精品解析：天津市河东区2025-2026学年第二学期高一期末练习数学试卷

2025～2026学年度第二学期高一数学期末练习卷 ____________学校 班级___________ 姓名___________ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内． 1. 抛掷一枚骰子，记事件“落地时向上的点数是奇数”，事件“落地时向上的点数是偶数”，事件“落地时向上的点数是3的倍数”，事件“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 3. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 从一副混合后的扑克牌不含大小王（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率（ ） A. B. C. D. 6. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 16 D. 17 7. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点.直线与平面的距离为 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在题中横线上． 9. 如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其分位数为___________. 10. 某班级随机抽取名学生解答某题的时间记录如下表： 解答时间/分 频数 若每组数据以区间中点值代替，则名学生解答时间的平均值为___________． 11. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是__________． 12. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成角的大小为______________． 13. 已知样本，，，…，方差，则样本，，，…，的标准差为______________． 14. 如图，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____________ 三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 15. 在正方体中： （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 17. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如下表： 甲 乙 投篮次数 命中的次数 若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率． （1）估计甲、乙每次投篮命中的概率； （2）事件 “某轮比赛中甲、乙得分相同”，求； （3）求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率． 18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图，已知四棱锥，，，分别是棱，的中点，且，，，四点共面． （1）求证：； （2）是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期高一数学期末练习卷 ____________学校 班级___________ 姓名___________ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，满分32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内． 1. 抛掷一枚骰子，记事件“落地时向上的点数是奇数”，事件“落地时向上的点数是偶数”，事件“落地时向上的点数是3的倍数”，事件“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】A 【解析】 【分析】 根据互斥与对立事件的定义逐个判断即可. 【详解】事件与不能同时发生,是互斥事件,但不是对立事件；事件与是对立事件；事件与可能同时发生,不是互斥事件；事件与可能同时发生,不是互斥事件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的判定,属于基础题. 2. 某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ） A. 50 B. 60 C. 64 D. 75 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念及抽取方法，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，高二年级有学生1000人，三个年级共有学生3000人， 因为用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取人参加表演， 其中高二年级被抽取的人数为20，可得，解得． 故选：B． 3. 已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【详解】因为， 对于A，若，则与有可能异面，故A错误； 对于B，若，则，又，则，故B正确； 对于C，若，则有可能，故C错误； 对于D，若，则与有可能相交，故D错误． 故选：B． 4. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 5. 从一副混合后的扑克牌不含大小王（52张）中随机抽取1张，事件为“抽得红桃K”，事件为“抽得黑桃”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】事件A为“抽得红桃K”，仅包含1种结果，因此. 事件B为“抽得黑桃”，黑桃共有13张，包含13种结果，因此. 由于红桃K属于红桃，不可能同时是黑桃，故事件A与事件B为互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式可得， 。  6. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ） A. 11 B. 13 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】将样本数据由小到大排列，结合上四分位数的定义可求得这组数据的上四分位数. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24， 因为，所以这组数据的上四分位数为. 故选：D 7. 已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 8. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点是棱的中点.直线与平面的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据底面，得到，再由底面为矩形，得到，利用线面垂直的判定定理得到 平面，从而得到平面平面，则点A到FD的距离，即点A到平面的距离，根据，则平面，则点A到平面的距离，即为直线AB到平面的距离，然后在中求解. 【详解】如图所示： 取PA的中点F，连接EF，FD， 因为底面，所以， 因为底面为矩形，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面，平面平面， 所以点A到FD的距离，即为点A到平面的距离， 因为，平面，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离，即为直线AB到平面的距离， 在中，， 所以点A到FD的距离为. 故直线与平面的距离为. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与平面，平面与平面垂直的判定定理以及点到线，线到面的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．请将答案填在题中横线上． 9. 如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其分位数为___________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，计算即可. 【详解】由图可知第一组的频率为，前两组的频率之和为，则可知其分位数在内，设为， 则，解得. 故答案为：14 10. 某班级随机抽取名学生解答某题的时间记录如下表： 解答时间/分 频数 若每组数据以区间中点值代替，则名学生解答时间的平均值为___________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】由表格，名学生解答时间的平均值为． 11. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：考查古典概型的计算公式及分析问题解决问题的能力. 从个元素中选个的所有可能有种，其中连续有共种，故由古典概型的计算公式可知恰好为连续天的概率是. 考点：古典概型的计算公式及运用. 12. 已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成角的大小为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点G，结合线面角的定义证明与平面的夹角为，解三角形求其大小. 【详解】依题意，作图如下， 取的中点，连结， ∵是正三角形，∴，， 又∵平面，平面，∴， 又因，平面，则平面， 则与平面的夹角为.而， 在中，， 又，则， 与侧面所成角的大小为. 13. 已知样本，，，…，方差，则样本，，，…，的标准差为______________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，新样本为，根据方差的特性，新样本方差为， 因此标准差为. 14. 如图，已知平面四边形，，，，．沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是____________ 【答案】 【解析】 【分析】由折叠过程可知，作于点，到边的距离不变，故的运动轨迹为以以为圆心，为半径的圆，作出与所成角，判断出取最小值的位置. 【详解】由折叠过程可知，在以为圆心，为半径的圆上运动，其中， 且垂直圆所在的平面，如图，作于，则， 则与所成角即为，且，, 要使最大，只需最小， 在中，为定值，即只要最短且， ，， ，, ， ，因此． 三、解答题：本大题共5小题，满分44分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程． 15. 在正方体中： （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）因为在正方体中，且, 所以，四边形为平行四边形 所以，， 又平面平面，平面平面， 所以，平面 （2）连接, 因为平面， 平面, 所以， 因为在正方形中，，， 所以，平面，平面， 所以，，同理可得平面 所以，,, 所以，平面 又平面 所以，平面平面 【解析】 【分析】（1）易知，利用线面平行的判定即可证明； （2）连接对角线，通过证明平面，最后由平面得到平面平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为 （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 【答案】（1）0.006；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，由频率总和即所有矩形面积之和为，可求； （2）在频率分布直方图中先求出50名受访职工评分不低于80的频率为，由频率与概率关系可得该部门评分不低于80的概率的估计值为； （3）受访职工评分在[50，60)的有3人，记为，受访职工评分在[40，50)的有2 人，记为，列出从这5人中选出两人所有基本事件，即可求相应的概率. 【详解】（1）因为， 所以 （2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为 （3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)， 即为； 受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图､概率与频率关系､古典概型，属中档题；利用频率分布直方图解题的时，注意其表达的意义，同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识；在利用古典概型解题时，要注意列出所有的基本事件，千万不可出现重､漏的情况. 17. 甲、乙两人进行投篮比赛，比赛的规则是，每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分，若干轮比赛后，最后总得分多的获胜，最后总得分相同则为平局．为了在比赛中取得比较好的成绩，甲、乙两人在比赛前进行了针对性训练，训练后投篮情况如下表： 甲 乙 投篮次数 命中的次数 若比赛中每个人投篮命中与否相互之间没有影响，且以频率代替概率． （1）估计甲、乙每次投篮命中的概率； （2）事件 “某轮比赛中甲、乙得分相同”，求； （3）求两轮比赛后，乙的总得分大于甲的总得分的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知训练数据，用频率估计概率； （2）利用相互独立事件概率的乘法公式及互斥事件的加法公式计算求解； （3）分析甲、乙可能得分的情况并利用独立重复试验的概率计算方法计算相关概率，分类讨论乙得分大于甲的所有情况，运用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式计算求解． 【小问1详解】 设事件B为“甲投篮命中”，事件C为“乙投篮命中”， 由训练后投篮情况数据可知， 甲命中概率为：， 乙命中概率为：． 【小问2详解】 每轮比赛每人投一次篮，投中得2分，未投中得0分， 得分相同有两种情况：①两人都投中；②两人都未投中， 由（1）知甲命中概率，甲未命中概率； 乙命中概率，乙未命中概率； 甲、乙投篮命中互相独立，甲、乙投篮均命中与均未命中互斥， ． 【小问3详解】 设甲两轮得分为，乙两轮得分为，则取值均为， 乙得分大于甲的情况为：①；②；③． 甲命中概率，甲未命中概率；乙命中概率，乙未命中概率， ， ， ． 18. 如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， （1）求证：//平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解； （3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 【小问3详解】 [方法一：几何法] 过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法] 辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 19. 如图，已知四棱锥，，，分别是棱，的中点，且，，，四点共面． （1）求证：； （2）是线段上的动点，线段上是否存在点，使平面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为，分别是棱，的中点，所以在中，是中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面，因为平面经过直线，且与平面交于， 根据线面平行的性质定理可得：， 又因为，所以. （2）线段上存在点（即的中点），使得平面，证明如下： 由（1）知且， 取线段的中点，连接， 因为且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，分别是，的中点，所以且， 结合且，可得且， 所以四边形是平行四边形，从而， 因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再利用线面平行的性质定理可得答案； （2）取线段的中点，利用面面平行的判定定理证明平面平面，再利用两平面平行的性质可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $