精品解析：浙江省杭州市上城区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025学年第二学期学业水平监测 八年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须写在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何图形既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. 角 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 平行四边形 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 4. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若2是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某组同学课间进行引体向上练习成绩如下：7，8，8，8，8，9，随后小杭同学也加入练习，取得的成绩也是8，那么小杭加入后得到的这组新数据与原数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 方差 8. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 9. 某校在一次广播操比赛中，对各班的“服装统一”、“动作准确”、“队伍整齐”三个方面进行评分（各方面均为百分制）．已知801班三项得分的平均数为85分，若将“服装统一”、“动作准确”、“队伍整齐”三个方面评分的权重比设为，则801班三项得分的加权平均数为86分，那么以下结论正确的是（ ） A. 重新设置权重前，801班三项得分的总分是280分 B. 重新设置权重前，801班的“动作准确”得分超过85分 C. 重新设置权重前，801班的“服装统一”得分比“队伍整齐”得分低 D. 重新设置权重前，801班的“服装统一”得分比“动作准确”得分低 10. 如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 当时，二次根式的值为______． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 13. 某研发团队12人的年龄（岁）为19，19，22，22，24，25，28，34，35，35，37，38，则其下四分位数是______岁． 14. 已知，，则_____． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 16. 如图，在菱形中，，将绕点D逆时针旋转至，连接交线段于点F． （1）若F为的中点，则旋转角______； （2）若，则______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 用适当方法解下列方程： （1）； （2） 19. 某学校将举行运动会，802班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔实心球参赛选手，现得到这三名学生最近20次的实心球成绩，并绘制了箱线图（如图）． 三名学生实心球成绩的箱线图（单位：米） （1）这三名学生中，成绩最稳定的是 ，成绩的中位数最大的是 ；（填：甲、乙、丙） （2）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 20. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，在图1中作出以为边的菱形； （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请作出线段的中点C，并保留作图痕迹． 21. 把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 22. 如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． 23. 综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． （1）特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； （2）一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； （3）迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 24. 如图1，在正方形中，为边上的动点（不包含端点），连结，以为折痕，把折叠至，延长、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若为线段的中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期学业水平监测 八年级数学 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号； 3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交； 4．所有答案都必须写在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列几何图形既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. 角 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义与中心对称图形的定义逐一判断． 【详解】解：A，轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B，轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C，既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； D，中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则，逐一判断选项即可． 【详解】解：A，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B，，不符合题意； C，，符合题意； D，，不符合题意． 3. 用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是∠A＞60°的反面有多种情况，应一一否定． 【详解】解：∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况， 因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°． 因此用反证法证明“∠A＞60°”时，应先假设∠A≤60°． 故选：D 4. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 5. 若2是方程的一个根，则c的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 6. 若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简原式，再根据绝对值的性质列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，得， ∵ ， ∴ ， 根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数为非负数， ∴ ， 解得 ． 7. 某组同学课间进行引体向上练习成绩如下：7，8，8，8，8，9，随后小杭同学也加入练习，取得的成绩也是8，那么小杭加入后得到的这组新数据与原数据相比，发生变化的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 离差平方和 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据各统计量的定义，分别计算原数据和新数据对应统计量，对比后得到发生变化的统计量． 【详解】解：整理原数据和新数据：原数据为，共个数据；加入后新数据共个，排序后为． ∵原数据总和为，∴原平均数， ∵新数据总和为，∴新平均数， ∴平均数不变； 原数据共个，中位数为第个数据的平均数，即， 新数据共个，中位数为第个数据，即， ∴中位数不变； 离差平方和为，原离差平方和为， 新离差平方和为， ∴离差平方和不变； 原方差，新方差， ，方差发生变化． 8. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，，则添加下列一个条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对角线互相平分判定四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直判定四边形是菱形，最后根据正方形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 选项A、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项B、∵，∴，又四边形是菱形， ∴四边形是正方形，故本选项符合题意； 选项C、，这是菱形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意； 选项D、，这是平行四边形的性质，不能判定是正方形，故本选项不符合题意． 9. 某校在一次广播操比赛中，对各班的“服装统一”、“动作准确”、“队伍整齐”三个方面进行评分（各方面均为百分制）．已知801班三项得分的平均数为85分，若将“服装统一”、“动作准确”、“队伍整齐”三个方面评分的权重比设为，则801班三项得分的加权平均数为86分，那么以下结论正确的是（ ） A. 重新设置权重前，801班三项得分的总分是280分 B. 重新设置权重前，801班的“动作准确”得分超过85分 C. 重新设置权重前，801班的“服装统一”得分比“队伍整齐”得分低 D. 重新设置权重前，801班的“服装统一”得分比“动作准确”得分低 【答案】C 【解析】 【分析】设三个项目得分分别为服装统一、动作准确、队伍整齐，根据算术平均数和加权平均数的定义列等式，推导得到三个得分的关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：设服装统一得分为，动作准确得分为，队伍整齐得分为， ∵ 三项得分的算术平均数为分， ∴ ， 整理得①，即三项总分为分，故选项A错误； ∵ 权重比为时，加权平均数为分， ∴ ， 整理得②， ②①，得， ∴ ，代入，得，即， 说明服装统一得分比队伍整齐得分低，故选项C正确； 对于选项B，当时，，故B错误； 对于选项D，， 当时，，即，此时服装得分比动作得分高，故D错误． 10. 如图，在中，D为的中点，E为边上一点，连结．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接．利用三角形中位线定理可得且，结合已知条件推导出，从而利用等腰三角形性质和平行线性质求解． 【详解】取的中点，连接，  为的中点，为的中点，  为的中位线， ，，  ，， ，且， ，即， ，  ，  ，  为等腰三角形， 点在线段上，  ，  ， ． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 当时，二次根式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入给定的二次根式，根据二次根式的运算规则计算即可得到结果． 【详解】解：把代入， 得． 12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 13. 某研发团队12人的年龄（岁）为19，19，22，22，24，25，28，34，35，35，37，38，则其下四分位数是______岁． 【答案】 【解析】 【分析】首先确认数据已按从小到大排序，计算下四分位数的位置，再根据四分位数计算规则求解即可． 【详解】解：方法一：已知12个数据已经从小到大排列，样本容量， 计算下四分位数的位置：， ∵为整数，根据四分位数计算规则，下四分位数为第项与第项数据的平均数， ∴本题中第项数据为，第项数据为， ∴下四分位数为：； 方法二：已知个数据已从小到大排列， ∴下四分位数是从小到大排列前项数据的中位数， 则下四分位数为第项和第项的平均数， ∴本题中第项数据为，第项数据为， ∴下四分位数为： ． 14. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根和，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的判别式求出的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，利用完全平方公式变形，结合已知条件得到关于的方程，检验根后求解即可． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个不相等实数根是和， ∴，即， ∴根据根与系数的关系得：，， ∵，且 ∴，即， ∵， ∴． 16. 如图，在菱形中，，将绕点D逆时针旋转至，连接交线段于点F． （1）若F为的中点，则旋转角______； （2）若，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和旋转的性质得到，，再由三线合一定理可得答案； （2）过点F作于点G，根据菱形的性质和旋转的性质得到，；设，则，，可证明；设，则，；进一步求出，，可证明，求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∵F为的中点， ∴； （2）如图所示，过点F作于点G， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴； 设， 在中，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当方法解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先展开整理为一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴， 解得． 19. 某学校将举行运动会，802班准备从甲、乙、丙三名学生中选拔实心球参赛选手，现得到这三名学生最近20次的实心球成绩，并绘制了箱线图（如图）． 三名学生实心球成绩的箱线图（单位：米） （1）这三名学生中，成绩最稳定的是 ，成绩的中位数最大的是 ；（填：甲、乙、丙） （2）你会选择谁参加运动会？请说明理由． 【答案】（1）乙；甲 （2）解：选择甲学生参加运动会，理由如下： 因为甲学生的成绩比较稳定，且中位数最大，整体成绩也较大，虽然丙有最好的成绩，但波动大，风险高，所以选择甲学生参加运动会． 【解析】 【分析】（1）根据箱线图所给的信息求解即可； （2）应选择成绩稳定且中位数较大的学生参加运动会，据此结合箱线图可得答案． 【小问1详解】 解：由箱线图可知，乙学生的数据最集中，且最大值与最小值的差值最小，说明数据波动小，故成绩最稳定； 由箱线图可知，成绩的中位数最大是甲； 【小问2详解】 解：略 20. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，在图1中作出以为边的菱形； （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请作出线段的中点C，并保留作图痕迹． 【答案】（1）如图1所示，四边形即为所求 （2）如图2所示，点C即为所求 【解析】 【分析】（1）取格点C、D，连接，利用勾股定理可证明，则四边形为菱形； （2）取格点E、F，连接交于点C，可证明四边形是矩形，则点C为的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 【解析】 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，求出判别式即可求解． 【小问1详解】 当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； 【小问2详解】 略 22. 如图1，在四边形中，，，相交于点O，且O为的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，延长至点E，使得，若，， ①求四边形的面积； ②设G为上一动点，连结并延长交于F，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，相交于点O，且O为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）①12；②1或3 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证明，得到，从而证得结论； （2）①利用等腰三角形三线合一的性质得出，，通过勾股定理求出的长，再由（1）的结论证得四边形是矩形，从而求得结果； ②先证明，得出，过点O作交于点H，利用勾股定理求出的长，最后根据题意得出不同情况下的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； ②∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，过点O作交于点H， ∵， ∴，即点H为的中点， 又∵点O为四边形对角线的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∵G为上一动点， ∴当点G靠近点C时，， 综上所述，的长为1或3． 23. 综合与实践： 数学项目团队专门研究中国数学史，探究《周髀算经》中解一元二次方程的方法． 史料解读：《周髀算经》是中国现存最古老的天文学与数学著作，其中记载了一种利用矩形构造来解形如的方程的正数解的几何方法．方法如下： 先将方程转化为长为、宽为、面积为的长方形；再将四个全等长方形拼成一个大正方形，如右图所示，则大正方形的面积为，边长为，中间小正方形的面积为，从而可求得方程的正数解． （1）特殊验证：若按此方法解方程，则构造的大正方形面积为 ，方程的正数解为 ； （2）一般论证：请结合以上资料和图形，证明：关于的方程（，）的正数解为：； （3）迁移应用：已知用此方法解关于的方程（，）时，构造的大正方形面积为，小正方形的面积为，求的值． 【答案】（1）144，3 （2）证明：（，）， 由题意，构造的大正方形的面积为，边长为， ∴， ∴， 即关于的方程（，）的正数解为：； （3）77 【解析】 【分析】（1）将方程化为，进而得到大正方形的面积为，进而得到，即可得出结果； （2）仿照题干，得到大正方形的面积为，边长为，进而得到，即可得证； （3）将方程化为，进而得到，求出，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴构造的大正方形面积为， ∴大正方形的边长为， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（，）， ∴， ∵构造的大正方形面积为，小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图1，在正方形中，为边上的动点（不包含端点），连结，以为折痕，把折叠至，延长、分别交于点、． （1）求证：； （2）若，求证：； （3）如图2，若为线段的中点，求的值． 【答案】（1）证明：如图1所示，设交于点T， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 由折叠的性质可得，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）设交于点T，由正方形的性质得到，由折叠的性质可得，即，则可证明，进而可证明； （2）设，则，由折叠的性质可得，，则，可证明，则可得到，解得，可证明，则是等边三角形，即可证明； （3）连接，证明，得到；设，则，，；由勾股定理得，解得，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴； 设，则， ∵为线段的中点， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $