5.3.4方案选择问题（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程中的方案选择问题，通过打印店付费、手机套餐等生活案例导入，梳理费用相等临界点计算、分类讨论等核心内容，结合解题四步模板，衔接方程解法，为复杂应用题提供学习支架。 其亮点是以空调购买、出租车收费等实际问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过四步模板和分类讨论发展推理能力，用费用表达式和临界点计算强化数学语言。帮助学生掌握解题方法，教师可高效开展教学。

人教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月6日 5.3.4方案选择问题 第五章 一元一次方程 人教版七年级数学下册5.3.4 方案选择问题 专项练习题（含解析） 一、核心知识点梳理 （一）题型本质 方案选择问题是一元一次方程应用题压轴基础题型，核心为两种或多种消费方案对比，通过列方程求出「费用相等临界点」，再分范围判断哪种方案更省钱、更划算。 （二）万能解题四步模板（考试标准步骤） 1. 设未知数：一般设参与消费的数量为 $$x$$； 2. 列式表示费用：用含 $$x$$ 的式子分别表示方案A、方案B的总费用； 3. 找临界点：令两个方案费用相等，列方程求出分界值； 4. 分类讨论：根据临界点分三种情况判断： ① 小于临界点：某方案划算； ② 等于临界点：两方案费用相同； ③ 大于临界点：另一方案划算。 （三）常见两类模型 1. 固定费用+可变费用型：如会员费+单次消费、月租+通话费； 2. 打折优惠型：全场打折、满减、赠送、分段优惠对比。 二、高频易错点汇总 1. 只会解方程，不会分类讨论，漏写取值范围直接丢大半分数； 2. 费用表达式列错：混淆固定费用和可变费用，漏加基础费用； 3. 临界点判断反了，大小范围对应方案写颠倒； 4. 忽略实际意义：数量 $$x$$ 为正整数，不能取负数、小数； 5. 答题不规范：不总结最终最优方案，只计算不判断。 三、专项练习题（分值、题型统一） （一）填空题（每空2分，共32分） 1. 方案选择问题的核心是求出两种方案费用的________，再分范围判断最优方案。 2. 若方案A：$$y_1=2x+10$$，方案B：$$y_2=3x$$，令________可求费用相等的临界点。 3. 当消费数量等于临界点时，两种方案________；小于临界点时________方案更优。 4. 甲方案收基础服务费20元，每次操作收费3元，操作$$x$$次总费用为________元。 5. 乙方案无基础费，每次操作收费5元，操作$$x$$次总费用为________元。 6. 两种手机套餐费用相等时，通话时长为100分钟，当通话时长超过100分钟，________套餐更省钱。 7. 购物方案：A满100减20，B全场八折，需要通过________确定最优购买方式。 8. 实际生活中，购买数量、次数必须为________，取值范围要符合实际。 （二）选择题（每题3分，共30分） 1. 解决方案选择问题最关键的步骤是（） A. 设未知数 B. 求费用相等临界点 C. 合并式子 D. 验算结果 2. 方案一：$$y_1=4x$$，方案二：$$y_2=2x+20$$，两方案费用相等时$$x=$$（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 3. 接上题，当$$x>10$$时，更省钱的方案是（） A. 方案一 B. 方案二 C. 费用相同 D. 无法判断 4. 下列关于方案选择说法正确的是（） A. 数量越大，无固定方案 B. 必有一个方案永远最优 C. 以临界点分段讨论 D. 无需考虑实际取值 5. 会员方案：年费30元，购物9折；非会员无年费，购物不打折。购买金额越高，越划算的是（） A. 会员 B. 非会员 C. 一样 D. 随机 6. 若临界点计算结果为负数，则实际情况中（） A. 全部情况方案A优 B. 全部情况方案B优 C. 无解 D. 都相等 （三）解答题（共38分） 1.（18分）基础方案对比题 某打印店打印资料有两种付费方案： 方案A：每张0.5元，无其他费用； 方案B：先付会员费10元，之后每张只需0.3元。 （1）设打印 $$x$$ 张，分别用含 $$x$$ 的式子表示两种方案费用； （2）打印多少张时，两种方案费用相同？ （3）直接写出打印数量在什么范围时，方案A、方案B更省钱。 2.（20分）期末高频真题（购物优惠方案） 某超市促销活动有两种优惠方案： 方案一：所有商品一律八折； 方案二：满200元减40元（不足200不减）。 现有一批商品原价总额大于200元，设原价为 $$x$$ 元，请通过列方程求临界点，并讨论：如何选择方案更划算？ 四、参考答案与详细解析 （一）填空题答案及解析 1. 临界点。解析：找到费用相等的数量，是分段判断的依据。 2. $$2x+10=3x$$。解析：费用相等即两式子联立方程。 3. 费用相同、固定。解析：临界点左右方案优劣发生切换。 4. $$3x+20$$。解析：固定费用+可变费用总和。 5. $$5x$$。解析：无基础费，只有单次费用。 6. 月租低、时长优惠大的。解析：超过临界点，带固定费用的优惠方案更优。 7. 计算临界点。解析：打折与满减必须计算分界值才能判断。 8. 正整数。解析：购买、消费次数不能为小数或负数。 （二）选择题答案及解析 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B 解析：方案选择核心逻辑：小数选无固定费，大数选有优惠，临界点持平。 （三）解答题详细规范解析 1. 基础打印方案题 解：（1）方案A费用：$$0.5x$$ 方案B费用：$$0.3x+10$$ （2）令两方案费用相等： $$0.5x=0.3x+10$$ 移项合并：$$0.2x=10$$ 解得：$$x=50$$ 答：打印50张时，两种方案费用相同。 （3）当 $$0<x<50$$ 时，方案A更省钱； 当 $$x=50$$ 时，两方案费用一样； 当 $$x>50$$ 时，方案B更省钱。 2. 超市购物优惠真题 解：由题意得 $$x>200$$ 方案一费用：$$0.8x$$ 方案二费用：$$x-40$$ 令费用相等： $$0.8x=x-40$$ 移项：$$0.8x-x=-40$$ 合并：$$-0.2x=-40$$ 解得：$$x=200$$ ∵ 题目已知 $$x>200$$ ∴ 当 $$x>200$$ 时，$$0.8x < x-40$$ 结论：原价超过200元时，方案一（八折优惠）更划算。 五、本节终极解题总结 解题口诀： 一设二列三相等，求出临界分情况； 少量多选无固定，大量多选优惠价； 取值范围必书写，实际整数不能落。 必考答题模板：列式→求临界点→分小于、等于、大于三段总结最优方案。 1.会寻找数量关系列方程，确定最优方案. 2.掌握分段计费问题. 5.3.4 方案选择问题 第一页：情境导入——生活中的“选择困难” 生活中我们常常面临这样的决策： - 手机营业厅推出两种套餐：A套餐月租38元，含100分钟通话，超出后每分钟0.2元；B套餐无月租，每分钟0.4元。哪种套餐更省钱？ - 学校组织研学，旅行社提供两种方案：甲方案每人80元，含门票和车费；乙方案每人50元车费，门票另算，团体票（30人以上）每张25元。35名学生该选哪种？ - 超市促销：洗衣液买3送1，单价20元；另一种是直接打8折销售。买12瓶哪种方式更划算？ 这些问题都需要通过数学分析做出最优选择。今天我们就用一元一次方程，科学破解“选择困难症”，找到最适合的方案。 第二页：核心思路——用数学量化方案优劣 方案选择的本质是“比较”，关键是找到不同方案的“等量关系”和“差异点”，核心步骤如下： 1. 明确变量：确定影响方案结果的关键变量（如通话时长、购买数量、人数等），设其为未知数x。 2. 建立模型：根据每种方案的规则，分别列出表示“费用”“收益”等核心指标的代数式（含x）。 3. 寻找临界点：令两个方案的代数式相等，列一元一次方程求解，得到的x值就是方案优劣的“临界点”。 4. 分类讨论：根据变量x与临界点的大小关系，分情况判断哪种方案更优，最终结合实际需求做出选择。 核心原则：当变量取值不同时，最优方案可能不同，必须通过分类讨论覆盖所有情况，避免“一刀切”的错误。 第三页：例题解析1——消费类方案（通话套餐） 例题：某通信公司有两种手机通话费收费方式： 收费方式 月租费 通话费（元/分钟） 方式一 20元 0.15 方式二 0元 0.25 每月通话多长时间时，两种方式费用相等？通话时间不同时，如何选择更省钱的方式？ 解答步骤： 1. 设变量：设每月通话x分钟，方式一费用为y₁元，方式二费用为y₂元。 2. 列代数式： 方式一：y₁ = 月租费 + 超出部分费用 = 20 + 0.15x 3. 方式二：y₂ = 无月租，仅通话费 = 0.25x 4. 找临界点（列方程）：令y₁ = y₂，即20 + 0.15x = 0.25x，解得x = 200。 5. 分类讨论： 当x < 200分钟时，取x=100，y₁=20+15=35元，y₂=25元，此时方式二更省钱； 6. 当x = 200分钟时，y₁=y₂=50元，两种方式费用相同； 7. 当x > 200分钟时，取x=300，y₁=20+45=65元，y₂=75元，此时方式一更省钱。 第四页：例题解析2——团体收费类方案（研学活动） 例题：学校组织七年级学生研学，现有A、B两家旅行社可供选择，收费标准如下： - A旅行社：每人收费100元，若人数超过30人，超出部分每人优惠20元； - B旅行社：每人收费80元，无论人数多少，一律收取总价10%的服务费。 若参加研学的学生有x人（x>30），选择哪家旅行社更省钱？ 解答步骤： 1. 列费用代数式： A旅行社：30人按原价，(x-30)人优惠20元，费用yₐ = 30×100 + (x-30)×(100-20) = 80x + 600； 2. B旅行社：总价为80x元，加10%服务费，费用yᵦ = 80x×(1+10%) = 88x。 3. 找临界点：令yₐ = yᵦ，即80x + 600 = 88x，解得x = 75。 4. 分类决策： 当30 < x < 75时，取x=50，yₐ=80×50+600=4600元，yᵦ=88×50=4400元，B旅行社更省钱； 5. 当x = 75时，yₐ=yᵦ=80×75+600=6600元，两家费用相同； 6. 当x > 75时，取x=100，yₐ=80×100+600=8600元，yᵦ=88×100=8800元，A旅行社更省钱。 易错提醒：当方案中出现“人数限制”“阶梯收费”时，列代数式要分阶段考虑，确保覆盖所有取值范围，避免漏算优惠部分。 第五页：例题解析3——生产经营类方案（原料采购） 例题：某工厂生产零件需采购甲、乙两种原料，现有两家供应商报价如下： 供应商 甲原料（元/吨） 乙原料（元/吨） 优惠政策 甲供应商 2000 1500 购买甲原料满5吨，乙原料打9折 乙供应商 1900 1600 无论购买多少，总价打9.5折 工厂需采购甲原料6吨，乙原料x吨，选择哪家供应商更划算？ 解答步骤： 1. 计算两家供应商费用： 甲供应商：甲原料6吨满5吨，乙原料打9折，费用y₁ = 6×2000 + x×1500×0.9 = 12000 + 1350x； 2. 乙供应商：总价打9.5折，费用y₂ = (6×1900 + x×1600)×0.95 = 10830 + 1520x。 3. 求临界点：令y₁ = y₂，即12000 + 1350x = 10830 + 1520x，解得x = 6.88（保留两位小数）。 4. 实际决策： 当x < 6.88吨时，乙供应商更划算； 5. 当x = 6.88吨时，两家费用相近； 6. 当x > 6.88吨时，甲供应商更划算（因乙原料折扣力度更大）。 第六页：变式练习——巩固决策方法 1. 某超市销售洗衣液，有两种促销方案： - 方案一：单价25元，买4送1（不足4瓶不赠送）； - 方案二：单价25元，一律打8.5折销售。 分别计算购买10瓶、12瓶时两种方案的费用，并说明购买多少瓶时方案一更划算。 2. 某快递公司收费标准： - 普通快递：首重1kg内10元，续重每kg5元； - 特快快递：首重1kg内15元，续重每kg3元。 寄多少重量的物品时，特快快递比普通快递更省钱？（物品重量超过1kg） 3. 某制衣厂承接订单，有两种生产方案： - 方案A：雇佣临时工，每件付工资8元，无设备费； - 方案B：租用设备（每天1000元），雇佣固定工，每件付工资3元。 若每天生产x件衣服，选择哪种方案成本更低？ 第七页：课堂小结——方案选择“五步法” 1. 审：审题，明确各方案的收费/收益规则，找出关键变量（如x）。 2. 列：根据规则，分别列出各方案的核心指标代数式（费用/收益=y）。 3. 解：令代数式相等，列一元一次方程，求解临界点x₀。 4. 分：分x < x₀、x = x₀、x > x₀三种情况，代入具体值比较方案优劣。 5. 答：结合实际场景（如人数、数量为正整数），给出明确的最优方案结论。 第八页：拓展思考——数学与决策智慧 生活中还有很多复杂的方案选择问题，如买房时的“全款vs贷款”、投资时的“风险vs收益”等，都可以用类似的数学思维分析。 瑞士数学家欧拉提出的“37%法则”，就是一种经典的决策策略：在有限的选择中，前37%的选项作为“参考样本”不决策，之后遇到比样本更好的选项立即选择，能最大概率找到最优解。这体现了数学在理性决策中的重要作用。 核心启示：方案没有绝对的“好”与“坏”，只有“适合”与“不适合”，数学帮我们用数据找到最适合的那一个。 学习目标 探究：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kW·h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 1 级 3 级 售价 3000 元 售价 2600 元 电费 (0.5×640×使用年数)元 电费 (0.5×800×使用年数)元 分析： 综合费用 = 空调的售价 + 电费 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 设空调的使用年数是 t， 则 1 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 3000 + 0.5×640t， 即 3000 + 320t 3 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 2600 + 0.5×800t， 即 2600 + 400t 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 知识点1 分段计费问题 1. 某保险公司的汽车保险中的汽车修理费是分段赔偿的，具 体赔偿细则如下表.某人在汽车修理后在该保险公司得到的赔 偿金是2 000元，那么此人的汽车修理费是__________. 汽车修理费 赔偿率 不超过500元的部分 超过500元不超过1 000元的部分 超过1 000元不超过3 000元的部分 … … 元 中考考法 6 【点拨】因为 （元）， （元）， （元），且 300元元，（元） 元， （元） 元，所以此人的汽 车修理费的取值范围是 ，由题意，得 ，解得 ， 所以此人的汽车修理费是 元. 中考考法 7 问题1： t 取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 3000 + 320t = 2600 + 400t 解得 t = 5. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 探究点：方案决策问题 问题2：如何比较两款空调的综合费用？ 比较 3000 + 320t 与 2600 + 400t 的大小. 方法一：运用整式的加减 (3000 + 320t) - (2600 + 400t) = 3000 + 320t - 2600 - 400t = 400 - 80t = 80(5 - t) 当 t < 5 时，80(5 - t) > 0， 3000 + 320t > 2600 + 400t； 当 t > 5 时，80(5 - t) < 0， 3000 + 320t < 2600 + 400t. (大数-小数＞0，小数-大数＜0) 探究点：方案决策问题 方法二：把表示 3 级能效空调的综合费用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式字的和. 2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400) = (3000 + 320t) + 80(t - 5) 当 t < 5 时，80(5 - t) 是负数， 这表明 3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，80(5 - t) 是正数， 这表明 1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 问题3：你认为哪种空调更划算呢？ 同样是 1.5 匹的空调，1 级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 (超过 5 年) 时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年 (从生产日期计起)，因此购买、使用 1 级能效空调更划算. 当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等； 当 t < 5 时，3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，1 级能效空调的综合费用较低. 探究点：方案决策问题 探究点：方案决策问题 例 某市拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. (A) 计时制：0.05 元每分钟； (B) 包月制：60 元每月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元每分钟. (1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用； (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 解：(1) 采用(A)计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x (元)， 采用 (B) 包月制：60＋0.02×60x＝(60＋1.2x) (元). (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ (2) 由 4.2x＝60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用（B）越合算.所以当 0＜x＜20 时，采用（A）方式合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x＞20 时，采用（B）方式合算. 探究点：方案决策问题 2. 某市有两家出租车公司，收费标准不同.甲公司收费标准： 起步价9元，超过 后，超过的部分按照每千米1.6元收费. 乙公司收费标准：起步价20元，超过 后，超过的部分按 照每千米1.3元收费.已知车辆行驶.本题中 取整数，不足 的路程按 计费. 中考考法 14 （1）根据题意，填写下表： 车辆行驶的路程/ 1 3 5 8 15 20 … 甲公司收费/元 9 ___ 12.2 17 _____ 36.2 … 乙公司收费/元 20 20 20 __ __ 29.1 ____ … 9 28.2 20 35.6 中考考法 15 （2）当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时，甲、乙 两公司的收费分别是多少?（结果用化简后的含 的式子表示） 【解】由题意得当车辆行驶路程超过 ，且路程为整数时， 甲公司的收费为 元，乙公司的 收费为 元. 中考考法 16 （3）当行驶路程为____ 时，两家公司收取的费用相同. 18 【点拨】由题意得解得 ,所以当 行驶路程为 时，两家公司收取的费用相同. 中考考法 17 知识点2 方案问题 3. 某校组织研学活动，需租用客车出行，现有甲、乙两种客 车，甲客车可坐40人，租金为每辆300元；乙客车可坐30人， 租金为每辆240元．七年级有学生135人，教师5人，共140人． 中考考法 18 （1）若单独租用甲客车，需要多少辆？单独租用乙客车， 需要多少辆？ 【解】因为 （辆），且车辆数为正整数， 所以单独租用甲客车需要4辆； 因为 （辆），且车辆数为正整数， 所以单独租用乙客车需要5辆. 中考考法 19 （2）若同时租用两种客车共4辆，且恰好坐满，甲、乙两种 客车各租用多少辆？ 设租用甲客车辆，则租用乙客车 辆， 根据恰好坐满140人，列方程，得 , 解得，则 , 即租用甲客车2辆，乙客车2辆. 中考考法 20 （3）在（2）的条件下，求本次租车的总费用，并思考：是 否存在更省钱的租车方案？若存在，求出最省费用；若不存 在，请说明理由． 中考考法 21 在（2）的条件下，即租用甲客车2辆，乙客车2辆的总费用 为 （元）； 不存在更省钱的租车方案.理由： 方案1：租0辆甲，5辆乙，可乘坐总人数为 ，总费用为 （元）， ； 方案2：租1辆甲，4辆乙，可乘坐总人数为 ，总费用为 （元）， ； 中考考法 22 方案3：租3辆甲，1辆乙，可乘坐总人数为 ，总费用为 （元）， ； 方案4：租4辆甲，0辆乙，可乘坐总人数为 ，总费用为 （元）， . 对比所有方案可知， 元为最低费用，因此不存在更省钱 的租车方案． 中考考法 4. 个人所得税起征点调整后，公民月工资、薪金所得不超过 5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税 所得额．此项税款按下表累加计算：（本题不计算规定中的 抵扣部分） 中考考法 24 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 超过3 000元到12 000元的部分 超过12 000元到25 000元的部分 （纳税款=应纳税所得额×对应的税率）按此规定解答下列问题： 如果小丽的爸爸三月份的纳税款为540元，那么他三月份的 工资、薪金是________元． 12 500 中考考法 25 5. ，果园分别有苹果30吨和40吨，， 两地分别需要苹果 20吨和50吨.已知从果园、果园到地、 地的运费如下表： 到 地 到 地 从 果园运出 每吨15元 每吨12元 从 果园运出 每吨10元 每吨9元 中考考法 26 设从果园运到地的苹果为 吨. （1）从果园运到地的苹果为_________吨，从 果园运到 地的苹果为_________吨.从果园运到 地的苹果为_______ ____吨. （2），两果园分别将苹果运往， 两地的总运输费用为 多少元? 【解】总运输费用是 元. 中考考法 27 （3）若总运输费用为750元，请你求出具体的运输方案. 根据题意得,解得 . 故运输方案为从果园运到地的苹果为5吨，运到 地的苹 果为25吨； 从果园运到地的苹果为15吨，运到 地的苹果为25吨. 中考考法 28 $