] + (-5) = (-3) + [ __________ ]，用了 __________ 律。 (3) (-8) + (+13) + (+8) 用两律简算 = [__________] + (+13) = __________。 (4) 若 a + b = 5，则 b + a = __________；若 (a+b)+c = 10，则 a+(b+c) = __________。 3. 【简便运算】 用运算律简算下列各题： (1) (-11) + (+8) + (+11) + (-8) 解：__________________________________________________________ (2) 15 + (-24) + (+25) + (-16) 解：__________________________________________________________ (3) (-3.7) + (+2.5) + (-2.5) + (+3.7) 解：__________________________________________________________ (4) (-) + (+) + (-) 解：__________________________________________________________ (5) 0.5 + (-2.75) + 2.5 + (-0.25) 解：__________________________________________________________ (6) (-100) + (+37) + (+100) + (-63) 解：__________________________________________________________ 🅱️ 能力提升（选做） 4. 【生活应用·气温波动】 某市某日气温（℃）每 4 小时记录一次：0 时 -3、4 时 -5、8 时 +2、12 时 +8、16 时 +6、20 时 +1、24 时 -2。若把每次气温变化列成加法式（从 0 时开始，每 4 小时的变化量），并求一天中气温变化量的代数和，用运算律简算。 解：每 4 小时的变化量：__________________________________________________________ __________________________________________________________ 代数和 = __________________________________________________________ 简算过程：__________________________________________________________ 结果 = __________ ℃ 5. 【分数简便运算】 计算：(+) + (-) + (-) + (+) + (-) 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________ 结果 = __________ 6. 【分类讨论·代数式取值】 已知 |a|=4，|b|=6，且 a+b > 0，求 a+b 的值。 解：a = __________，b = __________；共 __________ 种情况： __________________________________________________________ __________________________________________________________ 满足 a+b>0 的有 __________ 种，即 a+b = __________________________ 🅲 拓展探究（学有余力） 7. 【规律探究·减法能否用运算律？】 我们知道加法满足交换律和结合律。想一想：减法满足吗？请通过实例验证并回答： (1) 计算 5 - 3 = __________，3 - 5 = __________，二者是否相等？__________ (2) 计算 (10 - 6) - 2 = __________，10 - (6 - 2) = __________，二者是否相等？__________ (3) 结论：减法 __________ 交换律，__________ 结合律（“满足/不满足”）。 (4) 那我们该怎样让“减法也能用运算律”呢？请写出你的想法：__________________________ 8. 【创意实践·编题挑战】 请你自编一道“看起来复杂、用运算律后一步出结果”的连加算式（至少 6 个加数），要求： 1. 使用三大策略中至少 两种； 1. 必须包含正数、负数、分数（或小数） 三种不同形式的加数； 1. 写出简算过程，标注所用运算律 / 策略。 我编的算式：__________________________________________________________ 　　　　　　 __________________________________________________________ 简算过程：__________________________________________________________ 　　　　　 __________________________________________________________ 我用到的策略：__________________________________________________________ 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 1. 我能准确写出加法交换律、结合律的字母表达式 □ □ □ 2. 我能识别“相反数配对”——一眼看出可配对的两项 □ □ □ 3. 我会用“同号归组”把正负数分开求和 □ □ □ 4. 我能用“凑整”策略处理小数、分数相加 □ □ □ 5. 我能在搬项时“符号与数字一起搬”，不漏号不错号 □ □ □ 6. 我能用运算律解决生活中的多数相加问题（如账户、气温） □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2 加法运算律 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解并掌握有理数的加法交换律——a + b = b + a。 1. 理解并掌握有理数的加法结合律——(a + b) + c = a + (b + c)。 1. 能灵活运用两条运算律进行简便运算，熟练掌握“同号归组 · 相反数配对 · 凑整”三大策略。 【过程与方法】 1. 经历“实例验证 → 观察归纳 → 字母抽象”的完整过程，体会从特殊到一般的数学思想。 1. 通过“直接算 vs 用运算律算”的对比，感受算法优化与结构观察的价值。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学的简洁美与规律美——运算律让繁琐计算变得优雅，为后续代数式变形打下基础。 二、学习重难点 重 点 ① 加法交换律与结合律的字母表达式与几何直观；② 三大简便策略——同号归组 · 相反数配对 · 凑整——的选择与规范书写。 难 点 观察式子结构并合理选择运算律进行简便运算——尤其是“搬项时正负号一起搬”这一关键动作。 易错点 ① 搬项漏带符号——(-3)+5 搬成 (+3)+5；② 分组括号内正负颠倒——把 (-3)+(-4) 写成 -(3+4) 后又漏号；③ 遗忘“相反数配对为 0”——(-8)+(+8) 不主动配对；④ 分数简便运算未先通分。 三、小初衔接·知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学阶段的加法运算律 小学阶段（自然数范围内）学过两条运算律，请回忆并填写： 维 度 小学阶段内容 举 例 加法交换律 a + b = b + a（两加数交换位置，和不变） 5 + 8 = 8 + 5 = 13 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c)（三数相加，可先加前两 or 先加后两） (2+7)+3 = 2+(7+3) = 12 运算律作用 灵活重组加数顺序或分组，简化计算 25 + 37 + 75 = (25+75)+37 = 137 初中新问题 把加数扩充到 有理数（含负数），运算律是否仍然成立？ (-5)+(+8) = ?= (+8)+(-5) 💡 本节课的核心问题：有理数范围（含负数）内，加法交换律、结合律 还成立吗？——我们要用实例验证并归纳出字母表达式。 🔍 回顾二：2.1.1 打下的“加法地基” 上节课积累的加法工具，本节课要拿来“组合运用”——请填空： 上节工具 内容回顾 本节要怎样用它？ 加法三条法则 ①同号取原号、绝对值相加；②异号取大号、绝对值相减；③加 0 不变 简便运算的基础——每一步小计算都靠它 三步法 ① 定符号 → ② 算绝对值 → ③ 写结果 每一小步依然按三步法书写 互为相反数 两数之和为 0（如 +3 与 -3 相加为 0） “相反数配对”的核心依据 绝对值 |a| 只表“距离”的非负数 同号相加、异号相减都要它 数轴模型 从原点出发的“行走” 验证运算律：无论先后顺序，终点相同 一句话小结：上节课解决“两数如何加”，这节课解决“多个数怎样加得又快又准”——运算律 = 有理数加法的“加速器”。 💡 情境导入·账户变动 小华账户上一周变动如下：周一支出 15 元、周二收入 8 元、周三支出 3 元、周四收入 15 元、周五支出 8 元。用有理数加法列式，最快的算法是什么？ 答：规定收入为 +、支出为 - ——算式：(-15) + (+8) + (-3) + (+15) + (-8)。 最快算法：观察到 -15 与 +15 互为相反数（配对为 0），+8 与 -8 也互为相反数（配对为 0）—— 原式 = [(-15)+(+15)] + [(+8)+(-8)] + (-3) = 0 + 0 + (-3) = -3（净支出 3 元）。 💡 教师提示：让学生先“硬算”一次（顺次相加：-15→-7→-10→+5→-3，得 -3），再对比“相反数配对”的算法——直观感受运算律带来的“简便”价值。 四、新知探究 探究一：加法交换律（8 分钟） 先看三组实例——每组“交换两个加数位置”，看结果是否相同： 原式 交换后 原式 = 交换后 = 比较 ① (-8) + (+5) = ? (+5) + (-8) = ? -3 -3 相等 ✓ ② (-3.7) + (-2.1) = ? (-2.1) + (-3.7) = ? -5.8 -5.8 相等 ✓ ③ (+7) + 0 = ? 0 + (+7) = ? +7 +7 相等 ✓ 📐 归纳·加法交换律 对任意两个有理数 a、b，都有： a + b = b + a 文字表述：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 ★ 关键细节：搬项时正负号必须一起搬！(-8) + (+5) 交换成 (+5) + (-8) —— 负号跟着 8 走，不能变成 (+8)+(-5)。 💡 教学建议：让学生把每个加数看作“带身份证的整体”——数字是姓名、符号是身份证号，搬家时身份证要一起带走。可以用磁贴演示：黑板上写 [-8] [+5] 两张卡片，物理交换位置。 探究二：加法结合律（10 分钟，核心难点） 三个数相加，先算前两个 vs 先算后两个，结果是否相同？看三组实例： 先加前两个 先加后两个 左式 = 右式 = [ (-3) + (-4) ] + (+7) (-3) + [ (-4) + (+7) ] -7+7=0 -3+3=0 [ (+8) + (-5) ] + (-4) (+8) + [ (-5) + (-4) ] +3+(-4)=-1 +8+(-9)=-1 [ (-2) + (+6) ] + (-4) (-2) + [ (+6) + (-4) ] +4+(-4)=0 -2+2=0 📐 归纳·加法结合律 对任意三个有理数 a、b、c，都有： (a + b) + c = a + (b + c) 文字表述：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 ★ 两律并用：交换律 + 结合律 → 任意多个数相加，可以任意交换顺序、任意分组。这就是简便运算的理论依据！ 💡 教学建议：重点讲清“两律并用”——单独一条律用途有限，两条一起用才能实现“任意重组”。板书用“→”箭头示范：a+b+c+d ——交换律→ a+c+b+d ——结合律→ (a+c)+(b+d)，让学生看见“重组过程”。 探究三：简便运算三大策略（12 分钟，通用套路） 拿到一列多数相加，先观察式子结构，从三大策略中挑选： 策略一·相反数配对（优先度最高） 式子中若有互为相反数的两项，先配对相加为 0——直接消灭两项，最省力。 识别标志：找绝对值相同、符号相反的两个数——如 -15 与 +15、-1.7 与 +1.7、- 与 +。 策略二·同号归组（正的一起，负的一起） 把所有正数放一组求和、负数放一组求和，最后异号相加——把“多次异号运算”压缩为“两次同号 + 一次异号”。 识别标志：多个数正负混杂，没有明显相反数——按符号分组即可。 策略三·凑整（能凑成整数或方便计算的先加） 小数或分数运算时，若两项之和为整数（或分母通分方便的），先加起来——把“硬算”变“口算”。 识别标志：看小数末位——如 1.25 + 2.75 = 4；看分母——同分母 or 分母倍数关系的先加。 三步法示范：(-15) + (+12) + (-8) + (+16) = ? 第 1 步·观察：无明显相反数（对策略一 pass）；正负号混杂 → 采用策略二·同号归组。 第 2 步·分组：原式 = [(-15) + (-8)] + [(+12) + (+16)]（交换律 + 结合律） 第 3 步·各组求和：= (-23) + (+28) 第 4 步·异号相加：= +5（异号，|+28|>|-23|，取 + 号，28-23=5） ∴ 原式 = +5 五、典例精讲 例 1【运算律基本应用】 按要求用运算律计算下列各题： (1) 用交换律计算：(-23) + (+18) 解： 由加法交换律，(-23) + (+18) = (+18) + (-23)（交换后往往更符合书写习惯）； 异号，|+18|<|-23|，取 - 号，23-18=5，结果 = -5 (2) 用结合律计算：[ (-3) + (-4) ] + (+7) 解： 由加法结合律，[ (-3) + (-4) ] + (+7) = (-3) + [ (-4) + (+7) ]； 先算 (-4)+(+7) = +3（异号相加）； 再算 (-3) + (+3) = 0（互为相反数） (3) 用两律并用：(-8) + (+5) + (+8) + (-5) 解： 由交换律 + 结合律，原式 = [ (-8) + (+8) ] + [ (+5) + (-5) ]； = 0 + 0 = 0（两对相反数配对） 例 2【策略一·相反数配对】 计算下列各题（找出互为相反数，先配对为 0）： (1) (-23) + (+18) + (+23) + (-18) 解： 观察：-23 与 +23 互为相反数；+18 与 -18 互为相反数。 原式 = [(-23)+(+23)] + [(+18)+(-18)] = 0 + 0 = 0 (2) (-1.7) + 2.3 + (-2.3) + 1.7 解： 观察：-1.7 与 +1.7 相反；+2.3 与 -2.3 相反。 原式 = [(-1.7)+(+1.7)] + [(+2.3)+(-2.3)] = 0 + 0 = 0 (3) (-) + (+) + (+) + (-) 解： 观察：- 与 + 相反；+ 与 - 相反。 原式 = 0 + 0 = 0 例 3【策略二+三·同号归组 & 凑整】 综合使用运算律进行简便运算： (1) (-15) + (+12) + (-8) + (+16) 【同号归组】 解： 正数：+12, +16 → +28；负数：-15, -8 → -23； 原式 = (-23) + (+28) = +5 (2) 1.25 + (-3.5) + 2.75 + (-6.5) 【凑整】 解： 正数：1.25+2.75 = 4（凑整）；负数：-3.5+(-6.5) = -10（凑整）； 原式 = 4 + (-10) = -6 (3) (-) + (+) + (+) + (-) 【同分母运算 + 通分】 解： 分组： 一组是：-、+；另一组是： +、-。 (-) + (+) = -=- ；(-)+(+)= -=-； 原式 = - +（- ）= - 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1. 【概念填空】 请在横线上填入合适内容： (1) 加法交换律的字母表达式：__________________________。 答：a + b = b + a (2) 加法结合律的字母表达式：__________________________。 答：(a + b) + c = a + (b + c) (3) 简便运算三大策略：__________ · __________ · __________。 答：相反数配对 · 同号归组 · 凑整 (4) 搬项时，必须连同 __________ 一起搬，例如：(-8) 搬到别处仍是 __________。 答：符号 / -8（不能变成 +8） 2. 【辨析选择】 下列运算过程使用运算律正确的是（　　） A. (-3) + (+5) = (+3) + (+5)（用了交换律） B. (-8) + (-4) + (+8) = [(-8) + (+8)] + (-4)（交换+结合律） C. (-5) + (+3) + (+5) = (-5) + (+5) + (+3)（只用了结合律） D. (-2) + (-3) + (+2) = [(-2) + (-3)] + (+2)（用了结合律，且能简化） 答案：B 解析： 1. A 错——搬项时符号漏带！(-3) 搬家后应该仍是 (-3)，不能变成 (+3)。 1. B 对——先用交换律把 (+8) 挪到 (-8) 旁边（相反数配对），再用结合律加括号，最后 [(-8)+(+8)]+(-4) = 0+(-4) = -4。 1. C 错——把 (+3) 与 (+5) 交换位置属于交换律，不是结合律；标注不准确。 1. D 错——结合律没错但没起到“简化”作用，(-2)+(-3) = -5 后再 -5+2 = -3，不如用交换律先把 (-2) 与 (+2) 配对为 0，剩下 -3。 3. 【简便运算】 请用运算律计算下列各题（写清所用策略）： (1) (-7) + (+12) + (+7) + (-3) 解：策略一：-7 与 +7 相反数配对为 0；剩 +12+(-3) = +9。 结果 = +9 (2) (-1.5) + (+0.8) + (-0.5) + (+1.2) 解：策略二 + 三：负数组 -1.5-0.5 = -2；正数组 0.8+1.2 = 2（凑整）；(-2)+(+2) = 0。 结果 = 0 (3) (-) + (+) + (-) + (+) 解：策略一 + 三：-2/3 与 -1/3 → -1；+1/4 与 +3/4 → +1；(-1)+(+1) = 0。 结果 = 0 (4) 25 + (-13) + (+75) + (-27) 解：策略二 + 三：25+75 = 100（凑整）；-13+(-27) = -40；100+(-40) = 60。 结果 = +60 4. 【生活应用·仓库出入库】 某零食仓库一周进出货记录（+ 表进货，- 表出货，单位：吨）：+3.5, -2.8, +6.5, -7.2, +2.8, -1.5。请用有理数加法列式并用运算律简算，求本周库存净变动。 解：原式 = 3.5 + (-2.8) + 6.5 + (-7.2) + 2.8 + (-1.5) 观察：-2.8 与 +2.8 互为相反数；3.5 与 6.5 可凑整为 10。 原式 = [(-2.8) + (+2.8)] + [(+3.5) + (+6.5)] + (-7.2) + (-1.5) = 0 + 10 + (-8.7) = +1.3 ∴ 本周库存净变动 +1.3 吨（净进货 1.3 吨）。 七、课堂小结（思维导图） ┌── 加法交换律 · a + b = b + a 两条运算律 ──────┤ └── 加法结合律 · (a+b)+c = a+(b+c) ┌── 策略一·相反数配对 → 优先！两项直接消灭为 0 三大简便策略 ────┼── 策略二·同号归组 → 正一组、负一组，最后异号相加 └── 策略三·凑整 → 小数末位互补 / 分数分母方便 ┌── ① 观察式子 → 找相反数、找同号、找凑整 使用套路 ────────┼── ② 交换 + 结合 → 重组式子结构 └── ③ 逐组求和 → 最后合并 🔑 一句口诀：“相反先配对，同号再归组；凑整巧计算，运算有加速。” 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1. 【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 (1) 加法交换律 a+b=b+a 中，a、b 可以是任意有理数（含负数、0）。 答：√ 运算律在有理数范围内仍然成立。 (2) 搬项时，符号跟着数字一起搬，例如：(-5) 搬到别处仍是 (-5)。 答：√ “符号是数字的身份证”——搬家必须一起走。 (3) 加法结合律要求至少 3 个加数，2 个加数用不到结合律。 答：√ 结合律的核心是“改变加数的分组方式”——2 个数不需要分组。 (4) 遇到互为相反数的两项，一定要“优先配对”，能省一步计算。 答：√ 相反数配对直接消灭两项为 0，是最省力的策略一。 (5) (-3) + (+5) + (-3) 用交换律可以变成 (+5) + (-3) + (-3)。 答：√ 交换律允许任意重排——只要符号一起搬。 (6) 加法交换律和结合律，让我们可以“任意交换加数顺序、任意分组”。 答：√ 两律并用的结论——这是简便运算的理论根基。 2. 【填空题】 请在横线上填入正确的数或运算律名称： (1) (-6) + (+9) = (+9) + __________，用了 __________ 律。 答：(-6)；加法交换 (2) [ (-3) + (+7) ] + (-5) = (-3) + [ __________ ]，用了 __________ 律。 答：(+7)+(-5)；加法结合 (3) (-8) + (+13) + (+8) 用两律简算 = [__________] + (+13) = __________。 答：(-8)+(+8) = 0；+13 (4) 若 a + b = 5，则 b + a = __________；若 (a+b)+c = 10，则 a+(b+c) = __________。 答：5；10 3. 【简便运算】 用运算律简算下列各题： (1) (-11) + (+8) + (+11) + (-8) 解：策略一·两对相反数配对。 结果 = 0 (2) 15 + (-24) + (+25) + (-16) 解：策略三·凑整：15+25=40（凑整），-24+(-16)=-40（凑整）。 结果 = 0 (3) (-3.7) + (+2.5) + (-2.5) + (+3.7) 解：策略一·两对相反数配对。 结果 = 0 (4) (-) + (+) + (-) 解：策略二·同号归组：-+（-） = -1；-1+（+ ）= -。 结果 =- (5) 0.5 + (-2.75) + 2.5 + (-0.25) 解：策略三·凑整：0.5+2.5=3；-2.75-0.25=-3；3+(-3)=0。 结果 = 0 (6) (-100) + (+37) + (+100) + (-63) 解：策略一 + 二：-100 与 +100 相反数配对为 0；剩 +37+(-63) = -26。 结果 = -26 🅱️ 能力提升（选做） 4. 【生活应用·气温波动】 某市某日气温每4小时记录一次：0 时 -3℃、4 时 -5℃、8 时 +2℃、12 时 +8℃、16 时 +6℃、20 时 +1℃、24 时 -2℃。若把每次气温变化列成加法式（从 0 时开始，每 4 小时的变化量），并求一天中气温变化量的代数和，用运算律简算。 解：每 4 小时的变化量： 1. 4h： -2℃；8h： +7℃；12h：+6℃； 1. 16h：-2℃；20h：-5℃；24h：-3℃。 代数和 = (-2) + (+7) + (+6) + (-2) + (-5) + (-3) 简算（策略二·同号归组）： 正数组：+7 + 6 = +13；负数组：-2 + (-2) + (-5) + (-3) = -12； 原式 = (+13) + (-12) = +1 ℃ 💡 提示：代数和 = 24 时气温 - 0 时气温 = -2 - (-3) = +1，与逐步累加结果一致——这是本题的验证方法。 5. 【分数简便运算】 计算：(+) + (-) + (-) + (+) + (-) 解：观察分母：4、6、3——按分母分组用同分母运算。 分母为 4：+ 与 - → + - = + = + 分母为 6：- 与 + → - + = - = - 剩余：- 原式 = + (-) + (-) = + (-) 通分：= + (-) = -；∴ 结果 = - 6. 【分类讨论·代数式取值】 已知 |a|=4，|b|=6，且 a+b > 0，求 a+b 的值。 解：由绝对值定义，a = ±4，b = ±6，共 4 种情况： 1. ① a=+4, b=+6：a+b = +10 > 0 ✓ 1. ② a=+4, b=-6：a+b = -2 < 0 ✗ 1. ③ a=-4, b=+6：a+b = +2 > 0 ✓ 1. ④ a=-4, b=-6：a+b = -10 < 0 ✗ ∴ a+b 的值为 +10 或 +2。 💡 提示：绝对值给出“距离”，两个方向都可能——用运算律的“任意组合”思想枚举所有情况，再用条件筛选。 🅲 拓展探究（学有余力） 7. 【规律探究·减法能否用运算律？】 我们知道加法满足交换律和结合律。想一想：减法满足吗？请通过实例验证并回答： (1) 计算 5 - 3 = __________，3 - 5 = __________，二者是否相等？__________ (2) 计算 (10 - 6) - 2 = __________，10 - (6 - 2) = __________，二者是否相等？__________ (3) 结论：减法 __________ 交换律，__________ 结合律（“满足/不满足”）。 (4) 那我们该怎样让“减法也能用运算律”呢？请写出你的想法：__________________________ 答案： 1. (1) 5-3=2；3-5=-2；两者 不相等——减法 不满足交换律。 1. (2) (10-6)-2=2；10-(6-2)=6；两者 不相等——减法 不满足结合律。 1. (3) 减法 不满足交换律，不满足结合律。 1. (4) 关键思路——把减法转化为加法！a - b = a + (-b)——减一个数 = 加上它的相反数。这样减法就“变成了加法”，可以用运算律了！这就是 下一节 2.1.3 有理数的减法 的核心思想。 💡 教师提示：本题是承前启后的关键——让学生自己发现“减法转化为加法”的必要性，为下节课奠定认知基础。 8. 【创意实践·编题挑战】 请你自编一道“看起来复杂、用运算律后一步出结果”的连加算式（至少 6 个加数），要求： 1. 使用三大策略中至少 两种； 1. 必须包含正数、负数、分数（或小数） 三种不同形式的加数； 1. 写出简算过程，标注所用运算律 / 策略。 参考示例（学生答案不唯一）： 【示例算式】 (-) + (+2.5) + (+) + (-15) + (-2.5) + (+15) 解：观察：- 与 + 相反；+2.5 与 -2.5 相反；-15 与 +15 相反——三对相反数配对！ 原式 = [(-) + (+)] + [(+2.5) + (-2.5)] + [(-15) + (+15)] = 0 + 0 + 0 = 0 使用策略：策略一（相反数配对） + 加法交换律 + 加法结合律。 💡 教师提示：鼓励学生设计“相反数陷阱”——把相反数隔开放，考察同学的“慧眼识珠”；也可以设计凑整陷阱（如 1.6+2.4=4）。评价维度：算式合理性 + 简算过程完整性 + 策略标注准确性。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 1. 我能准确写出加法交换律、结合律的字母表达式 □ □ □ 2. 我能识别“相反数配对”——一眼看出可配对的两项 □ □ □ 3. 我会用“同号归组”把正负数分开求和 □ □ □ 4. 我能用“凑整”策略处理小数、分数相加 □ □ □ 5. 我能在搬项时“符号与数字一起搬”，不漏号不错号 □ □ □ 6. 我能用运算律解决生活中的多数相加问题（如账户、气温） □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $