5.3.5 其他问题（课件）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一元一次方程实际应用，涵盖球赛积分、行程（直线与环形）、数字、图形等问题。课堂通过基础填空回顾积分要素与公式，结合选择过渡到应用题，构建从概念到综合解题的学习支架。 其亮点在于以问题驱动，运用数学眼光抽象积分表数量关系，借助数学思维分析行程问题等量关系，用数学语言列方程表达实际问题。通过解题模板、分层练习及表格小结，提升学生抽象能力与推理意识，教师可直接用于分层教学，提高课堂效率。

人教版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 5.3.5其他问题 第五章 一元一次方程 5.3.3 球赛积分表问题 练习题（含解析） 一、基础填空题（每空2分，共36分） 1. 球赛积分问题核心三要素：胜场积分、平场积分、负场积分。 2. 总积分公式：总积分 = 胜场积分 + 平场积分 + 负场积分。 3. 通用展开公式：总积分=胜场数×胜单场分+平场数×平单场分+负场数×负单场分。 4. 单支球队比赛总场数 =胜场数 + 平场数 + 负场数。 5. 积分表解题第一步：先从全负队伍、无平局队伍推算出单场固定积分。 6. 常规联赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 7. 比赛场数、胜负平场次都必须是非负整数，算出负数、小数均不符合实际，答案舍去。 8. 某队胜5场、平2场、负3场，常规积分制下总积分为17分。 9. 已知总场数，若设胜$$x$$场，则剩余场次 = 总场数 - x。 10. 积分问题列方程关键：找准单场分值和场次数量关系。 11. 无负场比赛中，总积分只与胜场和平场有关。 12. 球赛积分问题解出结果后，必须检验是否符合实际（整数、非负）。 二、选择题（每题3分，共15分） 1. 常规足球联赛计分（胜3、平1、负0），一队胜4场、平1场，总积分是（ ） A. 12分 B. 13分 C. 14分 D. 15分 2. 某球队一共比赛10场，胜$$x$$场、负3场，则平场数为（ ） A. $$10-x-3$$ B. $$10+x-3$$ C. $$x+3$$ D. $$10-x$$ 3. 下列关于球赛积分问题说法正确的是（ ） A. 场次可以为小数 B. 场次可以为负数 C. 场次必须为非负整数 D. 积分无实际限制 4. 在标准计分规则下，负一场的积分为（ ） A. 3分 B. 1分 C. 0分 D. 不确定 5. 某队8场比赛得18分，全部获胜应得24分，说明该队一定（ ） A. 有平局 B. 有负场 C. 全胜 D. 全平 答案：1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 三、基础应用题（每题16分，共32分） 1. 基础积分计算问题 某联赛计分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队共比赛12场，负2场，总得分为26分，求该队胜几场、平几场？ 解析与答案： 解：设该队胜$$x$$场，则平场数为：$$12-2-x=10-x$$场。 根据总积分列方程： $$3x+1\times(10-x)=26$$ 去括号：$$3x+10-x=26$$ 合并同类项：$$2x=16$$ 解得：$$x=8$$ 平场数：$$10-8=2$$（场） 答：该队胜8场，平2场。 2. 已知总场次求胜负问题 某球队赛季共参赛15场，无平局，胜一场得2分，负一场得1分，最终总积分25分，该队胜、负各多少场？ 解析与答案： 解：设该队胜$$x$$场，则负$$(15-x)$$场。 列方程：$$2x+1\times(15-x)=25$$ 化简：$$2x+15-x=25$$ 解得：$$x=10$$ 负场数：$$15-10=5$$（场） 答：该队胜10场，负5场。 四、综合压轴题（17分） 某篮球联赛计分规则：胜一场得2分，负一场得1分，无平局。某队参赛若干场，若该队全部获胜可得30分，实际总积分24分，求该队实际胜、负各多少场？ 解析与答案： 解：先求总比赛场数： 全部获胜每场2分，总场数：$$30\div2=15$$（场） 设实际胜$$x$$场，则负$$(15-x)$$场。 列方程：$$2x+(15-x)=24$$ 化简：$$x+15=24$$ 解得：$$x=9$$ 负场数：$$15-9=6$$（场） 答：该队实际胜9场，负6场。 知识点总结与易错点 1. 球赛积分万能解题模板 确定计分规则→设胜场为$$x$$→用总场数表示平、负场数→代入总积分公式列方程→求解并检验场次为非负整数。 2. 标准计分公式 总积分 = 3×胜场数 + 1×平场数 + 0×负场数（常规联赛）。 3. 高频易错点 1. 忘记负场得0分，多余计算负场积分； 2. 场次关系混乱，平场、负场数量代换错误； 3. 解出小数、负数场次不检验、不舍去； 4. 看错计分规则，把胜、平、负分值搞反； 5. 总场数统计遗漏，列式等量关系错误。 找等量关系，列出方程，解决实际问题. 体验数学与日常生活的紧密联系，会用归纳、类比等思想方法解决生活中的实际问题. 从实际问题中抽象出数学模型. 2026年6月2日星期二7时5分57秒 回答下列问题： (1) 路程、速度、时间之间有什么关系？ (2) 一个两位数，它的十位数字和个位数字分别表示 什么意思？ (3) 给出一个长方形的长和宽，怎么求出周长(或面积)？ 答：(1) 路程＝速度×时间； (2) 十位数字表示与 10 相乘，个位数字表示与 1 相乘； (3) 周长＝2(长＋宽)，面积＝长×宽； 探究点1: 行程问题 【类型一】直线行程问题 1. 若杰瑞的速度是 6 米/秒，则它 5 秒跑了_____米． 2. 若汤姆的速度是 7 米/秒，要抓到 14 米远处正在吃食物而毫无防备的杰瑞需要_____秒． 3. 若杰瑞想在 4 秒钟内抢在毫无防备的汤姆前面吃到放在 30 米处的奶酪，则它至少每秒钟要跑______米． 30 2 7.5 例1 小明早晨要在 7:50 以前赶到距家 1000 m 的学校上学．一天，小明以 80 m/min 的速度出发，5 min 后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以 180 m/min 的速度去追小明，并且在途中追上了他． 爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？ 分析：(1) 问题中有哪些已知量和未知量？ (2) 想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗？ (3) 你是怎样列出方程的？与同伴进行交流. 探究点1: 行程问题 解：设爸爸追上小明用了 x min， 80 m/min×5 min 小明所行距离 家 学校 80 m/min×x min 180 m/min× x min 爸爸所行距离 依据题意得 80×5＋80x＝180x. 解得 x＝4. 180×4＝720 ( m )，1000－720＝280 ( m ). 探究点1: 行程问题 答：爸爸追上小明用了 4 min. 追上小明时，距离学校还有 280 m. 【练一练】1. A，B 两地相距 60 千米，甲、乙两人分别从 A，B 两地出发相向而行，甲的速度是 8 千米/时，乙的速度是 6 千米/时．经过多长时间两人相距 4 千米？ 8x 6x 60 4 A B 8x 6x 60 4 A B 解：设经过 x 小时两人相距 4 千米，根据题意，得 8x＋6x＝60－4 或 8x＋6x＝60＋4 解得 x＝4 或 探究点1: 行程问题 【类型二】曲线 “跑道” 行程问题 例2 小明和小华两人在 400 m 的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑 260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置. (1) 如果小明起跑后 1 min 小华开始同向跑，那么小华用多长时间能追上小明？ (2) 如果小明起跑后 1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇? 探究点1: 行程问题 分析：本题涉及哪些量？你能画图说明小明和小华跑步的情形吗？在问题（1）和（2）中，两人所走的路程分别有什么关系？ 260 起点 起点 260 260x 300x 260x 300x 追及问题 相遇问题 探究点1: 行程问题 解：（1）设小华用 x min 追上小明，根据等量关系，可列出方程 260 + 260x = 300x。 解这个方程，得 x = 6.5。 因此，小华用 6.5 min 追上小明。 追及问题 260 起点 260x 300x 探究点1: 行程问题 （2）设小华起跑后 x min 两人首次相遇， 根据等量关系，可列出方程 260x + 300x = 400 - 260。 解这个方程，得 x = 0.25。 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇。 起点 260 260x 300x 相遇问题 探究点1: 行程问题 方法总结： 环形问题中的相等关系： 两个人同地背向而行：相遇问题（首次相遇）； 两个人同地同向而行：追及问题. 探究点1: 行程问题 探究点2：数字问题 例3 一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大 36，求原数. 讨论：一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 b，则这个两位数可表示为什么？ 3 在十位表示 30，5 在个位表示 5， 所以 35＝10×3＋5. 10a＋b. 追问：如 35 可以表示什么？ 答：原数是 48. 分析：设原数十位数字为 x，则个位数字为 2x，原数可表示为10x＋2x，对调后的新数可表示为10×2x＋x，根据“新数－原数＝36”的等量关系列出方程，进而求解. 例3 一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，如果把个位数字与十位数字对调，所得的两位数比原数大 36，求原数. 解：设原数十位数字为 x，则 10×2x＋x－(10x＋2x)＝36， 解得x＝4. 则十位数字是 8. 探究点2：数字问题 探究点3: 图形问题 例4 一个长方形的周长是 40 cm，长比宽多 4 cm，求这个长方形的长和宽. 讨论：设长方形的宽为 x cm，则长为多少？怎么列方程? 长方形周长＝2×(长＋宽). 思考：长方形周长怎么计算? 解：设长方形的宽为 x cm，则长为 (x＋4) cm， 列出方程 2(x＋x＋4)＝40. 解得 x＝8. 那么长为 8＋4＝12 (cm). 答：这个长方形长 12 cm，宽 8 cm. 例4 一个长方形的周长是 40 cm，长比宽多 4 cm，求这个长方形的长和宽. 追问：如果设长方形的长为 y cm，怎么列方程? 2(y＋y－4)＝40 解得 y＝12. 探究点3: 图形问题 题型1 利用一元一次方程解几何问题 1. 如图，一个瓶子的容积是 ，瓶内装着一 些水.当瓶子正放时，瓶内的水高度 为 ，倒放时，空余部分的高度 为 ，则瓶子的底面积为( ) B A. B. C. D. 【点拨】设瓶子的底面积为 ，根据题意得 ，解得 . 考试考法 17 2. 某综合实践小组开展了“无 盖长方体纸盒的制作”实践活动.小明按照如图 的方式用边长为 的正方形纸片制作了一 个无盖的长方体盒子，小明想利用这个盒子 研究无盖长方体盒子的展开图，他发现其中有一种展开图的 外围周长为 ，求小明剪去的四个同样大小的小正方形 的边长. （求出所有可能的情况） 考试考法 18 【解】设小明剪去的小正方形的边长为 ， 如图①，由题意得 ，该 方程无解； 考试考法 19 如图②，由题意得，解得 ； 考试考法 20 如图③，由题意得，解得 ； 如图④，由题意得，解得 ； 考试考法 21 如图⑤，由题意得 ，解得 . 综上所述，小明剪去的四个同样大小 的小正方形的边长为或或 . 考试考法 22 题型2 利用一元一次方程解图表问题 3. 如图是 的数表，数表中每个位置所对 应的数都是1，2或3.定义 1或2 为数表中第行第 列的数，例如，数表中第3行第1列所对应 的数是2，所以.若，则 的值为 ______. 考试考法 23 【点拨】因为 ，所以由数表可知 或，解得或 . 考试考法 24 4.某市对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准 见下表： 一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千 瓦时） 不超过150千瓦时的部分 超过150千瓦时，但不超过300千 瓦时的部分 超过300千瓦时的部分 考试考法 25 5月份该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电 200千瓦时，交费122.5元. （1）直接写出上表中, 的值. , . 考试考法 26 （2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千 瓦时，其当月交费277.5元? 【解】若用电300千瓦时， ,所以用电超过300千 瓦时.设该户居民月用电 千瓦时，则 ,解得 , 即该户居民月用电400千瓦时. 考试考法 27 （3）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千 瓦时，其当月的平均电价等于0.62元/千瓦时? 设该户居民月用电 千瓦时，分三种情况： ①若,平均电价为 ,故不合题意； ②若,则 ,解 得 ; 考试考法 28 ③若 ，则 ,解得 ,不合题意，舍去. 综上所述，该户居民月用电250千瓦时,其当月的平均电价等 于0.62元/千瓦时. 考试考法 行程问题 数字问题 图形问题 相遇：路程和＝总路程； 追及：路程差＝初始相距距离 数位与数值的关系 周长、面积、体积公式的灵活运用 课堂小结 $