精品解析：四川眉山市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

高2027届第四学期期末教学质量监测 数学试题卷 2026.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 3. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 4. 一批零件共有5个，其中有2个不合格．随机抽取3个零件进行检测，至少有1件不合格的概率是（  ） A. B. C. D. 5. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 某中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1名学生，则不同的分配方法种数为（  ） A. 81 B. 72 C. 12 D. 36 7. 若随机变量，，，则（  ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（  ） A. B. 3 C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 关于，下列说法正确的有（   ） A. 二项式系数之和为 B. 所有项系数之和为 C. D. 展开式中奇数项系数之和为 10. 已知函数，．则下列说法正确的是（  ） A. 在处取得最小值 B. 方程有且仅有一个实根 C. 对任意时，函数关于单调递增 D. ，都有 11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A. 为对立事件 B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________. 13. 展开式中，常数项为__________. 14. 已知集合，甲、乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. 为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 （1）补全上面的列联表； （2）依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 17. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 18. 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． （1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； （2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； （3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届第四学期期末教学质量监测 数学试题卷 2026.07 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故选：C. 3. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（       ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质求解. 【详解】∵ 考试的成绩服从正态分布， ∴ 考试的成绩关于对称，， ， ∴ 该班学生数学成绩在120分以上的人数为. 故选：B. 4. 一批零件共有5个，其中有2个不合格．随机抽取3个零件进行检测，至少有1件不合格的概率是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】“3件全为合格品”的概率为， 故至少有1件不合格的概率为. 5. 函数的导函数图象如左图所示，则该函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的图像，先判断和，进而得到的单调区间，逐一验证即可求解. 【详解】由图可知：当或时，，所以的单调减区间为， 当或时，，所以的单调增区间为， 故选：B. 6. 某中学科技节活动，将4位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动，若每位志愿者仅去一个地点且每个地点至少需要1名学生，则不同的分配方法种数为（  ） A. 81 B. 72 C. 12 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】先从四人中选出两人当成一组，再将三组人进行分配，结合分步乘法计数原理解决即可. 【详解】先从四人中选出两人当成一组，共种分法， 再将三组人进行分配，共种， 故共有种分配方法. 7. 若随机变量，，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为随机变量，，， 所以且 ， 解得. 8. 已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（  ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将题干中割线斜率大于的条件变形，可以构造新函数，将原不等式转化为在上单调递增的问题.因为可导函数在定义域上单调递增的充要条件是其导函数恒大于等于，所以对求导，得到关于的二次函数恒大于等于的条件;利用二次函数恒非负的判别式准则，建立关于的不等式，求解即可得到的取值范围，进而得到最大值. 【详解】，都有， 不妨设，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， 可得：  移项整理得：  故函数是上的单调递增函数， 因为 , , 要满足在上单调递增，就要求：恒成立, 是开口向上的二次函数，要使其在上恒大于等于0， 只需二次函数的判别式即可,即 所以的取值范围是，因此实数的最大值为. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 关于，下列说法正确的有（   ） A. 二项式系数之和为 B. 所有项系数之和为 C. D. 展开式中奇数项系数之和为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由，得二项式的系数和为，故A错误； 对于B，令，得，即所有项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式的展开式的通项公式， 令，得，则，故C正确； 对于D，令，； 令，得，则， 即展开式中奇数项系数之和为. 10. 已知函数，．则下列说法正确的是（  ） A. 在处取得最小值 B. 方程有且仅有一个实根 C. 对任意时，函数关于单调递增 D. ，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数确定函数的单调性，即可判断A；利用的单调性，求其最小值，即可确定的零点个数，即可判断B；因为，利用导数可确定其单调性，从而判断C；举反例判断D. 【详解】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值，最小值为，故A正确； 由选项A的推导可得方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 11. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（    ） A. 为对立事件 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别由对立事件、条件概率定义结合古典概型和全概率公式逐项进行分析计算即可得解. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即，所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于CD，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，， 故C正确，D不正确. 故选：ABC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式即可写出切线方程. 【详解】因为， 所以， 故, 因为，， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线的方程，属于中档题. 13. 展开式中，常数项为__________. 【答案】 【解析】 【详解】展开式中的通项公式为, 令，故，故常数项为第4项，即. 14. 已知集合，甲、乙两人分别从的所有子集中随机抽取一个集合，两人的抽取结果相互独立，设为两人取到的集合中相同元素的个数，则的数学期望________． 【答案】 【解析】 【分析】设甲､乙两人抽取的子集分别为，确定的所有可能取值，分析对应概率，即可得分布列，进而求期望； 【详解】的所有可能取值为，设甲､乙两人抽取的子集分别为， 因为的子集一共有个，故所有的抽取结果有种， 要得到，先从个元素中选个公共元素，有种方式， 对于剩余的个元素，每个元素有3种状态： （1）仅在中；（2）仅在中；（3）既不在中，也不在中，故共有种方式， 所以，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出导数，令导数在极值点处为0，得到，在验证在左右两边导函数异号，即可的结论； （2）由（1）中结论得到导数，然后令导数大于0，求得函数的增区间，从而得到函数的减区间，由此知道函数在已知区间上的单调性，由单调性求出最大值与最小值. 【小问1详解】 ， ∵函数在处取得极值， ∴，即， 即， 当时，，当时，，符合题意， ∴. 【小问2详解】 由（1）知， 则， 令，解得或； 令，解得； ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 则极大值，而，. 故函数在上的最大值和最小值分别为， ，. 16. 为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 （1）补全上面的列联表； （2）依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】（1） 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【小问1详解】 补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 【小问2详解】零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 17. 某种产品每吨成本6万元，其销售价格（万元/吨）和销售量（吨）的变化情况如下表： 7 7.5 8 8.5 9 10 9 8.5 7.5 5 （1）若与线性相关，求关于的经验回归方程； （2）根据（1）的结论，预测要使该产品销售利润最大，销售价格是多少？（结果精确到0.1） 附：（参考公式，） 【答案】（1） （2）预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用最小二乘法公式求出经验回归方程. （2）由（1）的结论，求出销售利润函数式，再借助二次函数最值求解. 【小问1详解】 依题意，，. . . 因此，. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 销售利润为. 当时，取得最大值， 所以预测销售价格是8.7万元/吨时，该产品销售利润最大. 18. 某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术时单次编辑基因成功的概率为；使用第二代技术时单次编辑基因成功的概率为，使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立． （1）求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率； （2）若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行最多3次基因编辑，若在此过程中累计成功2次，则整个实验结束；若完成3次编辑后累计成功次数仍少于2次，则再使用第二代技术进行2次编辑，随后实验结束，求整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列与期望； （3）在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用其中某一代技术．已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元．若某次实验需要进行2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择使用几次？ 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）两次均使用第一代技术 【解析】 【分析】（1）利用对立事件，计算两次均失败的概率，再用1减去即得至少一次成功的概率； （2）根据实验流程分类讨论所有可能成功次数，分别计算每种情况的概率，得到分布列后求期望； （3）设使用第一代技术的次数为，写出总成本与期望成功次数的表达式，再求净收益期望关于的线性函数，由单调性确定最优解. 【小问1详解】 设使用第一代技术编辑成功为事件，使用第二代技术编辑成功为事件，两次编辑至少成功一次为事件， 则， 所以， 所以使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为； 【小问2详解】 根据题意，随机变量的可能取值为， 即所有实验均失败，所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段均失败和第一阶段均失败且第二阶段恰好成功1次， 所以； 分为三种互斥情况： ①第一阶段成功2次，实验停止，概率为； ②第一阶段成功0次，第二阶段成功2次，概率为 ； ③第一阶段成功1次，第二阶段成功1次，概率为； 所以； 包含第一阶段恰好成功1次且第二阶段2次均成功， 所以， 所以整个实验过程中基因编辑成功次数的分布列为： 0 1 2 3 所以； 【小问3详解】 设2次编辑中使用第一代技术的次数为，所以可能的取值为， 所以使用第二代次数为， 设总成本为，所以， 总成功次数期望，设净收益为， 所以， 函数值随增大而增大，所以时净收益最大，即两次均使用第一代技术. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的． 【答案】（1）当 时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）已知，定义域， 当时， 单调递减，又因为，所以单调递增， 而也单调递增，故在上单调递增，无极值点； 求导得，设， ， 因为，所以在上为增函数， 而，， 故在上存在一个零点，且时，， 时， ，故在上为减函数，在为增函数， 而，，故在上存在唯一一个零点， 且时，即，时，即 ， 所以在区间上存在唯一的极值点. 所以在区间存在唯一的极值点； （ii）由（i）得，即， 则， 令，， 求导得， 令， 求导得， 整理得 因为，所以 ，即在上单调递增， 所以， 所以 ，在上单调递增， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对的取值范围进行分类讨论； （2）（i）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间上的单调性，进而证明存在唯一的极值点； （ii）根据（i）中得到的极值点的性质，对进行化简，然后通过构造函数并利用导数研究函数单调性来证明. 【小问1详解】 已知函数，其定义域为， 求导得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增. 当时令，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当 时，在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增. 综上，当 时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $