四川南充市2025-2026学年下学期普通高中学业质量监测高二数学试题

秘密★启封并使用完毕前【考试时间：2026年7月4日8：00-10：00】 2026年春季学期普通高中学业质量监测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列满足，，则 A．3 B．7 C．9 D．10 2．已知随机变量，若，则 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 3．记等差数列的前项和为，若，，则 A．9 B．36 C．45 D．54 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是 A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递增 D．在处取得极大值 5．已知盒子中装有4个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，则 A． B． C． D． 6．等比数列的各项均为正数，且，则 A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知曲线在，两点处的切线也是曲线的切线，则的值为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设随机事件，满足，且，，下列说法正确的是 A．与相互独立 B． C．与互斥 D． 10．已知，下列说法正确的是 A． B． C． D．除以4的余数为1 11．下列说法正确的是 A．将5封信投入3个不同的邮筒，则有种不同的投法 B．5名同学排成一排拍照，甲、乙两人相邻且丙、丁两人不相邻，则有12种不同的排法 C．12个完全相同的小球分给5名同学，每人至少分得2个，则有15种不同的分法 D．240的正因数有20个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和公式为，则________． 13．甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有4个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1，2，3，从甲箱中随机摸出1个球；如果点数为4，5，6，从乙箱中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为________． 14．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④、⋯中图形的周长依次记为，，，，⋯，面积依次记为，，，，…，则________（2分），________．（3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列为等差数列，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 16．（15分）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的极值． 17．（15分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，共移动4次，每次向左或向右移动一个单位，其中每次向左移动的概率为，向右移动的概率为． （Ⅰ）当移动4次完成时，求质点回到原点的概率； （Ⅱ）设移动4次完成时质点位于点处，求的分布列和数学期望． 18．（17分）已知数列的首项为，点在函数的图象上． （Ⅰ）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）设，． （i）求数列的前项和； （ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明． 19．（17分）已知函数． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，． （i）证明：恰有两个零点； （ii）若，是否存在，使得？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $