第13讲 有理数的除法 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.2.3 有理数的除法 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数除法的意义，掌握除法法则——除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数，用字母表示 a÷b = a×(1/b)（b≠0）。 1. 掌握两个有理数相除的符号法则——同号得正、异号得负，绝对值相除；0 除以任何非零数都得 0；0 不能作除数。 1. 能灵活选择“直接算”或“转化算”——整除时直接算符号+绝对值；出现分数或带分数时先化倒数、变除为乘再算。会进行分数除法与化简。 【过程与方法】 1. 经历“类比乘法 → 观察表格 → 发现规律 → 归纳法则”的完整探究过程，体会化归思想——把新问题（除法）转化为旧问题（乘法）。 1. 通过对比“能不能整除”的不同情形，学会根据题目的“相貌”选择合适的运算路径——让运算既准又快。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学中“化未知为已知”的智慧——把陌生的除法转化为熟悉的乘法，这一“化归思想”将贯穿整个初中数学学习。 二、学习重难点 重 点 ① 除法法则——除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数；② 两个有理数相除的符号法则——同号得正、异号得负，绝对值相除。 难 点 “直接算”与“转化算”的策略选择；分数除法中倒数的书写与化简——尤其是带分数（先化假分数）、负数（倒数带负号）、小数（先化分数）的处理。 易错点 ① 0 除数问题——0÷a = 0（a≠0）合法，但 a÷0 无意义、绝对不能写；② 求倒数忘记带负号（如 -⅔ 的倒数写成 ³⁄₂ 而非 -³⁄₂）； ③ 带分数的倒数忘先化假分数；④ 分数除法转化为乘法后忘化最简；⑤ 多次连除时符号数错。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】乘法法则·作参照 运算 符号法则 “与 0 相关”的特别规定 乘法 同号得正、异号得负，绝对值相乘 任何数 × 0 = 0 除法（本节要学） ？（本节探究） 0 ÷ 任何非零数 = 0；除数不能为 0 【回顾二】倒数·关键复习 ① 倒数的定义：乘积为 1 的两个数互为倒数（a×b = 1，则 a 与 b 互为倒数）。 ② 求倒数的三大要点： 　• 正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数——符号不变！ 　• 带分数求倒数前必须先化假分数（如 -1 的倒数应写 - 的倒数，即 -，不能写 -1） 　• 0 没有倒数——因为没有任何数与 0 的乘积等于 1。 👀 快速热身： 说出下列各数的倒数：3、-5、、-、1、-2、0.5、-0.25 答：3 → ____；-5 → ____； → ____；- → ____；1 → ____；-2 → ____；0.5 → ____；-0.25 → ____ 【情境导入】🎪 牛奶配送·两种算法 妈妈买了一箱 24 盒 牛奶，规定每天喝 3 盒。全家 4 天喝完还是 8 天喝完？用两种方法计算： 方法一（除法）： 一天喝 3 盒，一共 24 盒 → 24 ÷ 3 = ______（天） 方法二（乘法）： 一天喝完 ，一共要多少天 → 24 × = ______（天） 你的发现是：__________________________________________ 四、探究新知 探究一 · 变除为乘 · 除法法则的诞生 📊 观察下表， 承接 2.2.2 拓展作业 8 的规律，把每一行的两种算法都算出来，看看有什么共同点： 除法算式 乘倒数算式 计算结果 两式相等吗？ 12 ÷ 3 12 × = ______ ____ (-8) ÷ 4 (-8) × = ______ ____ 6 ÷ (-2) 6 × = ______ ____ (-10) ÷ (-5) (-10) × = ______ ____ 0 ÷ 5 0 × = ______ ____ 🎯 归纳结论·除法法则： 除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数。 用字母表示： a ÷ b = a × ()（b ≠ 0） 💡 温馨提醒： 除法有两种“记号”：a ÷ b 和 ——分数线就是“除号”，所以 也表示 a ÷ b（b ≠ 0），今后二者可以随时互换。 探究二 · 两数相除的符号法则 🎯 从探究一的表格中我们已经看到： 12 ÷ 3 = 4（正），(-8) ÷ 4 = -2（负），6 ÷ (-2) = -3（负），(-10) ÷ (-5) = 2（正）…… 规律和乘法完全一样！ 请补全下表： 被除数符号 除数符号 商的符号 代表例子 正 正 ____ 12 ÷ 3 = 4 负 负 ____ (-10) ÷ (-5) = 2 正 负 ____ 6 ÷ (-2) = -3 负 正 ____ (-8) ÷ 4 = -2 0 任何非零数 ____ 0 ÷ (-5) = 0 任何数 0 ____ ❌ 禁区！ 🎯 归纳结论·符号法则（两数相除）： ① 同号得正、异号得负，并把绝对值相除； ② 0 除以任何非零数都得 0； ③ 0 不能作除数（除数为 0 的除法没有意义）。 探究三 · 直接算 or 转化算 · 策略选择 🤔 思考： 除法法则告诉我们“除法可以变成乘法”，但是不是每道题都要“变除为乘”？看下面两个式子—— 式①： (-24) ÷ 6　和　式②：(-) ÷ ——你想怎么算？ 👀 观察比较： 情形 直接算 转化算（变除为乘） 式① (-24) ÷ 6 异号得负，24÷6=4　→　-4　✅顺手 (-24) × = -4，反而多写 式② (-) ÷ 分数不便“直接除” × = = 　✅顺手 🎯 策略口诀： ① 整数能整除 → 直接算符号+绝对值； ② 遇到分数、带分数、小数、分数与整数混合 → 变除为乘再算。 ③ 一句话：看到分数就换乘，看到整除就直算！ 探究四 · 分数除法·四步走 📋 分数除法完整流程（教材经典四步走）： 第一步 化带分数、小数 → 假分数（如 -2 → ；-0.25 → ） 第二步 变除为乘： a ÷ b → a × （同时保留除数的符号） 第三步 定符号： 同号得正，异号得负——先把“±”写在最前面 第四步 算绝对值 + 化最简： 分子乘分子、分母乘分母，能约分先约分（化简），最后再乘 🎬 实战演示： (-2) ÷ (-) = ? 解：(-2) ÷ (-) 　　= ______________________________________ （第一步：化假分数） 　　= ______________________________________ （第二步：变除为乘） 　　= ______________________________________ （第三步：定符号） 　　= ______________________________________ （第四步：算绝对值、化最简） 五、典型例题 例 1 · 符号法则直接算·整数除法（4题） 题目： 计算下列各式，先判断符号，再算绝对值。 （1）(-36) ÷ 9　　（2）(-48) ÷ (-6)　　（3）0 ÷ (-7)　　（4）(-24) ÷ (-4) 例 2 · 变除为乘·分数与带分数（4题） 题目： 计算下列各式，按四步走完成。 （1）(-) ÷ 　　 （2）4 ÷ 　　（3）(-) ÷ ()　　（4）(-3) ÷ 例 3 · 混合运算与化简（3题） 题目： 计算下列各式（含小数、连除、括号）。 （1）(-0.25) ÷()　　（2）(-) ÷ ÷　　（3）(-) ÷ ( × ) 六、当堂检测（限时 10 分钟） 【一】概念填空（4小题·每题 2 分） （1）除法法则：除以一个不等于 ______ 的数，等于乘以这个数的 ______。用字母表示为 a ÷ b = _______（b ≠ 0）。 （2）两个有理数相除，同号得 ______，异号得 ______，绝对值 ______； 　　　0 除以任何非零数都得 ______；______ 不能作除数。 （3）- 的倒数是 ______；1 的倒数是 ______（先化为 ______）；-2.5 的倒数是 ______。 （4）0 ÷ (-8) = ______；(-8) ÷ 0 = ______（填 “0” 或 “无意义”）。 【二】辨析选择（4分） 下面 4 个运算结果中， 只有一个是正确的，你选哪个？ A. -6 ÷ (-3) = -2　　B. 0 ÷ (-5) 无意义　　- 的倒数是 -　　D. (-) ÷ = -1 【三】计算题（4小题·每题 4 分） （1）(-56) ÷ 7　　　　　（2） ÷ (-) （3）(-0.125) ÷ 　　　　（4）- ÷ (-) × (-) 【四】生活应用（4分） 🌡️ 气温骤降·平均变化 某地一周内每天的最低气温比前一天下降情况如下：连续 5 天，总共下降了 20 ℃。求平均每天下降多少 ℃？ 七、知识梳理·思维导图 🌳 有理数除法·核心网络： ┌────────────────────────────────────────┐ │ 有理数除法 (a ÷ b, b≠0) │ └────────────┬───────────────────────────┘ │ ┌────────────────┴────────────────┐ │ │ 除法法则 符号法则 ┌───┴───┐ ┌────┼────┬────┐ 除以 = 乘倒数 同号 异号 0÷非零 ÷0 a÷b = a× + - = 0 ❌ │ 分数除法四步走 ①化假分数 → ②变除为乘 → ③定符号 → ④算绝对值+化简 📖 一句话口诀： 　　“除数不为零，变除为乘算；先看是分数，　再判同异号；四步分明写，化简别忘掉。” 八、分层作业 🅐 基础训练 · 巩固法则 【判断题】(6 小题·对写√、错写✗并说明理由) （1）除以一个数等于乘以这个数的相反数。　　(　) （2）0 除以任何数都等于 0。　　(　) （3）(-6) ÷ (-3) = 2　　(　) （4）任何数除以它自己都等于 1。　　(　) （5）负数的倒数还是负数。　　(　) （6）除法的运算结果一定比被除数小。　　(　) 【填空题】(4 小题) （1）(-42) ÷ (-6) = ______ （2）- 的倒数是 ______；-2 的倒数是 ______。 （3）0 ÷ (-15) = ______；(-15) ÷ 0 是 ______。 （4）已知 a ÷ b = -3，且 a > 0，则 b ______ 0（填 “>” “<” 或 “=”）。 【计算题】(6 小题) （1）(-72) ÷ 8　　　　　　（2）0 ÷ (-3.14) （3）(-) ÷ (-)　　　　　（4）(+3) ÷ (-1) （5）-0.75 ÷ 　　　　　　（6）(-) ÷ (-) ÷ (-) 🅑 能力提升 · 灵活应用 综合训练（4 小题） 1.在数轴上， 点 A 表示的数为 -12，点 B 表示的数为 4，若点 M 到 A 与到 B 的距离之比为 1:3，求点 M 表示的数。（提示：距离用除法） 2.已知： a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，m 的绝对值为 2。求 (-ab)2024 + c + d - m ÷ (ab) 的值。 3.计算： (-1) ÷ (-) ÷ (-) × (+) 4.[分类讨论] 若 |a| = 3，|b| = 2，且 a ÷ b < 0，求 a + b 的值。 🅒 拓展探究 · 章节预告 挑战题（3 小题） [连除巧算] 计算：(-) ÷ (-) × (-) ÷ (-) × ÷ (-) [定义新运算] 规定 a※b = (a + b) ÷ (a - b)（其中 a ≠ b）。 　　　① 求 3※(-2) 的值； 　　　② 若 (-4)※x = -，求 x 的值。 [章节预告·除法法则的“成年礼”] 　　　完成下面的探究，为 2.2.4 有理数的乘除混合运算 做准备： 　　　① 计算 (-24) ÷ 6 × (-2) 和 (-24) × (-2) ÷ 6，它们的结果相等吗？ 　　　② 计算 12 ÷ (-3) × 4 和 12 × 4 ÷ (-3)，它们的结果相等吗？ 　　　③ 你能得到什么结论？ 九、学习反思 反思项目 关键要点·自我评价 掌握程度 备注 / 想问的问题 ① 除法法则 能背写 a ÷ b = a × （b≠0）；能说出为什么 b≠0 ★★★★★ 　　 ② 符号法则 同号得正、异号得负；0÷非零=0；÷0 无意义 ★★★★★ 　　 ③ 倒数书写 负数倒数带负号；带分数先化假分数；0 无倒数 ★★★★★ 　　 ④ 直接算 vs 转化算 能整除就直算；有分数就换乘 ★★★★★ 　　 ⑤ 分数除法四步走 化假分数 → 变除为乘 → 定符号 → 化最简 ★★★★★ 　　 ⑥ 连除巧算 一次性变乘，一次性数负号、一次性约分 ★★★★★ 　　 　 💭 一句话总结（学生自己写）： 这节课我最大的收获是 ___________________________________ 　　　　　　　　　　　我还想问的是 __________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 有理数的除法 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 理解有理数除法的意义，掌握除法法则——除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数，用字母表示 a÷b = a×(1/b)（b≠0）。 1. 掌握两个有理数相除的符号法则——同号得正、异号得负，绝对值相除；0 除以任何非零数都得 0；0 不能作除数。 1. 能灵活选择“直接算”或“转化算”——整除时直接算符号+绝对值；出现分数或带分数时先化倒数、变除为乘再算。会进行分数除法与化简。 【过程与方法】 1. 经历“类比乘法 → 观察表格 → 发现规律 → 归纳法则”的完整探究过程，体会化归思想——把新问题（除法）转化为旧问题（乘法）。 1. 通过对比“能不能整除”的不同情形，学会根据题目的“相貌”选择合适的运算路径——让运算既准又快。 【情感态度与价值观】 1. 感受数学中“化未知为已知”的智慧——把陌生的除法转化为熟悉的乘法，这一“化归思想”将贯穿整个初中数学学习。 二、学习重难点 重 点 ① 除法法则——除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数；② 两个有理数相除的符号法则——同号得正、异号得负，绝对值相除。 难 点 “直接算”与“转化算”的策略选择；分数除法中倒数的书写与化简——尤其是带分数（先化假分数）、负数（倒数带负号）、小数（先化分数）的处理。 易错点 ① 0 除数问题——0÷a = 0（a≠0）合法，但 a÷0 无意义、绝对不能写；② 求倒数忘记带负号（如 -⅔ 的倒数写成 ³⁄₂ 而非 -³⁄₂）； ③ 带分数的倒数忘先化假分数；④ 分数除法转化为乘法后忘化最简；⑤ 多次连除时符号数错。 三、知识回顾 · 情境导入 【回顾一】乘法法则·作参照 运算 符号法则 “与 0 相关”的特别规定 乘法 同号得正、异号得负，绝对值相乘 任何数 × 0 = 0 除法（本节要学） ？（本节探究） 0 ÷ 任何非零数 = 0；除数不能为 0 【回顾二】倒数·关键复习 ① 倒数的定义：乘积为 1 的两个数互为倒数（a×b = 1，则 a 与 b 互为倒数）。 ② 求倒数的三大要点： 　• 正数的倒数是正数，负数的倒数还是负数——符号不变！ 　• 带分数求倒数前必须先化假分数（如 -1 的倒数应写 - 的倒数，即 -，不能写 -1） 　• 0 没有倒数——因为没有任何数与 0 的乘积等于 1。 👀 快速热身： 说出下列各数的倒数：3、-5、、-、1、-2、0.5、-0.25 3 的倒数是 ；-5 的倒数是 的倒数是 ；- 的倒数是 1 = ，倒数是 ；-2 = ，倒数是 0.5 = ，倒数是 2；-0.25 = ，倒数是 -4 【情境导入】🎪 牛奶配送·两种算法 妈妈买了一箱 24 盒 牛奶，规定每天喝 3 盒。全家 4 天喝完还是 8 天喝完？用两种方法计算： 方法一（除法）： 一天喝 3 盒，一共 24 盒 → 24 ÷ 3 = ?（天） 方法二（乘法）： 一天喝完 ⅓，一共要多少天 → 24 × = ?（天） 方法一： 24 ÷ 3 = 8（天） 方法二： 24 × = 8（天） 💡 惊喜的发现：两种算法结果完全相同！这说明 除以一个数 = 乘以这个数的倒数——除法与乘法本质相通，可以“变除为乘”！这就是本节课的“皇冠”。 四、探究新知 探究一 · 变除为乘 · 除法法则的诞生 📊 观察下表， 承接 2.2.2 拓展作业 8 的规律，把每一行的两种算法都算出来，看看有什么共同点： 除法算式 乘倒数算式 计算结果 两式相等吗？ 12 ÷ 3 12 × = 4 相等 (-8) ÷ 4 (-8) × = -2 相等 6 ÷ (-2) 6 × = -3 相等 (-10) ÷ (-5) (-10) × = 2 相等 0 ÷ 5 0 × = 0 相等 🎯 归纳结论·除法法则： 除以一个数（不等于 0）等于乘以这个数的倒数。 用字母表示： a ÷ b = a × ()（b ≠ 0） 💡 温馨提醒： 除法有两种“记号”：a ÷ b 和 ——分数线就是“除号”，所以 也表示 a ÷ b（b ≠ 0），今后二者可以随时互换。 💡 教学建议·探究一（8分钟）： ① 由“旧”引“新”：学生已经在 2.2.2 作业 8 中亲手验证过前几行，本节把结论提炼为一般法则； ② 为什么要“不等于 0”？ 因为 0 没有倒数（回顾二已经强调）；除数是 0 的除法在数学上无意义； ③ “分数线 = 除号”这一等价性在初二 (分式) 和初三 (方程) 都会反复用到，必须现在就打牢； ④ 板书公式 a ÷ b = a × 时，圈出“b ≠ 0”——这是一个终身需要牢记的“安全告示”。 探究二 · 两数相除的符号法则 🎯 从探究一的表格中我们已经看到： 12 ÷ 3 = 4（正），(-8) ÷ 4 = -2（负），6 ÷ (-2) = -3（负），(-10) ÷ (-5) = 2（正）…… 规律和乘法完全一样！ 请补全下表： 被除数符号 除数符号 商的符号 代表例子 正 正 正 12 ÷ 3 = 4 负 负 正 (-10) ÷ (-5) = 2 正 负 负 6 ÷ (-2) = -3 负 正 负 (-8) ÷ 4 = -2 0 任何非零数 0 0 ÷ (-5) = 0 任何数 0 无意义 ❌ 禁区！ 🎯 归纳结论·符号法则（两数相除）： ① 同号得正、异号得负，并把绝对值相除； ② 0 除以任何非零数都得 0； ③ 0 不能作除数（除数为 0 的除法没有意义）。 💡 教学建议·探究二（5分钟）： ① 与乘法法则并列板书——让学生一眼看到“符号法则乘除通用”的美感； ② 追问：为什么 a ÷ 0 无意义？ 引导学生思考 —— 若 6 ÷ 0 = c，则应有 c × 0 = 6，但任何数 × 0 = 0 ≠ 6，矛盾！所以 6 ÷ 0 无解； ③ 追问：0 ÷ 0 = ? 更“危险”——任何数都满足 c × 0 = 0，答案不唯一，同样无意义； ④ 强化“除数不能为 0”——这是初中、高中、大学都要严守的“数学红线”。 探究三 · 直接算 or 转化算 · 策略选择 🤔 思考： 除法法则告诉我们“除法可以变成乘法”，但是不是每道题都要“变除为乘”？看下面两个式子—— 式①： (-24) ÷ 6　和　式②：(-) ÷ ——你想怎么算？ 👀 观察比较： 情形 直接算 转化算（变除为乘） 式① (-24) ÷ 6 异号得负，24÷6=4　→　-4　✅顺手 (-24) × = -4，反而多写 式② (-⅔) ÷ ⅘ 分数不便“直接除” × = = 　✅顺手 🎯 策略口诀： ① 整数能整除 → 直接算符号+绝对值； ② 遇到分数、带分数、小数、分数与整数混合 → 变除为乘再算。 ③ 一句话：看到分数就换乘，看到整除就直算！ 探究四 · 分数除法·四步走 📋 分数除法完整流程（教材经典四步走）： 第一步 化带分数、小数 → 假分数（如 -2 → ；-0.25 → ） 第二步 变除为乘： a ÷ b → a × （同时保留除数的符号） 第三步 定符号： 同号得正，异号得负——先把“±”写在最前面 第四步 算绝对值 + 化最简： 分子乘分子、分母乘分母，能约分先约分（化简），最后再乘 🎬 实战演示： (-2) ÷ (-) = ? 解： (-2) ÷ (-) 　　= ÷ 　（第一步：化假分数） 　　= × 　（第二步：变除为乘） 　　= + × 　（第三步：同号得正） 　　= = = (或 3) 　（第四步：算绝对值、化最简） ⚠️ 注意： 最好在第四步先约分再乘——这里 9 和 3 可以先约（÷3），4 和 5 不约（互质），直接得 × 5 = 。会更快！ 💡 教学建议·探究四（8分钟）： ① 四步走不能跳步——尤其“第一步化假分数”和“第三步定符号”，很多学生想跳但常常出错； ② 先约分再乘是本节最需要培养的“计算习惯”——不然分子分母数字很快膨胀，容易算错； ③ 负号的位置——教师板书时可以“- ”整体加括号，或者把负号提到分数外面（- = -(），选择一种并坚持一致，避免混乱。 五、典型例题 例 1 · 符号法则直接算·整数除法（4题） 题目： 计算下列各式，先判断符号，再算绝对值。 （1）(-36) ÷ 9　　（2）(-48) ÷ (-6)　　（3）0 ÷ (-7)　　（4）(-24) ÷ (-4) （1） (-36) ÷ 9 = 异号得负，36 ÷ 9 = 4，∴ 原式 = -4 （2） (-48) ÷ (-6) = 同号得正，48 ÷ 6 = 8，∴ 原式 = +8 （3） 0 ÷ (-7) = 0　（0 除以任何非零数都得 0） （4） (-24) ÷ (-4) = 同号得正，24 ÷ 4 = 6，∴ 原式 = +6 💡 小结： 整数除法能整除时三步走——① 看符号（同正异负）② 算绝对值 ③ 组合。不必“变除为乘”。 例 2 · 变除为乘·分数与带分数（4题） 题目： 计算下列各式，按四步走完成。 （1）(-) ÷ 　　（2）4 ÷ 　　（3）(-) ÷ 　　（4）(-3) ÷ （1） (-) ÷ = × 　（异号得负） 　　= = = -　（先约 6 和 3，速算：- × = - × 2 = -） （2） 4 ÷ (-) = 4 × 　（异号得负） 　　= = = -10 （3） (-) ÷ = × ()　（同号得正） 　　= + = = （4） (-3) ÷ = × 　（先化假分数 -3 = -） 　　= = = - (或 -4)　（速算：15 和 5 约 = 3；4 和 6 约 = ；-3× = -） 💡 教学建议·例2（10分钟）： ① （4）是本题最难——带分数 -3 必须先化 -；强调“带分数没有倒数”、必须先化假分数； ② 让学生用两种方式（先约vs后约）都做一遍 (1)，对比之后立刻感受到“先约分更清爽”，一辈子受益。 例 3 · 混合运算与化简（3题） 题目： 计算下列各式（含小数、连除、括号）。 （1）(-0.25) ÷　　（2）(-) ÷ ÷()　　（3）(-) ÷ ( × ) （1） (-0.25) ÷ (-) 　　= ÷()　（先把小数 -0.25 化成分数 -¼） 　　= ×() = + = = （2） (-) ÷ ÷() 　　= × ×　（两次“变除为乘”，一次搞定连除） 　　符号：负号有 2 个，得正 　　= + = = （3） (-) ÷ ( × )　——先算括号（先乘除） 　　括号内： × = = = 　　∴ 原式 = (-) ÷ = × = 💡 教学建议·例3（8分钟）： ① （1）小数→分数的化归是本节重要的“准备动作”——0.25 = 、0.5 = 、0.125 = 、0.75 = 建议现场板书这个“小数分数对照表”并让学生抄下； ② （2）连除“一次性变乘”——不要“算一步除一步”，把全部除号都换成乘倒数，再一次性数负号定符号、一次性算绝对值，简洁又不易错； ③ （3）括号优先规则——运算顺序仍然是“括号 → 乘除 → 加减”，除法法则不会改变四则运算的优先级。 六、当堂检测（限时 10 分钟） 【一】概念填空（4小题·每题 2 分） （1）除法法则：除以一个不等于 ______ 的数，等于乘以这个数的 ______。用字母表示为 a ÷ b = _______（b ≠ 0）。 （2）两个有理数相除，同号得 ______，异号得 ______，绝对值 ______； 　　　0 除以任何非零数都得 ______；______ 不能作除数。 （3）- 的倒数是 ______；1 的倒数是 ______（先化为 ______）；-2.5 的倒数是 ______。 （4）0 ÷ (-8) = ______；(-8) ÷ 0 = ______（填 “0” 或 “无意义”）。 （1） 0；倒数；a × （2） 正；负；相除；0；0 （3） -；（先化 ）；- （4） 0；无意义　（易错点·必考！） 【二】辨析选择（4分） 下面 4 个运算结果中， 只有一个是正确的，你选哪个？ A. -6 ÷ (-3) = -2　　B. 0 ÷ (-5) 无意义　　C. - 的倒数是 -　　D. (-) ÷ = -1 答：C 解析： · A 错——(-6) ÷ (-3)：同号得正，∴ = 2，不是 -2。 · B 错——0 除以非零数是有意义的，结果 = 0；“无意义”只针对“任何数 ÷ 0”。 · C 正确——- 的倒数是 -（负数的倒数还是负数）。 · D 错——(-) ÷ = - × = = = -，不是 -1。 💡 常见错因分析： 　· 选 A 的学生——异号忘变符号，把 (-6)÷(-3) 看成 (-6)÷3； 　· 选 B 的学生——混淆两种“与 0 相关”的情形，把 0÷(-5) 当成 (-5)÷0； 　· 选 D 的学生——跳步计算或懒得约分，凭感觉估计结果。 【三】计算题（4小题·每题 4 分） （1）(-56) ÷ 7　　　　 　（2） ÷ (-) （3）(-0.125) ÷ 　　　　（4）- ÷ (-) × (-) （1） (-56) ÷ 7 = -8　（异号得负，56÷7=8） （2） ÷ (-)= × (-) = + = = （3） (-0.125) ÷ = - ÷ = - × 4 = = - （4） 三项运算，一次变乘： 　　= - × (-) × (-) 　　负号 3 个 → 负；绝对值 = = = 　　∴ 原式 = - 【四】生活应用（4分） 🌡️ 气温骤降·平均变化 某地一周内每天的最低气温比前一天下降情况如下：连续 5 天，总共下降了 20 ℃。求平均每天下降多少 ℃？ 分析： “下降 20℃”记为 -20；“5 天”记为 5；求平均——用总变化 ÷ 天数。 列式： (-20) ÷ 5 = -4（℃） 答： 平均每天下降 4 ℃。 💡 数学素养点： 除法的“平均分配”意义——把“总量”均匀地分给“份数”，负数除法在气温、股价、盈亏等生活情境中大量出现。 七、知识梳理·思维导图 🌳 有理数除法·核心网络： ┌────────────────────────────────────────┐ │ 有理数除法 (a ÷ b, b≠0) │ └────────────┬───────────────────────────┘ │ ┌────────────────┴────────────────┐ │ │ 除法法则 符号法则 ┌───┴───┐ ┌────┼────┬────┐ 除以 = 乘倒数 同号 异号 0÷非零 ÷0 a÷b = a× + - = 0 ❌ │ 分数除法四步走 ①化假分数 → ②变除为乘 → ③定符号 → ④算绝对值+化简 📖 一句话口诀： 　　“除数不为零，变除为乘算；先看是分数，　再判同异号；四步分明写，化简别忘掉。” 八、分层作业 🅐 基础训练 · 巩固法则 【判断题】(6 小题·对写√、错写✗并说明理由) （1）除以一个数等于乘以这个数的相反数。　　(　) （2）0 除以任何数都等于 0。　　(　) （3）(-6) ÷ (-3) = 2　　(　) （4）任何数除以它自己都等于 1。　　(　) （5）负数的倒数还是负数。　　(　) （6）除法的运算结果一定比被除数小。　　(　) （1）✗——应该是“乘以这个数的倒数”，不是相反数。（陷阱：“相反”和“倒”一字之差，意思大不同） （2）✗——0 ÷ 0 是无意义的！只能说“0 除以任何非零数都等于 0”。 （3）√——同号得正，6÷3=2，正确。 （4）✗——0 除以 0 无意义！只能说“任何非零数除以它自己都等于 1”。 （5）√——正数倒数正、负数倒数负，符号不变。 （6）✗——反例：10 ÷ = 50 > 10。除以小于 1 的正数，商反而变大。 【填空题】(4 小题) （1）(-42) ÷ (-6) = ______ （2）- 的倒数是 ______；-2 的倒数是 ______。 （3）0 ÷ (-15) = ______；(-15) ÷ 0 是 ______。 （4）已知 a ÷ b = -3，且 a > 0，则 b ______ 0（填 “>” “<” 或 “=”）。 （1）+7 （2）-；-　 （3）0；无意义 （4）< 0　（商为负，且被除数 a > 0，∴ 除数 b 必为负） 【计算题】(6 小题) （1）(-72) ÷ 8　　　　　　（2）0 ÷ (-3.14) （3）(-) ÷ (-)　　　　　（4）(+3) ÷ (-1) （5）-0.75 ÷ 　　　　　　（6）(-) ÷ (-) ÷ (-) （1） (-72) ÷ 8 = -9　（异号得负） （2） 0 ÷ (-3.14) = 0 （3）(-) ÷ (-) = - × (-) = + = 2　 （4） 3 ÷ (-1) = 3 ÷ (-) = 3 × (-) = -2 （5） -÷ = -× = - = - = -2 （6）(-) ÷ (-) ÷ (-)　（三次变除为乘） 　　负号 3 个 → 负；绝对值 = = = 1，∴ 原式 = -1　（漂亮！全部约掉） 🅑 能力提升 · 灵活应用 综合训练（4 小题） 1. 在数轴上， 点 A 表示的数为 -12，点 B 表示的数为 4，若点 M 到 A 与到 B 的距离之比为 1:3，求点 M 表示的数。（提示：距离用除法） 2. 已知： a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，m 的绝对值为 2。求 (-ab)2024 + c + d - m ÷ (ab) 的值。 3. 计算： (-1) ÷ (-) ÷ (-) × (+) 4. [分类讨论] 若 |a| = 3，|b| = 2，且 a ÷ b < 0，求 a + b 的值。 （1） A(-12)、B(4) 之间的距离 = 4 - (-12) = 16。 　　MA:MB = 1:3，∴ MA = 16 × ¼ = 4，MB = 16 × = 12。 　　当 M 在 A 与 B 之间：从 A(-12) 向右 4，得 M = -12 + 4 = -8。 　　当 M 在 A 的左侧 (不合理，因为 MA=4 < 16 说明 M 在 AB 之间)：不存在。 　　∴ M 表示的数是 -8。 （2） a、b 互为倒数 → ab = 1；c、d 互为相反数 → c + d = 0；|m| = 2 → m = ±2。 　　原式 = (-1)2024 + 0 - m ÷ 1 = 1 - m。 　　当 m = 2 时，原式 = 1 - 2 = -1； 　　当 m = -2 时，原式 = 1 - (-2) = 3。 　　∴ 原式的值是 -1 或 3。 5. （3） (-1) ÷ (-) ÷ (-) × (+)（三次变除为乘） 　　负号 3 个 → 负；绝对值 = = = 　　∴ 原式 = - （4） |a| = 3 → a = ±3；|b| = 2 → b = ±2。 　　a ÷ b < 0 → a、b 异号。 　　∴ 情况一：a = 3，b = -2 → a + b = 1； 　　　情况二：a = -3，b = 2 → a + b = -1。 　　∴ a + b 的值是 1 或 -1。 🅒 拓展探究 · 章节预告 挑战题（3 小题） [连除巧算] 计算：(-) ÷ (-) × (-) ÷ (-) × ÷ (-) [定义新运算] 规定 a※b = (a + b) ÷ (a - b)（其中 a ≠ b）。 　　　① 求 3※(-2) 的值； 　　　② 若 (-4)※x = -，求 x 的值。 [章节预告·除法法则的“成年礼”] 　　　完成下面的探究，为 2.2.4 有理数的乘除混合运算 做准备： 　　　① 计算 (-24) ÷ 6 × (-2) 和 (-24) × (-2) ÷ 6，它们的结果相等吗？ 　　　② 计算 12 ÷ (-3) × 4 和 12 × 4 ÷ (-3)，它们的结果相等吗？ 　　　③ 你能得到什么结论？ （1）(-) ÷ (-) × (-) ÷ (-) × ÷ (-) 　　负号 5 个 → 负 　　绝对值 = = = 　　（观察分子分母中出现相同数字，可大量约分） 　　∴ 原式 = -　（能约分先约分，多项连乘更能体现“巧算”的威力） （2）① 3※(-2) = (3 + (-2)) ÷ (3 - (-2)) = 1 ÷ 5 = 　　② (-4)※x = ((-4)+x) ÷ ((-4)-x) = - 　　→ 5(x - 4) = -3(-4 - x)　（交叉相乘） 　　→ 5x - 20 = 12 + 3x 　　→ 2x = 32　→　x = 16 　　验证： (-4+16) ÷ (-4-16) = 12 ÷ (-20) = - ✅ （3）① (-24) ÷ 6 × (-2) = -4 × (-2) = 8；(-24) × (-2) ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8。相等！ 　　② 12 ÷ (-3) × 4 = -4 × 4 = -16；12 × 4 ÷ (-3) = 48 ÷ (-3) = -16。相等！ 　　③ 结论： 乘除混合运算中，可以任意调换乘除的顺序（连同前面的符号一起搬）——因为除法可以变成乘法，本质就是一堆乘法在一起，服从乘法交换律和结合律！ 💡 惊人的启示： 这就是下一节 2.2.4 有理数的乘除混合运算 的核心理念——统一变为乘法，一次性数负号、一次性算绝对值。 💡 拓展作业·章节预告说明： ① (3) 是承前启后的关键题——学生通过 2 组具体计算亲手验证了“乘除可换位”，为 2.2.4 做完美铺垫； ② 讲解时可板书：除法 → 乘法 → 交换/结合律 → 乘除混合——完整的“化归链”让学生感受知识的“连贯之美”； ③ 强调：从此以后，看到乘除混合，先把除号全部换成乘倒数，这就是有理数四则运算的“终极心法”。 九、学习反思 反思项目 关键要点·自我评价 掌握程度 备注 / 想问的问题 ① 除法法则 能背写 a ÷ b = a × （b≠0）；能说出为什么 b≠0 ★★★★★ 　　 ② 符号法则 同号得正、异号得负；0÷非零=0；÷0 无意义 ★★★★★ 　　 ③ 倒数书写 负数倒数带负号；带分数先化假分数；0 无倒数 ★★★★★ 　　 ④ 直接算 vs 转化算 能整除就直算；有分数就换乘 ★★★★★ 　　 ⑤ 分数除法四步走 化假分数 → 变除为乘 → 定符号 → 化最简 ★★★★★ 　　 ⑥ 连除巧算 一次性变乘，一次性数负号、一次性约分 ★★★★★ 　　 　 💭一句话总结（学生自己写）： 这节课我最大的收获是 ___________________________________ 　　　　　　　　　　　我还想问的是 __________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $