暑假综合训练突破2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以人教版八年级下册核心知识为载体，通过真题情境整合二次根式、勾股定理、函数与几何等模块，提炼概念辨析、推理计算、模型应用等解题方法，构建“基础—综合—拓展”的逻辑训练体系。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4、13-15|最简根式判断、分位数计算、方差公式|从定义辨析到数据处理，强化抽象能力与运算能力| |几何应用|选择5-7、11-12、16-18、20、23|勾股定理应用、图形对称与折叠、菱形性质|以三角形、四边形为载体，发展几何直观与推理意识| |函数综合|选择3、8-10、22、24、25|一次函数图像与性质、解析式求解、新定义应用|结合图像与代数，培养模型观念与应用意识| |统计与概率|选择4、8、21|折线图分析、样本估计总体|通过数据处理，提升数据意识与数学表达能力|

人教版八年级下册暑假综合训练突破 一．选择题（共12小题） 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A．3，3，3 B．3，4， C．2，2， D．3，5，6 3．正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　） A．第三、一象限 B．第二、四象限 C．第二、一象限 D．第三、四象限 4．为了了解某初中九年级学生的语文作业完成时长（单位：分钟），随机抽取15名学生的时长数据如下：30，35，38，40，42，45，48，50，52，55，58，60，62，65，68，则该组数据的25%分位数为（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 5．（2026春•宝坻区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•湖里区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，则AC的长为（　　） A．a2+c2 B．c2﹣a2 C． D． 7．下列命题中，不正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．梯形的对角线相等且互相平分 8．（2026春•鹿泉区期末）地铁是城市公共交通的骨干，具有节能、省地、运量大、全天候、无污染（或少污染）又安全等特点，属于绿色环保交通体系，如图为某市2020年﹣2025年地铁日均客运量趋势图．根据统计图中提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．2023﹣2024年，该城市地铁日均客运量增长最快 B．预计该城市2026年日均客运量约为1000万人次 C．2020﹣2025年，该城市地铁日均客运量逐年增加 D．2022年该城市地铁日均客运量比2021年大 9．在平面直角坐标系中，已知点C（﹣2，y3），D（3，y4）在直线y ＝ 2x﹣3上，则下列结论正确的是（　　） A．y3＞y4 B．y3 ＝ y4 C．y3＜y4 D．y3≥y4 10．（2026春•宜阳县期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2 11．（2026春•柯桥区期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E．若AD＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 12．（2026春•官渡区期末）如图，将正方形ABCD沿AM折叠，点B落在对角线AC上的点E处，已知，则BM的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 二．填空题（共6小题） 13．计算的结果等于． 14．若函数y ＝ （3k﹣2）x+2是关于x的一次函数，且y随x增大而增大，则k的取值可以为 （写出一个值即可）． 15．某地4家企业在今年第二季度的产值（单位：亿元）分别为6，9，12，13，则这组数据的方差为． 16．（2026春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，AD＝8，∠ADB＝45°，线段DE与DA关于直线DB对称，且DE交BC于点F．若△CDE的面积为12，则AB的长为　 　 ． 17．（2026春•海淀区期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是　 　 ． 18．（2026•宜兴市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝8，点D是边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥DC交BC于点E．如图①，当点D是AB中点时，BE＝ 　 　 ；如图②，若把△BDE沿DE翻折得△FDE，连接FC．当FC＝BD时，AD＝ 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 19．计算：（1）；（2）． 20．（2026春•涪陵区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）BO＝3，CO＝4，过点D作DE⊥BC，求线段DE的长度． 21．（2026•高州市二模）我校“五育并举”课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在需了解学生最喜欢的“五育并举”课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）在扇形统计图中，“E．劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数是　 　 度； （3）请根据以上信息补全条形统计图； （4）我校共有3000名学生，试估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数． 22．（2026春•南川区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FD，当S△ADFS△ADE时，求点F的坐标． 23．（2026春•拱墅区期末）已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，若AB＝4，E、F分别是BC、CD上的两动点． （1）若BE＝CF，求∠EAF的度数． （2）若E、F分别是BC、CD的中点，连结EF，求△AEF的面积． 24．（2026春•莱西市期末）甲、乙二人驾车分别从A，B两地同时出发，相向而行．二人离A地的距离y（千米）与所用时间x（小时）的关系图象分别为l1和l2． （1）试求出l1的关系式； （2）求甲从A地到达B地所需的时间为多少？ 25．（2026春•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（x1，y1），此时存在点Q（x2，y2）满足：|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝n（其中n＞0），则称点Q是点P的n美好距离点． （1）如图，点M的坐标为（4，2），点N的坐标为（1，3）． ①在点A1（﹣6，4），A2（﹣2，2），A3（﹣1，3），A4（﹣4，0）中，　 　 是点M的2美好距离点； ②已知点F是平面内一点，且点F同时是点M和N的3美好距离点，请直接写出点F的坐标 　 　 ． （2）已知点T在直线y＝kx﹣3（k≠0）上，正方形ABCD的对角线交点为O，边长为4，且四条边均与坐标轴平行，点S为正方形ABCD边上的一点，若对于任意一点S，都存在一点T，使得点S是点T的4美好距离点，请直接写出k的取值范围． 人教版八年级下册暑假综合训练突破 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查最简二次根式的概念．最简二次根式需满足被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，且被开方数的因数是整数，因式是整式．解题时需逐一分析每个选项是否满足这些条件． 【解答】A选项，，不是最简二次根式；B选项，满足最简二次根式的条件，是最简二次根式；C选项，，不是最简二次根式；D选项，，不是最简二次根式．所以答案是B． 【点评】本题重点考查最简二次根式的判断，关键是对最简二次根式概念的理解和运用，注意对被开方数的分析． 2．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（　　） A．3，3，3 B．3，4， C．2，2， D．3，5，6 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理为：若一个三角形的三条边满足关系式a2+b2＝c2，则这个三角形是直角三角形．解题时需分别计算每个选项中三边的平方，看是否满足该关系式． 【解答】A选项，32+32＝18，32＝9，18≠9，不能构成直角三角形；B选项，，42＝16，满足，能构成直角三角形；C选项，22+22＝8，，但这是等腰直角三角形的特殊情况，原选项设计更具一般性，此选项为干扰项；D选项，32+52＝9+25＝34，62＝36，34≠36，不能构成直角三角形．所以答案是B． 【点评】本题关键在于对勾股定理逆定理的运用，通过计算三边平方关系来判断是否能构成直角三角形，注意计算的准确性． 3．正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　） A．第三、一象限 B．第二、四象限 C．第二、一象限 D．第三、四象限 【分析】本题考查正比例函数的性质．对于正比例函数y＝kx（k为常数，k≠0），当k＞0时，图象经过一、三象限；当k＜0时，图象经过二、四象限．解题的关键是判断k的正负． 【解答】在正比例函数y＝﹣3x中，k＝﹣3＜0，根据正比例函数性质可知，其图象经过第二、四象限．逐一分析选项：A选项，第三、一象限不符合k＜0的情况，错误；B选项，第二、四象限，正确；C选项，第二、一象限错误；D选项，第三、四象限错误．所以答案是B． 【点评】本题主要考查对正比例函数性质中k值与函数图象所在象限关系的理解，牢记性质即可准确判断． 4．为了了解某初中九年级学生的语文作业完成时长（单位：分钟），随机抽取15名学生的时长数据如下：30，35，38，40，42，45，48，50，52，55，58，60，62，65，68，则该组数据的25%分位数为（　　） A．39 B．40 C．41 D．42 【分析】本题考查百分数的应用中的分位数计算．计算25%分位数，先将数据从小到大排序，然后根据公式i＝np%（n为数据个数，p%为百分数）确定位置，若i是整数，则第i项与第（i+1）项数据的平均值为p%分位数；若i不是整数，将i向上取整，大于i的毗邻整数即为第p%分位数的位置． 【解答】将数据从小到大排序为：30，35，38，40，42，45，48，50，52，55，58，60，62，65，68．n＝15，i＝15×25%＝3.75，向上取整为4．所以该组数据的25%分位数为第4个数，即40．逐一分析选项：A选项39错误；B选项40正确；C选项41错误；D选项42错误．所以答案是B． 【点评】本题重点考查25%分位数的计算方法，关键是准确运用公式确定分位数的位置，注意计算过程不要出错． 5．（2026春•宝坻区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半得AB＝6，再根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3， ∴AB＝2BC＝6， 由勾股定理得：， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，解答本题的关键要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 6．（2026春•湖里区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，则AC的长为（　　） A．a2+c2 B．c2﹣a2 C． D． 【分析】根据勾股定理列式计算即可． 【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AB＝c， ∴AC， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 7．下列命题中，不正确的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．菱形的对角线互相垂直且平分 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．梯形的对角线相等且互相平分 【分析】本题考查平行四边形、矩形、菱形以及梯形的性质．需要对每个选项所涉及的图形的对角线性质有清晰的认识，逐一判断其正确性． 【解答】A选项，平行四边形的对角线互相平分，这是平行四边形的基本性质，正确；B选项，菱形的对角线互相垂直且平分，正确；C选项，矩形的对角线相等且互相平分，正确；D选项，梯形的对角线不一定相等且互相平分，只有等腰梯形的对角线相等，一般梯形不具备此性质，错误．所以答案是D． 【点评】本题考查多种四边形对角线性质的掌握情况，关键是准确记忆和区分不同图形对角线的特点，注意对干扰选项的判断． 8．（2026春•鹿泉区期末）地铁是城市公共交通的骨干，具有节能、省地、运量大、全天候、无污染（或少污染）又安全等特点，属于绿色环保交通体系，如图为某市2020年﹣2025年地铁日均客运量趋势图．根据统计图中提供的信息，下列说法错误的是（　　） A．2023﹣2024年，该城市地铁日均客运量增长最快 B．预计该城市2026年日均客运量约为1000万人次 C．2020﹣2025年，该城市地铁日均客运量逐年增加 D．2022年该城市地铁日均客运量比2021年大 【分析】根据折线统计图进行分析即可． 【解答】解：A、2023﹣2024年，该城市地铁日均客运量增长最快，正确，故不符合题意； B、按照趋势图预计该城市2026年日均客运量约为1000万人次，正确，故不符合题意； C、2020﹣2025年，该城市地铁日均客运量逐年增加，错误，因为在2020到2021年是下降的，故符合题意； D、2022年该城市地铁日均客运量比2021年大，正确，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查折线统计图，正确记忆相关知识点是解题关键． 9．在平面直角坐标系中，已知点C（﹣2，y3），D（3，y4）在直线y ＝ 2x﹣3上，则下列结论正确的是（　　） A．y3＞y4 B．y3 ＝ y4 C．y3＜y4 D．y3≥y4 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．先将点C、D的横坐标分别代入直线表达式，求出y3、y4的值，再比较大小． 【解答】把x ＝﹣2代入y ＝ 2x﹣3得：y3 ＝ 2×（﹣2）﹣3 ＝﹣4﹣3 ＝﹣7；把x ＝ 3代入y ＝ 2x﹣3得：y4 ＝ 2×3﹣3 ＝ 6﹣3 ＝ 3．因为﹣7＜3，所以y3＜y4．逐一分析选项：A选项错误；B选项错误；C选项正确；D选项错误． 【点评】本题关键是掌握一次函数图象上点的坐标满足函数表达式，通过代入求值比较大小，计算要准确． 10．（2026春•宜阳县期末）直线y＝kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞2 【分析】结合函数图象，写出直线y＝kx+b在x轴的下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据函数图象，当x＞2时，kx+b＜0， 所以不等式kx+b＜0解集为x＞2． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出直线与x轴交点，是解答本题的关键． 11．（2026春•柯桥区期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交DC于点E．若AD＝3，CE＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】由平行四边形的性质得CB＝AD＝3，AB∥CD，因为∠DAB的平分线交DC于点E，所以∠DAE＝∠BAE，而∠BAE＝∠DEA，所以∠DAE＝∠DEA，则ED＝AD＝3，因为CE＝2，所以AB＝DC＝CE+ED＝5，求得▱ABCD的周长是16，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝3， ∴CB＝AD＝3，AB＝DC，AB∥CD， ∵∠DAB的平分线交DC于点E， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵∠BAE＝∠DEA， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴ED＝AD＝3， ∵CE＝2， ∴AB＝DC＝CE+ED＝2+3＝5， ∴AD+AB+CB+DC＝3+5+3+5＝16， ∴▱ABCD的周长是16， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，推导出∠DAE＝∠DEA，进而求得ED＝AD＝3是解题的关键． 12．（2026春•官渡区期末）如图，将正方形ABCD沿AM折叠，点B落在对角线AC上的点E处，已知，则BM的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 【分析】由正方形性质得∠ACB＝45°，∠B＝90°，由折叠性质得EM＝BM，∠AEM＝∠B＝90°，则∠CEM＝90°，由此得△CEM是等腰直角三角形，再由勾股定理得EM＝2，进而可BM的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠ACB＝45°，∠B＝90°， ∵将正方形ABCD沿AM折叠，点B落在对角线AC上的点E处， ∴EM＝BM，∠AEM＝∠B＝90°， ∴∠CEM＝180°﹣∠AEM＝90°， 在△CEM中，∠CEM＝90°，∠ACB＝45°， ∴△CEM是等腰直角三角形， ∴EM＝EC， 由勾股定理得：MCEM， ∴MC， ∴， ∴EM＝2， ∴BM＝EM＝2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 二．填空题（共6小题） 13．计算的结果等于． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，可利用平方差公式（a+b）（a﹣b） ＝ a2﹣b2进行计算． 【解答】根据平方差公式，． 【点评】本题重点考查平方差公式在二次根式混合运算中的应用，要准确识别公式形式． 14．若函数y ＝ （3k﹣2）x+2是关于x的一次函数，且y随x增大而增大，则k的取值可以为 （写出一个值即可）． 【分析】本题考查一次函数的定义．因为函数是一次函数且y随x增大而增大，所以一次项系数大于0，据此求出k的取值范围，进而写出一个满足条件的值． 【解答】因为y ＝ （3k﹣2）x+2是一次函数且y随x增大而增大，所以3k﹣2＞0，移项得3k＞2，解得k，可以取k ＝ 1． 【点评】本题关键是理解一次函数的性质与系数的关系，根据条件列出不等式求解． 15．某地4家企业在今年第二季度的产值（单位：亿元）分别为6，9，12，13，则这组数据的方差为． 【分析】本题考查方差的计算．先求这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差． 【解答】平均数．方差． 【点评】本题重点是掌握方差的计算公式，计算过程要细心． 16．（2026春•西城区期末）如图，在▱ABCD中，AD＝8，∠ADB＝45°，线段DE与DA关于直线DB对称，且DE交BC于点F．若△CDE的面积为12，则AB的长为　　 ． 【分析】连接AE，由平行四边形的性质得BC∥AD，BC＝AD＝8，因为线段DE与DA关于直线DB对称，所以DB垂直平分AE，则ED＝AD＝8，所以∠EDB＝∠ADB＝45°，因为DE交BC于点F，所以∠CFD＝∠ADE＝∠EDB+∠ADB＝90°，则∠BFD＝90°，推导出∠FBD＝∠EDB＝45°，由S△CDE8CF＝12，求得CF＝3，则DF＝BF＝5，所以AB＝CD，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接AE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8， ∴BC∥AD，BC＝AD＝8， ∵线段DE与DA关于直线DB对称， ∴点E与点A关于直线DB对称， ∴DB垂直平分AE， ∴ED＝AD＝8， ∴∠EDB＝∠ADB＝45°， ∵DE交BC于点F， ∴∠CFD＝∠ADE＝∠EDB+∠ADB＝90°， ∴CF⊥ED，∠BFD＝90°， ∴∠FBD＝∠EDB＝45°， ∵S△CDE8CF＝12， ∴CF＝3， ∴DF＝BF＝BC﹣CF＝8﹣3＝5， ∴AB＝CD， 故答案为：． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 17．（2026春•海淀区期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm，则铅笔的长是　22cm ． 【分析】由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径的平方＝（x﹣3）2﹣82；第二个笔筒中：直径的平方＝（x﹣1）2﹣122；因直径相等，列方程即可求解． 【解答】解：设铅笔长度为xcm，由题意得，（x﹣3）2﹣82＝（x﹣1）2﹣122， 解得，x＝22， 故铅笔的长为22cm， 故答案为：22cm． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 18．（2026•宜兴市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝8，点D是边AB上一动点，连接CD，过点D作DE⊥DC交BC于点E．如图①，当点D是AB中点时，BE＝ 　　 ；如图②，若把△BDE沿DE翻折得△FDE，连接FC．当FC＝BD时，AD＝ 　4或　 ． 【分析】根据题意，结合图形，如图①由，结合勾股定理求出BE的长；如图②，由图形的翻折及直角三角形，结合解直角三角形，得到，即可解得结果． 【解答】解：如图①，过E点作EH⊥AB，垂足为H， ∵∠A＝90°， ∴EH∥AC， ∴， ∵点D是AB中点，AB＝8，AC＝4， ∴， 令HE＝x，则BH＝2x， ∵DE⊥DC， ∴∠HDE+∠CDA＝90°， ∴∠HDE＝∠ACD， ∵在Rt△ADC中，ADAB＝4，AC＝4， ∴∠CDA＝∠ACD， ∴∠HDE＝∠HED， ∴DH＝HE＝x， ∴BH+HD＝4， 即2x+x＝4， 解得x， 在Rt△BEH中，BEx， ∴BE， 故答案为：； 如图②，过F作FG⊥CD于点G， ∵AB＝8， 令AD＝m，则BD＝8﹣m， ∵把△BDE沿DE翻折得△FDE， ∴∠1＝∠2，BD＝DF， ∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4， ∵BD＝FC， ∴DF＝FC＝8﹣m， ∵Rt△ADC中，DC， ∴DGDC， ∵cos∠3＝cos∠4， ∴， ∴， ∴3m2﹣16m+16＝0． ∴（m﹣4）（3m﹣4）＝0， ∴m＝4或m． 故答案为：4或． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形相似，图形的翻折的应用，熟练掌握解直角三角形和相似三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 19．计算：（1）；（2）． 【分析】本题考查二次根式的混合运算．（1）先将各项化为最简二次根式再进行计算；（2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算． 【解答】（1）；（2）． 【点评】本题关键是熟练掌握二次根式的化简以及平方差公式、完全平方公式在二次根式运算中的应用． 20．（2026春•涪陵区期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，AB＝CD，AC平分∠BAD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）BO＝3，CO＝4，过点D作DE⊥BC，求线段DE的长度． 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，得到AD＝CD，即可得证； （2）勾股定理求出BC的长，等积法求出DE的长即可． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝∠ACD， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，BO＝3，CO＝4， ∴AC⊥BD，AC＝2OC＝8，BD＝2OB＝6， ∴， ∵DE⊥BC， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2026•高州市二模）我校“五育并举”课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在需了解学生最喜欢的“五育并举”课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）m＝　25%　 ，n＝　15%　 ； （2）在扇形统计图中，“E．劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数是　36　 度； （3）请根据以上信息补全条形统计图； （4）我校共有3000名学生，试估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数． 【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值； （2）用360°乘以E所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以D类别所占百分比即可求出对应人数，进而补全条形统计图； （4）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数． 【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%， 故总人数有12÷20%＝60（人）， m＝15÷60×100%＝25%， n＝9÷60×100%＝15%； 故答案为：25%，15%； （2）在扇形统计图中，“E．劳育实践”所对应的扇形的圆心角度数为： ； 故答案为：36； （3）D类别人数为60×30%＝18（人）， 条形统计图略； （4）（人）， 答：估计全校最喜欢“体育锻炼”的学生人数有450人． 【点评】本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 22．（2026春•南川区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在y轴上，点D在x轴正半轴上，且OA＝OD．点E（﹣1，e）是直线CD与线段AB的交点． （1）求直线CD的解析式； （2）若F为直线AB上一动点，连接FD，当S△ADFS△ADE时，求点F的坐标． 【分析】（1）求出点A的坐标，即可求出点D的坐标，再求出点E的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出△ADE的面积，进而求出△ADF的面积，再根据三角形的面积公式求出点F的纵坐标，进而求出点F的坐标即可． 【解答】解：（1）由条件可得A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴OD＝OA＝3， ∴D（3，0）； 由条件可得E（﹣1，4）； 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），则， ∴， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3； （2）由（1）得OD＝OA＝3，E（﹣1，4）， ∴AD＝OD+OA＝6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在y＝2x+6中，当时，，解得， 在y＝2x+6中，当时，，解得， ∴点F的坐标为或． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是关键． 23．（2026春•拱墅区期末）已知四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，若AB＝4，E、F分别是BC、CD上的两动点． （1）若BE＝CF，求∠EAF的度数． （2）若E、F分别是BC、CD的中点，连结EF，求△AEF的面积． 【分析】（1）如图①，连接AC，由菱形的性质推出△ABC和△ACD是等边三角形，得到∠BAC＝∠ACD＝60°，AB＝AC，判定△ABE≌△ACF（SAS），推出∠CAF＝∠BAF，得到∠EAF＝∠BAC＝60°； （2）如图②，连接AC，由（1）知△ABC是等边三角形，推出AE⊥BC，由勾股定理求出AE＝2，判定△AEF是等边三角形，即可求出△AEF的面积． 【解答】解：（1）如图①，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠D＝∠B， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠BAD＝120°， ∴∠B＝60°， ∴∠D＝60°， ∴△ABC和△ACD是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACD＝60°，AB＝AC， ∵∠B＝∠ACF＝60°，BE＝CF， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠CAF＝∠BAF， ∴∠EAF＝∠BAC＝60°； （2）如图②，连接AC， 由（1）知△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∵BEBC4＝2， ∴AE2， 由（1）知△ABE≌△ACF，∠EAF＝60°， ∴AE＝AF， ∴△AEF是等边三角形， ∴△AEF的面积AE2＝3． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABE≌△ACF（SAS）． 24．（2026春•莱西市期末）甲、乙二人驾车分别从A，B两地同时出发，相向而行．二人离A地的距离y（千米）与所用时间x（小时）的关系图象分别为l1和l2． （1）试求出l1的关系式； （2）求甲从A地到达B地所需的时间为多少？ 【分析】（1）根据函数图象中的信息，可以计算出l1的关系式； （2）根据（1）中的结果，可以计算出A、B两地的距离，然后根据图象中的数据，可以计算出甲的速度，从而可以得到甲从A地到达B地所需的时间． 【解答】解：（1）设l1的函数解析式为y＝kx+b， ∵点（2，240），（5，0）在该函数图象上， ∴， 解得， 即l1的函数解析式为y＝﹣80x+400； （2）将x＝0代入y＝﹣80x+400，得y＝400， ∴A、B两地的距离为400km， 由图象可得，甲的速度为240÷2＝120（km/h）， ∴甲从A地到达B地所需的时间为400÷120（h）， 即甲从A地到达B地所需的时间为小时． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式． 25．（2026春•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（x1，y1），此时存在点Q（x2，y2）满足：|x2﹣x1|+|y2﹣y1|＝n（其中n＞0），则称点Q是点P的n美好距离点． （1）如图，点M的坐标为（4，2），点N的坐标为（1，3）． ①在点A1（﹣6，4），A2（﹣2，2），A3（﹣1，3），A4（﹣4，0）中，A2，A4 是点M的2美好距离点； ②已知点F是平面内一点，且点F同时是点M和N的3美好距离点，请直接写出点F的坐标 　（﹣2，1），（﹣3，4）　 ． （2）已知点T在直线y＝kx﹣3（k≠0）上，正方形ABCD的对角线交点为O，边长为4，且四条边均与坐标轴平行，点S为正方形ABCD边上的一点，若对于任意一点S，都存在一点T，使得点S是点T的4美好距离点，请直接写出k的取值范围． 【分析】（1）①将各候选点坐标代入距离公式|x2﹣x1|+|y2﹣y1|，判断计算结果是否等于n即可； ②分别写出点M和点N的3美好距离点满足的绝对值方程，联立两个方程，分情况讨论去掉绝对值符号求解； （2）先确定正方形ABCD各边的坐标范围，再根据“美好距离点”的定义，得出点T的对称点与点S满足的距离关系，因为直线上的点T的对称点也在某条直线上，所以问题转化为该直线与正方形所有边上点的距离为4的区域存在交点，结合图形求得临界值即直线过x轴上方的顶点，即可求解． 【解答】解：（1）①根据定义：点M（4，2）关于y轴的对称点为M'（﹣4，2）， ∵点Q是M的2美好距离点， ∴|x2+4|+|y2﹣2|＝2， A1（﹣6，4）：|﹣6+4|+|4﹣2|＝4≠2，不符合； A2（﹣2，2）：|﹣2+4|+|2﹣2|＝2，符合； A3（﹣1，3）：|﹣1+4|+|3﹣2|＝4≠2不符合； A4（﹣4，0）：|﹣4+4|+|0﹣2|＝2，符合， 故答案为：A2，A4； ②点F是点M和N的3美好距离点， 设F（x，），M的对称点M'（﹣4，2）， ∴|x+4|+|y﹣2|＝3； N（1，3）的对称点N'（﹣1，3）， ∴|x+1|+|y﹣3|＝3， 当x≥一1时，， ∴， ∵|y﹣2|≥0， ∴﹣x﹣1≥0， ∵x≥﹣1， ∴x＝﹣1， ∴，无解， 当﹣4≤x＜﹣1时，， ∴， 当y≥3时， 方程组为：，解得：， 当2≤y＜3时，方程组为：，无解； 当y＜2时， 方程组为，解得：， 当x＜﹣4时，经检验，原方程组无解； 综上所述，点F的坐标为（﹣3，4）和（﹣2，1）； 故答案为：（﹣3，4），（﹣2，1）； （2）正方形ABCD中心在原点，边长为4，边与坐标轴平行，故S（Sx，Sy）在正方形边上， 满足：|sx|＝2，|sy|≤2或|sy|＝2，|sx|≤2， 设T（tx，ktx﹣3），则T关于y轴的对称点T（﹣t，ktx﹣3）， ∴T所在的直线为y＝﹣kx﹣3 ∵正方形的边长为4，且点S是点T的4美好距离点，即S到直线的最大美好距离为4， ∴直线y＝kx﹣3（k≠0）和y＝﹣kx﹣3关于y轴对称， 又∵正方形ABCD的对角线交点为O，边长为4，且四条边均与坐标轴平行， 当|k|最大时，直线过x轴上方正方形的顶点， 如图，取正方形的顶点A（﹣2，2），B（2，2）， 分别代入y＝kx﹣3（k≠0）， 当x＝2，y＝2时， 2＝2k﹣3，解得：k； 当x＝﹣2，y＝2时，2＝﹣2k﹣3，解得：k； ∴k或k． 【点评】本题考查坐标与图形，一次函数，方程与方程组，新定义，理解定义是解题关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/6 22:07:10；用户：刘山山；邮箱：yq1093@xyh.com；学号：38393713 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $