精品解析：河北承德市部分高中2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 4. 2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本．从中抽取2个样本，则抽取的样本中，两类样本都有的抽法有（ ） A. 7种 B. 12种 C. 21种 D. 42种 5. 某同学收集了某地区近5年的年降雨量（单位：mm）与年蒸发量（单位：mm）的数据，计算得样本中心点为．若与的经验回归方程为，则的值为（ ） A. 40 B. C. 60 D. 6. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 60 D. 160 7. 2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erd ös数学难题．已知该智能体解答某难度数学题的正确率为，随机变量表示它解答道该难度数学题的正确数．若,，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 10. 实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 函数在区间上有2个极值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象与直线有3个不同的交点 D. 直线与函数的图象相切 11. 现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有（ ） A. 将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法 B. 将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法 C. 将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法 D. 将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人，且选手甲不单独成组，有240种不同的分法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 13. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则区间上满足的所有整数的和为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． （1）求实数，的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求函数在区间上的最大值． 17. 为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下列联表： 护眼灯 预防效果 合计 近视加深 近视未加深 使用 12 88 100 未使用 28 72 100 合计 40 160 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深； （2）从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次获得一等奖的概率； （2）若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为元，求的分布列和数学期望； （3）商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为元，二等奖奖金调整为元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍，求的最大值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，恒成立； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为的解集为， 因此集合， 所以． 因为的解集为 因此集合， 所以． 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． 3. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出复数，再根据共轭复数的定义求的共轭复数. 【详解】因为， 所以． 4. 2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本．从中抽取2个样本，则抽取的样本中，两类样本都有的抽法有（ ） A. 7种 B. 12种 C. 21种 D. 42种 【答案】B 【解析】 【详解】从4个高斯分布样本中抽取1个样本，有4种抽法；从3个均匀分布样本中抽取1个样本，有3种抽法， 由分步乘法计数原理，得符合题意的抽法有种. 5. 某同学收集了某地区近5年的年降雨量（单位：mm）与年蒸发量（单位：mm）的数据，计算得样本中心点为．若与的经验回归方程为，则的值为（ ） A. 40 B. C. 60 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用经验回归直线过样本中心点计算即可得. 【详解】经验回归直线必过样本中心点， 即，解得． 6. 二项式的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 60 D. 160 【答案】C 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为： ，． 令，解得，所以的系数为． 7. 2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erd ös数学难题．已知该智能体解答某难度数学题的正确率为，随机变量表示它解答道该难度数学题的正确数．若,，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，得，则，， 所以，解得．所以． 8. 定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由亲密点定义得，故可得，此时存在唯一成立，则可得的取值范围. 【详解】由题意得，亲密点需同时满足和． 因为，，，所以，． 由题意，得，所以，所以． 代入，得，即，所以． 对于每个，存在唯一的使得和恰好有一个亲密点， 因此实数的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 10. 实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（ ） A. 函数在区间上有2个极值点 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象与直线有3个不同的交点 D. 直线与函数的图象相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导，利用导数确定单调区间、求出的极值可判断A、B；根据方程的实数根的个数可判断C；由，求得在点处的切线为即可判断D. 【详解】因为，，所以． 当或时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在和处取得极值． 对于A，由以上分析，得函数在区间上有2个极值点，故A正确； 对于B，由以上分析，得函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数． 方程可化为，方程只有2个不同的实数根和， 所以函数的图象与直线只有2个交点，故C错误； 对于D，因为，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 所以直线与函数的图象相切，故D正确． 11. 现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有（ ） A. 将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法 B. 将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法 C. 将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法 D. 将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人，且选手甲不单独成组，有240种不同的分法 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A利用排列组合解决平均分组问题；选项B利用分步乘法计数原理可判断；选项C利用分步乘法计数原理可判断；选项D先安排特殊元素，再利用分步乘法计数原理得出所有的不同分法. 【详解】对于选项 A：将6名选手平均分成3个小组，不同的分法有种，故选项A正确； 对于选项B：先为第一项培训选人，从6人中选2人，有种选法；再为第二项培训选人，从剩下的4人中选2人，有种选法；最后为第三项培训选人，从剩下的2人中选2人，有种选法．由分步乘法计数原理，得不同的分法有种，故选项B正确； 对于选项C：将6名选手分成人数分别为1，2，3的3组，不同的分法有种，故选项C正确； 对于选项D：因为选手甲不单独成组，所以选手甲在2人组或3人组. 先安排1人组，有种选法，再安排2人组和3人组，有种选法，不同的分法有种； 将3组人分配到三项不同的培训，有种不同的分配方法．故符合题意的不同分法有种，故选项D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取对数，非线性关系转化为线性关系，与已知对照求出得解. 【详解】据题意，将取自然对数得， 与给定的经验回归方程对比，得，，所以． 因此原回归方程为． 当时，． 13. 若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． 14. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则区间上满足的所有整数的和为______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据函数性质，求解出函数周期，通过给定的函数表达式，得出自变量取不同值时，函数值对应的取值情况，逐一验证即可. 【详解】因为函数是奇函数且满足，所以， 故，因此函数的周期为4． 当时，，所以，， 所以，． 所以 对于区间上的整数，逐一计算，并判断是否满足． 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足． 综上，满足条件的整数为，0，1，3，4，其和为7． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． （1）求实数，的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【小问1详解】 由题意得，解得，． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 【小问3详解】 因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 16. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若，求函数在区间上的最大值． 【答案】（1）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，最大值为；当时，最大值为2 【解析】 【分析】（1）求导后，分、及进行讨论即可得； （2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得. 【小问1详解】 因为，所以， 令，解得或， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，所以当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为； 当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为和中的较大者， 因为，， 解，得，解，得， 所以当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为； 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为2． 17. 为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下列联表： 护眼灯 预防效果 合计 近视加深 近视未加深 使用 12 88 100 未使用 28 72 100 合计 40 160 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深； （2）从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）使用该新型护眼灯会预防近视加深 （2） 【解析】 【小问1详解】 零假设为：使用该新型护眼灯与预防近视加深无关联． 由列联表中的数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即使用该新型护眼灯会预防近视加深，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【小问2详解】 使用护眼灯的100名学生中，近视加深的有12人，近视未加深的有88人． 按比例分配的分层随机抽样抽取10人，抽取比例为， 故抽取的近视加深的人数为，根据实际四舍五入取整数1，近视未加深的人数为9． 从这10人中随机抽取3人，记这3人中近视加深的人数为，则的可能取值为0和1． 因为， 事件：抽取的3人中至少有1人近视加深即事件，所以所求概率为． 18. 某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次获得一等奖的概率； （2）若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为元，求的分布列和数学期望； （3）商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为元，二等奖奖金调整为元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）的分布列如下表． 0 50 100 150 200 250 300 （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合数计算获一等奖包含的基本事件数，再除以总的基本事件数即可求得结果； （2）先写出单人奖金的分布列，求单人奖金的期望，再分析三个人奖金总额的所有取值，用分类讨论结合组合数计算每种取值的概率，即可求得分布列，进而计算期望； （3）先列出奖金期望的不等式约束，再结合的条件即可求得的最大值. 【小问1详解】 盒子中共有5个球，3红2白，不放回地依次抽取2个球． 由活动规则知，抽奖1次，获得一等奖即抽到2个红球，其概率． 【小问2详解】 由（1）知，抽奖1次获得一等奖的概率为． 由活动规则知，抽奖1次，获得二等奖即抽到1个红球1个白球，其概率． 不获奖即抽到2个白球，其概率． 则每名顾客抽奖1次获得的奖金金额元的分布列如下表． 0 50 100 所以的数学期望． 由题意知，3名顾客抽奖相互独立．设3名顾客获得的奖金分别为，，， 则由题意得，总奖金， 则的可能取值为0，50，100，150，200，250，300． 当，即3名顾客获得的奖金均为0元，所以． 当，即3名顾客中，1人获得的奖金为50元，其余2人获得的奖金均为0元， 所以. 当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为0元或2人获得的奖金为50元，其余1人获得的奖金为0元， 所以． 当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，1人获得的奖金为50元，1人获得的奖金为0元或3人获得的奖金均为50元， 所以． 当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为50元或2人获得的奖金均为100元，其余1人获得的奖金为0元， 所以． 当，即3名顾客中，2人获得的奖金均为100元，其余1人获得的奖金为50元，所以. 当，即3名顾客获得的奖金均为100元， 所以． 所以的分布列如下表． 0 50 100 150 200 250 300 所以的数学期望（或）． 【小问3详解】 由题意及（2），得调整后，顾客抽奖1次获得的奖金期望为． 由题意，得，，，， 化简，得，，，．所以的最大值为． 当时，令，则．解，得． 取，则，，满足，均为正数，故的最大值为． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，恒成立； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明：要证，即证．令，， 依题意，只需证当时，恒成立． 方法一：因为，，解，得， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减． 所以函数在处取得极大值，也是最大值． 只需证函数的最大值． ， 因为，所以．因为，所以． 所以恒成立，所以当时，恒成立． 方法二：设，，则． 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，，函数在上单调递减． 所以当时，，即，当且仅当时，等号成立． 因为当时，，所以． 所以当时，恒成立． （3）证明：由（2）知，对任意，． 取，得． 分别取，个不等式两边分别求和，得 ． 化简，得． 即． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，求切点处的切线方程； （2）问题转化为证明当时，，方法一，利用导数求的最大值；方法二，证明时，，又，可证； （3）利用（2）中的结论，结合数列的求和公式证明. 【小问1详解】 因为，，所以，，所以． 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $