精品解析：天津市环城四区2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 3. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛．其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是75，76，80，82，87，91，92，94，95，98，则这组数据的分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 4. 设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 5. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 面积是 B. 的面积是2 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 6. 年天津“泥人张”非遗体验馆推出一款互动游戏：参与者需从两只独立的盲盒中各抽取一张卡片，每只盲盒中的卡片数字均为，且等可能出现．设表示“第一只盲盒抽到数字2”，表示“第一只盲盒抽到奇数”，表示“两张卡片的数字之和为6”，表示“两张卡片的数字之和为7”，则下列选项正确的是（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则为等腰直角三角形； ③若，，，则符合条件的有两个； ④若的面积，则； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，，且与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知向量，满足，且与的夹角为，则____________． 11. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且其侧面积为，则此圆锥的体积为____________． 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 13. 2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 14. 三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为____________． 15. 在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 三、解答题（本题共5题，共75分） 16. 已知复数，，为虚数单位． （1）求； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 18. 为了了解高一年级学生的数学学习情况，某校组织高一年级的500名学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值，估计本次数学测试成绩的平均分；（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求本次数学测试成绩的第60百分位数； （3）为了进一步了解学生数学学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 20. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）已知为边上的一点，且，． （i）求； （ii）若，是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高一数学 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以， 故的虚部为. 2. 已知，，，若，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，， 则， 由，，三点共线， 则，共线，故， 解得． 3. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛．其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是75，76，80，82，87，91，92，94，95，98，则这组数据的分位数为（ ） A. 91 B. 92 C. 93 D. 94 【答案】C 【解析】 【详解】数据从小到大为：，共个， 则，故这组数据的分位数为. 4. 设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【详解】若，，只有直线垂直于两个平面交线时，才有， 故仅面面垂直无法推出平面内任意直线垂直于另一平面，故A错误； 若，，，两条异面直线垂直不能判定两个平面垂直， 两个平面可以平行或相交，故B错误； ，，，，但题目未明确相交，故C错误； ，，则， 又，过直线作平面与相交，交线与平行， 故交线也垂直于， 内存在直线垂直于，满足面面垂直判定定理， 故，命题成立，故D正确． 5. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 面积是 B. 的面积是2 C. 是等腰直角三角形 D. 的周长是 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测直观图与原图之间的对应边的数量关系，求出原各边的长，再分别计算检验A、B、C、D四个选项即可. 【详解】由题可知，在斜二测直观图中， 则原图满足，如图所示， 选项A，由题可知的底，高， 所以，选项A错误； 选项B，由底，高，所以，选项B错误； 选项C，因为，则， 又， 所以是等腰直角三角形，选项正确； 选项D，由选项C可知，所以的周长是，选项D错误. 6. 年天津“泥人张”非遗体验馆推出一款互动游戏：参与者需从两只独立的盲盒中各抽取一张卡片，每只盲盒中的卡片数字均为，且等可能出现．设表示“第一只盲盒抽到数字2”，表示“第一只盲盒抽到奇数”，表示“两张卡片的数字之和为6”，表示“两张卡片的数字之和为7”，则下列选项正确的是（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】B 【解析】 【详解】两盒各取一张，共有种可能结果， 表示“第一只盲盒抽到数字2”，则； 表示“第一只盲盒抽到奇数”，则； 表示“两张卡片的数字之和为6”，有共5种结果， 则； 表示“两张卡片的数字之和为7”，有共6种结果， 则； 与互斥，但二者并集仅包含和为6，7的情况，未覆盖所有样本点， 不是对立事件，故A错误； 对应共3种情况，， ，故，两者相等， 故与为相互独立事件，故B正确； 仅对应1种情况，则， ，则，不满足独立条件，故C错误； 与中等情况可以同时发生，不满足互斥条件，故D错误． 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①若，则； ②若，则为等腰直角三角形； ③若，，，则符合条件的有两个； ④若的面积，则； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数单调性判断①；利用诱导公式推理判断②；利用正弦定理判断③；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断④即可. 【详解】对于①，，由及余弦函数在上递减，得，①错误； 对于②，在中，由，得或， 则或，为等腰三角形或直角三角形，②错误； 对于③，由，得，， 因此有两解，即有两个，③正确； 对于④，由，得，则， 而，则，④正确. 8. 如图，在中，，，且与交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，则， 已知点在上，设， 又点在上，设， 则，解得， 故，则， 故． 9. 在钝角中，，，的对边分别为，，，为的重心，且满足，，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用二倍角公式和余弦定理将已知三角等式转化为边的关系，结合正弦定理确定两条边长，再由重心在中线上且将中线分成2:1的性质，将已知的余弦值转化为中线三角形中的余弦定理方程，解出第三边或直接得到角的余弦值，根据钝角条件舍去直角解，最后通过面积公式求得面积. 【详解】由 ，用余弦定理 代入， 所以，即， 因为三角形是钝角三角形，所以 ， 所以，由正弦定理 ， 代入得，已知 ，得， 以 为原点， 在 轴上，设 ，， 所以重心 ， 由 ， 所以， 代入 ，得 所以，解得 或 ， 对应 ，不是钝角，舍去， 因此，， 所以. 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知向量，满足，且与的夹角为，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，且与的夹角为，得， 所以. 11. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，且其侧面积为，则此圆锥的体积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用扇形面积公式求出圆锥母线长，再根据扇形弧长等于圆锥底面周长求出底面半径，结合勾股定理求高，最后代入体积公式计算即可. 【详解】设该圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 因为侧面积，所以  化简得，得； 因为底面周长为，因此  将代入得，解得； 所以； 圆锥体积. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的公式，及数量积的计算公式，直接求解即可. 【详解】由投影向量的公式可得在上的投影向量为， 因为向量，的夹角为，且，，则， 所以， 所以，即在上的投影向量为. 13. 2026年端午节，天津海河龙舟赛现场同步举办了“端午民俗知识竞答”活动．来自本市的三位市民甲、乙、丙独立参与挑战，题目涵盖粽子文化、艾草习俗等．已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，丙答对题目的概率为．则至少有一人答对题目的概率为____________；甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】考查相互独立事件概率的计算，对于“至少有一人答对题目的概率”，可先求出“三人都答错的概率”，再用1减去该概率；对于“甲、乙、丙恰有两人答对题目的概率”需要分别计算出甲、乙答对丙答错，甲、丙答对乙答错，乙、丙答对甲答错这三种情况的概率，然后将它们相加即可. 【详解】设至少一人答对为事件，恰有两人答对为事件， 甲答对为事件，乙答对为事件，丙答对为事件， 由题意得 ， 而 . 14. 三棱锥的四个顶点在球的表面上，若，，，则球的表面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明面，进而确定三棱锥外接球球心的位置，求出球的半径，再利用球的表面积公式求值. 【详解】如图： 在中，，，，因为， 所以，即. 同理，，平面，且，所以面. 又因为为等边三角形，边长为， 设其外接圆圆心为，半径为，则. 设三棱锥外接球球心为，则平面，且， 所以三棱锥外接球半径. 所以球的表面积为. 15. 在边长为4的菱形中，，以为直径的上半圆与交于点，是此半圆上的动点，则____________；的最大值是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：取的中点O，连接，则可得是等边三角形，在中，利用余弦定理求出，从而可求出；空2：取的中点，连接，交半圆于点N，则，所以，从而可求出的最大值 【详解】空1：如图， 取的中点O，连接，因为，， 所以是等边三角形，所以， 又在中，， 所以； 空2： 取的中点，连接，交半圆于点N，则，， 又 ，等号成立时，三点共线， 故的最大值是. 三、解答题（本题共5题，共75分） 16. 已知复数，，为虚数单位． （1）求； （2）若在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算求，再求. （2）根据复数的乘法运算及几何意义，求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由. 所以实数的取值范围为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值． （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可； （2）通过线面垂直证明  和 ，将二面角的平面角转化为与的夹角，又因，进一步转化为直角三角形中的锐角，用边比直接求正弦值； （3）将点  到平面  的距离视为三棱锥  的高，利用等体积法，通过  求出体积，再除以底面  面积的三分之一即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 同理， 因为，， 所以平面，平面， 所以, 在  中，，，所以， 因为是的中点，所以，, 因为，所以平面，平面，所以， 所以，因为， 所以，所以 ， 因此，二面角  的平面角就是直线  与  的夹角，又因为，所以该平面角等于 ， 在  中，， 在中，， 所以二面角的平面角的正弦值为. 【小问3详解】 由 (2) 已知,， 且 ，所以， 所以， 因为  是  中点，所以， 所以 设  到平面  的距离为 ，所以， 即，所以，所以点到平面的距离为. 18. 为了了解高一年级学生的数学学习情况，某校组织高一年级的500名学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值，估计本次数学测试成绩的平均分；（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）求本次数学测试成绩的第60百分位数； （3）为了进一步了解学生数学学习的情况，在成绩位于的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率． 【答案】（1），平均分约为； （2）； （3）。 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图区间频率和为求参数；根据频率分布直方图求数学测试成绩的平均分即可. （2）设该样本的60百分位数为，由题意可得，即可求得该样本的60百分位数； （3）利用分层抽样和列举法来求概率即可. 【小问1详解】 由，解得； 数学测试成绩的平均值为分. 则估计本次数学测试成绩的平均分为71分． 【小问2详解】 设该样本的60百分位数为， 因为，，，，对应的频率分别为， 所以60百分位数在这组数据内， 由题意可得，解得， 所以该样本的第60百分位数为. 【小问3详解】 采用分层抽样从和抽取5名同学， 因为， 则应在成绩为的学生中抽取2人，记为a，b； 在成绩为的学生中抽取3人，记为A，B，C； 再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下结果， ，，，，，，，，，共10种可能结果： 其中在，各一人的抽法共6种； 所以所求概率. 19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：因为是矩形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面交于，平面交于， 所以平面平面， 所以，所以， 又因为是的中点， 所以是的中点， 又因为， 所以； （2）证明：因为是矩形， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 由（1）可知，且平面， ， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 即平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由性质定理可得，从而得，结合是的中点，得是的中点，再由，即可得证； （2）由面面垂直的性质定理可得平面，从而得，结合（1）和线面垂直的判定定理可得平面，由面面垂直的判定定理即可得证； （3）取中点，连接，过作于，连接，由线面角的定义可得是直线与平面所成角，由题意可得四边形是平行四边形，则，从而得就是直线与平面所成角，求出、的值即可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 取中点，连接，过作于，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 由（1）可知， 又， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以 所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，即为， 又因为，， 所以， 在中，由面积公式可得， 所以， 在中，， 在中，， 所以， 即直线与平面所成角的正切值为. 20. 在中，角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求； （2）已知为边上的一点，且，． （i）求； （ii）若，是线段上（不与重合）的一个动点，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合完全平方差公式进行求解即可； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为，计算即可. 【小问1详解】 ， 由余弦定理，得，所以得， 因为，所以； 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在中，由正弦定理得，， 因为，所以. 故 （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则 ， 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $