精品解析：天津市河东区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

河东区2024－2025学年第二学期高一期末质量检测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求） 1. 一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（ ） A. 360 B. 270 C. 240 D. 180 3. 若是两个不重合的平面，是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D 若，则 4. 在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（ ） A. 2件都一级品 B. 2件都是二级品 C 一级品和二级品各1件 D. 至少有1件二级品 5. 如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面平面 C. 若，，则平面 D. 若，，则 6. 某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如下饼图： 则下列结论错误的是（ ） A. 2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变 B. 2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍 C. 2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多 D. 2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少 7. 盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 9. 将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝_______ 10. 某校高三年级10次模考中甲同学的数学成绩从小到大依次排列为94，96，98，98，100，101，101，102，102，103，则甲同学在这10次模考中数学成绩的第40百分位数为______． 11. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为______． 12. 如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，则直线与平面所成角的正弦值为________. 13. 在对树人中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为______． 14. 如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P­-BD­-A的余弦值为________． 三、解答题：（本大题5个题，共44分） 15. 学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 （1）求这10名学生投中球的个数的方差； （2）从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率. 16. 如图，为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 17. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 18. 2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有240个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区. （1）根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第分位数； （2）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数； （3）市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求证：平面⊥平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河东区2024－2025学年第二学期高一期末质量检测 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共32分） 一、选择题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求） 1. 一个盒子中装有红、黄、白三种颜色的球若干个，从中任取一个球，已知取到红球的概率为，取到黄球的概率为，则取到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设出红、黄、白三种颜色的球的个数分别为，再利用条件得到，再利用古典概率公式即可求出结果. 【详解】设盒子中装有红、黄、白三种颜色的球的个数分别为，因为取到红球的概率为，取到黄球的概率为， 则，得到，所以取到白球的概率为. 故选：D. 2. 唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝（ ） A. 360 B. 270 C. 240 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样中各层之间的比例，结合已知条件列方程求解. 【详解】根据分层抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为， 由题意可得，解得，所以． 故选：D 3. 若是两个不重合的平面，是三条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合选项逐个判定，可以利用定理推理，也可以使用反例排除. 【详解】对于A，，的位置关系无法确定； 对于B，两个平面平行，需要一个平面内的两条相交线平行于另一个平面，显然不满足； 对于C，线面垂直需要直线垂直于平面内的两条相交直线，缺少相交的条件； 对于D，，，所以，因为，所以； 故选：D. 4. 在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，下列事件中概率为的是（ ） A. 2件都是一级品 B. 2件都是二级品 C. 一级品和二级品各1件 D. 至少有1件二级品 【答案】D 【解析】 【分析】利用列举法求得任取两件的样本点的总数，根据选项，结合古典摡型的概率计算公式和互斥事件的概率加法公式，逐项判定，即可求解. 【详解】设，，分别表示3件一级品，，分别表示2件二级品, 任取2件，则样本空间， 共10个样本点，且每个样本点出现的可能性相等， 记事件A表示“2件都是一级品”，包含3个样本点，则. 记事件B表示“2件都是二级品”，包含1个样本点，则. 记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”，包含6个样本点，则. 事件A，B，C两两互斥，所以， 又由表示“至少有1件二级品”. 故选：D. 5. 如图，在正方体中，、为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则平面平面 C. 若，，则平面 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的特征及线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定判断AB；利用正方体的特征及面面平行的判定与性质判断CD. 【详解】 对于A，，底面，底面，则， 又平面，则平面，平面，所以，A正确； 对于B，，则平面，又平面，则平面平面， 而平面与平面重合，平面平面，B正确； 对于C，在正方体中，， 而平面，平面，则平面，同理平面， 又平面，因此平面平面， 由平面，得平面，C正确； 对于D，由于分别为上的动点，则与不一定相等，与不一定平行，D错误. 故选：D 6. 某企业为响应国家新旧动能转换的号召，积极调整企业拥有的5种系列产品的结构比例，并坚持自主创新提升产业技术水平，2021年年总收入是2020年的2倍，为了更好的总结5种系列产品的年收入变化情况，统计了这两年5种系列产品的年收入构成比例，得到如下饼图： 则下列结论错误的是（ ） A. 2021年的甲系列产品收入和2020年保持不变 B. 2021年的丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的4倍 C. 2021年的丙和丁系列产品的收入之和比2020年的企业年总收入还多 D. 2021年的乙和丙系列产品的收入之和比2020年的乙和丙系列产品收入之和的2倍还少 【答案】D 【解析】 【分析】设出2020年年总收入，根据给定的饼图，逐一分析各个选项，并判断作答. 【详解】设2020年年总收入为W，则2021年年总收入为2W，观察饼图， 对于A，2020年的甲系列产品收入为，2021年的甲系列产品收入为，A正确； 对于B，2020年丁系列产品收入为，2021年的丁系列产品收入为，，B正确； 对于C，2021年的丙和丁系列产品的收入之和为，C正确； 对于D，2020年乙和丙系列产品收入之和为，2021年的乙和丙系列产品的收入之和为 ，显然，D不正确. 故选：D 7. 盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚"两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 343 432 314 134 234 132 243 331 112 324 342 241 244 342 124 431 233 214 344 434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出恰好第三次结束时就停止的随机数的个数，利用古典概型公式求解概率． 【详解】随机模拟产生了20组随机数，其中恰好第三次结束时就停止的随机数有：314，134，234，243，324，共5个， 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为． 故选：C． 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点为底面上在意一点，若直线与平面无公共点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与平面无公共点，知平面，由平面平面，知点在上，利用三角形为等边三角形可得的最小值. 【详解】 如图：连接， 由正方体性质可知：， 因平面，平面， 所以平面， 同理，, 因平面，平面， 所以平面， 又， 平面，平面， 所以平面平面， 因直线与平面无公共点，点为底面上在意一点 所以点在上， 故最小时，， 因正方体的棱长为2， 所以三角形为边长为的等边三角形， 时，， 故选：B 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 9. 将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝_______ 【答案】20 【解析】 【详解】试题分析：：∵第二、三组的频率为0.15和0.45 ∴第一组的频率为1-0.15-0.45=0.4 ∵第一组的频数为8 ∴m= 考点：频率分布直方图 10. 某校高三年级10次模考中甲同学的数学成绩从小到大依次排列为94，96，98，98，100，101，101，102，102，103，则甲同学在这10次模考中数学成绩的第40百分位数为______． 【答案】99 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接计算即可 【详解】国灰， 所以第40百分位数为第四、五两数的平均数即为． 故答案为：99 11. 一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再计算满足条件的事件数 进而计算出概率. 【详解】解：一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球， 基本事件总数， 两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数， 则两次取到的球颜色相同的概率为． 故答案：． 12. 如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面，若，则直线与平面所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，则平面，，由∥，得，从而是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值 【详解】解：取的中点，连接， 因为在三棱柱中，底面是等边三角形，且底面， 所以平面，， 因为∥，所以， 所以是直线与平面所成角， 因， 所以，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故答案为： 【点睛】此题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，属于中档题 13. 在对树人中学高一年级学生身高（单位：）调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的方差为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出这个人身高的平均数，然后根据方差公式计算. 【详解】依题意得，题干中人身高的平均数为：， 根据方差公式，总体的方差为： 故答案为： 14. 如图，P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则二面角P­-BD­-A的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据PA⊥AB，PA⊥BC，易得PA⊥平面ABCD，再根据四边形ABCD为正方形，得到BD⊥AC，进而得到BD⊥平面PAO，从而由∠POA为二面角P­-BD­-A的平面角求解． 【详解】如图， ∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B， ∴PA⊥平面ABCD．又BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD． 又四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， ∴BD⊥平面PAO(其中O为AC与BD的交点)， ∴BO⊥PO， ∴∠POA为二面角P­BD­A的平面角． 又AB＝， ∴AC＝4， ∴AO＝2． 又PA＝，PO=， 所以 故答案为： 【点睛】方法点睛：几何法求线面角、二面角的常用方法： （1）线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． （2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质． 三、解答题：（本大题5个题，共44分） 15. 学校体育节的投篮比赛中，10名学生的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 （1）求这10名学生投中球的个数的方差； （2）从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，求这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，先计算平均数，再由方差的计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，即可得到结果. 【小问1详解】 依题意，这10名学生投中球的个数的平均数为. 方差为. 【小问2详解】 依题意，这10名学生的投中10个球的有1人，记为， 投中9个球的有3人，记为A，B，C，从中任选2人，共有6种情况，即， 从投进9个球和10个球的学生中各选1人，有3种情况，即， 所以从投进9个球和10个球的学生中选2人接受采访，这2人恰好是投进9个球和10个球各1人的概率为. 16. 如图，为正方体的棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得，即可由线面平行的判定求证， （2）由线线平行可得即为直线与所成角，即可由余弦定理求解. 【小问1详解】 连接与交于点，连接． 显然为的中点，所以． 又因为平面平面，所以平面． 【小问2详解】 由（1）可知即为直线与所成角， 在中, , 由余弦定理得． 17. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1. （1）求证：AB1⊥平面A1BC1； （2）若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）若要证明线面垂直，只要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线，结合图像，利用线面关系即可得解； （2）要求线面角的正弦值，先确定线面角，然后解三角形即可. 【详解】（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形， ∴AB1⊥BA1. 由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1. 又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1， ∴A1C1⊥平面AA1B1B. 又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1. 又∵BA1∩A1C1＝A1， ∴AB1⊥平面A1BC1. （2）连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角.在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝B1C1＝. 在Rt△A1DA中，AD＝. ∴sin∠A1DA＝，即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何的线面垂直的证明，考查了几何法求线面角的大小，有一定的计算量属于中档题，本题的关键有： （1）通过线面垂直关系得到线线垂直，从而得到线面垂直； （2）几何法求线面角的关键是先确定线面角，进而解三角形计算. 18. 2017年国家发展改革委、住房城乡建设部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，方案要求生活垃圾要进行分类管理.某市在实施垃圾分类管理之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有240个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区. （1）根据所给频率分布直方图，估计当天这50个社区垃圾量的第分位数； （2）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这240个社区中“超标”社区的个数； （3）市环保部门要对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，按垃圾量采用样本量比例分配的分层随机抽样从中抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求其中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义，结合频率分布直方图即可求解； （2）根据频率分布直方图可求超标的频率，从而可求240个社区中“超标”社区的个数； （3）利用古典概型概率的计算公式可求重点监控社区中至少有1个垃圾量为的社区的概率. 【小问1详解】 因为频率分布直方图得该样本中垃圾量为，，，，，，的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08， 因为，， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数落在内，不妨设为， 则，解得， 所以当天这50个社区垃圾量的第分位数为； 【小问2详解】 由（1）得该样本中“超标”社区的频率为， 所以这240个社区中“超标”社区的概率为， 所以这240个社区中“超标”社区的个数为； 【小问3详解】 由题意得样本中“超标”社区共有个，其中垃圾量为社区有个，垃圾量为的社区有个， 按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为的社区有3个，分别记为；垃圾量为的社区有2个，分别记为， 从中选取2个的基本事件为，，，，，，，，，，共10个； 其中所求事件“至少有1个垃圾量为的社区”为，，，，，，，共7个； 所以至少有1个垃圾量为的社区的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点. （1）求证：； （2）求证：平面⊥平面； （3）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）平面平面，得到面，得. （2）由已知证明⊥面，进一步可得面面； （3）连接、，，连接，依题意可得 ，则，再由线面平行的性质得到，即可得解. 【小问1详解】 证明：因为，为的中点，,平面平面, 交线为，面面，面. 【小问2详解】 证明：∵底面为矩形，. ∵面面，面面， 面，∴面， 又面，∴. 又，，面， 而面，∴平面⊥平面； 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 连接，连接， 因为是矩形，且为的中点，所以，所以， 又面BMN，面， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$