四川省眉山市仁寿县华兴中学2024-2025学年高二下学期数学期末模拟试题5

华兴中学高中2026届高二下期末模拟考试5 数学试题 总分：150 时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1．下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．17 C．20 D．21 3．从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 4．在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若有2名女生和4名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．40 6．某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 8．若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物实验，得到如下药物结果与动物实验的数据： 患病 未患病 服用药 10 45 没服用药 20 30 由上述数据得出下列结论，其中正确的是（    ） 附：； 0.05 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 A．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025 B．根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．该药物的预防有效率超过 D．若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（    ） A． B．函数有三个零点 C．函数的对称中心为 D．过可以作两条直线与的图象相切 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在前n项和为的等差数列中，，，则 . 13．在的二项展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 ．（用数字作答） 14．设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 ． 四、解答题（15题 13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分，共77分） 15．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数在上的值域． 16．随着“一带一路”的发展，中国同某国贸易频繁，现统计近5年两国交易额（单位：百亿元），结果见表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 交易额y 9 12 17 21 26 (1)统计学中常用线性相关系数r来衡量两个变量y与x之间线性关系的强弱.一般认为：若，则负相关性很强；若，则正相关性很强；若，则相关性一般；若，则相关性很弱.请用表中数据计算出r，并说明y与x的线性相关程度. (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测2025年两国的交易额. 参考数据：； 参考公式：；回归方程，，. 17．已知数列满足，. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式： (2)记，求数列的前n项和. 18．已知函数. (1)若， 求曲线在点处的切线方程; (2)若无零点，求实数的取值范围; (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 19．已知新同学小王每天中午会在自己学校提供的A、B两家餐厅中选择就餐，小王第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐、如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4，如此往复. (1)求小王第2天中午去A餐厅用餐的概率; (2)求小王第i天中午去B餐厅用餐的概率； (3)已知:若随机变量服从两点分布，且，则.记前n次（即从第1次到第n次午餐）中小王去B餐厅用午餐的次数为Y，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年7月1日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B C D C A AD AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【详解】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 2．B 【分析】根据已知分别求出，进而可得，即可得. 【详解】由题设， 又，，则， 所以. 故选：B 3．A 【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解. 【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球. 从而，，故. 故选：A. 4．B 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 5．C 【分析】先分组后分配，分组时分一组2人一组4人和每组各3人两种情况. 【详解】第一步，先分组，分为一组2人，另一组4人，有种； 分为每组各3人，有种，分组方法共有种. 第二步，将两组志愿者分配到两个服务站共有种. 所以，总的分配方案有种. 故选：C 6．D 【分析】运用二项分布知识求解即可 【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则. 根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为. 故选：D. 7．C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 8．A 【分析】先将题设不等式转化为对恒成立，构造函数，则，利用导数研究得到的单调性，进而得到，再通过导数求得函数的最大值即可求解. 【详解】由题意可知：，， 即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 又，所以，其中， 令，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，即，故实数的最小值为． 故选：A 9．AD 【分析】根据题意计算出的值，逐项分析即可. 【详解】根据列联表 患病 未患病 合计 服用药 10 45 55 没服用药 20 30 50 合计 30 75 105 计算， 对于A，因为，所以根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.025，A正确； 对于B，因为根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是无效的，此推断犯错误的概率不超过0.01，B错误； 对于C，可推断该药物的预防有效率超过，C错误； 对于D，若将所有试验数据都扩大到原来的10倍，则根据小概率值的独立性检验，推断服用药物是有效的，此推断犯错误的概率不超过0.005，D正确； 故选：AD. 10．AD 【分析】利用赋值法求系数和，可判断ACD，利用指定项求系数可判断B. 【详解】令，得，A正确． ，B错误． 令，得，则，C错误． 令，得， 则，D正确． 故选：AD. 11．ACD 【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C；设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点求出切点，即可判断D. 【详解】， 因为函数有极小值点， 所以，解得， 所以，， 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又 所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误； 对于C，由， 得， 所以函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，设切点为，则， 故切线方程为， 又过点，所以， 整理得，即， 解得或， 所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确. 故选：ACD. 12．12 【分析】根据题意可知为等差数列，结合等差中项运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，可知为等差数列， 则，即，解得. 故答案为：12. 13． 【分析】利用已知条件求出的值，写出二项展开式的通项，即可求解. 【详解】由于的展开式只有第4项的二项式系数最大，则展开式中共有7项，故， 所以的展开式通项为，, 令，解得， 所以展开式中的系数为. 故答案为：. 14． 【分析】根据二项分布的均值与方差公式，求出的值，再用超几何分布即可解题. 【详解】因为，则，解得或， 又，则，可得，则， 所以有5名男生．所以． 故答案为： 15．(1)单调递增区间为和，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）结合（1）可得函数在上的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点函数值，即可求出函数的值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 由，解得或；由，解得. 故函数的单调递增区间为和； 函数的单调递减区间为. （2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以， 又，，所以， 所以函数在上的值域为. 16．(1)0.998；变量与的线性相关程度很强； (2)；百亿元. 【分析】（1）直接将数据代入公式计算，即可得答案； （2）利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为 ，再将代入，即可得答案； 【详解】（1）由题意，根据表格中的数据， 可得：，， 则， ， 所以 所以变量与的线性相关程度很强. （2）由（1）可得，，， 又由， 所以，则， 可得关于的线性回归方程为 令，可得， 即年两国的交易额交易额百亿元. 17．(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)递推关系式左右两边同时减一，通分，取到数整理可得根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，再利用等差数列的通项公式求出的通项公式进而求出数列的通项公式. (2)现根据的通项公式求出进而求出的通项公式，再用裂项相消法求出. 【详解】（1）因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为，所以，所以， 所以， 18．(1)； (2) (3)． 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）方法一：求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，结合零点存在性定理说明即可；方法二：依题意可得，设，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出的取值范围； （3）令，求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）当时，则，     ∴切线斜率为，又，     ∴所求切线方程为； （2）方法一：函数的定义域是， ∴，     ①若，则，在上单调递增， ，， ∵，，，则， 则仅有一个零点，且零点位于；     ②当，则当时，当时， 所以在上单调递减，在单调递增； 因为的最小值为， 若时，，此时无零点；     若时，，此时仅有一个零点；     若时，，，此时至少有一个零点； 综上所述，．     方法二：令，则，     设，则，     所以当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为，且当趋于时趋于， 依题意与无交点，所以， ∴要使在定义域上无零点，则． （3）因为， 所以问题转化为在区间有解， 令，即， 则     ①当时，，∴时，，在上单调递减， 此时，，不符合题意；     ②当时， ∴时，，在上单调递减， ∴，即时，，符合题意；     ③当时， ∴时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， ∴，，符合题意； 综上所述，． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 19．(1)0.6 (2) (3) 【分析】（1）运用条件概率和全概率求解即可； （2）运用全概率结合数列构造知识求解即可； （3）运用离散型随机变量分布列知识，结合等比数列求和公式可解. 【详解】（1）设事件：第天中午去A餐厅用餐， 事件：第i天中午去B餐厅用餐，其中， 则小王第2天中午去A餐厅用餐的概率为：. （2）设，依题可知，，， ∵如果小王第1天中午去A餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.8， 即，而， ∴，     ∵如果第1天中午去B餐厅，那么第2天中午去A餐厅的概率为0.4， ∴.     由全概率公式可知，即，     ∴，而，     ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴，即； （3）设王某第天去B餐厅的次数为，则的所有可能取值为0，1， 当时表示王某第天没去B餐厅，当时表示王某第i天去B餐厅， ∵，， ∴，     ∵，， ∴当 时，， 故. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $