精品解析：北京市石景山区2025-2026学年第二学期期末统一检测高二数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末统一检测 高二数学试卷 2026.7 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，则的公差可以为（ ） A. B. C. 4 D. 3 7. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数满足，则__________. 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________. 13. 已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为__________. 14. 已知函数，若的最小正周期为，则__________；若存在，使得，则的最小值为__________. 15. 已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，. 其中正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 函数的最小正周期为． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 17. 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. （1）证明：平面； （2）已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表： 水稻 小麦 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 华东 地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5 浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4 安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7 福建省 601.1 394.6 0.1 0.0 江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5 山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8 东北 地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7 黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5 （1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率； （2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望； （3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表： 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60 东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65 华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60 记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 20. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； （3）若存在极值点，且，求的值． 21. 已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质； ①； ②. （2）若数列中有，证明：数列不具有性质； （3）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末统一检测 高二数学试卷 2026.7 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，求解集合中关于的不等式，然后求解的并集. 【详解】对于集合，，化简得，所以. 所以集合. 对于集合，，根据指数函数的性质可得. 所以集合. 所以. 故选：A. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 3. 已知函数，则对任意实数x，有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出分段函数，作出图象，由图象得出对称性判断AB，取特殊值判断CD. 【详解】因为， 作出函数图象，如图， 由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确； 图象不关于点对称，故B错误； 当时，，故C错误； 令，则，故D错误. 故选：A 4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数的图象如图所示.已知不相等，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，由，结合函数的单调性可得，可判断A；结合A，以及BCD的条件逐项计算判断即可. 【详解】因为，所以， 因为图象是上凹函数，所以，即故A正确； 由A知，使，则，即， 由，则，，故无法判断，的大小关系，故B错误； 由A知，使，可得，结合，可得， 由的单调递减可得，故，故C错误； 由A知，存在，使，可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误. 故选：A. 5. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大于零的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，利用诱导公式和倍角公式得到AB错误，C正确，举出反例得到D错误. 【详解】由题意得， A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，若，此时，D错误. 故选：C 6. 已知是各项均为正整数的无穷等差数列，其中的三项为，则的公差可以为（ ） A. B. C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得只能是常数数列或单调递增数列，结合中的三项为，可求得公差的可能值. 【详解】因为是各项均为正整数的无穷等差数列，所以只能是常数数列或单调递增数列， 若中的三项为，则它们在数列中的位置只能是排在前，排在后， 由，，由同时是公差的倍数， 所以公差可以为. 故选：C. 7. 已知函数，曲线在点处的切线方程为，设函数，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得曲线的切线方程，根据题意，得到，求得，求得函数的单调性与最值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得，可得， 所以曲线在点处的切线方程为：， 又由， 因为，其中， 若时，，其中， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以，所以， 又由，且，即不恒成立， 所以C正确，A不正确； 若时，，其中， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，所以不恒成立， 又由，，此时，所以不恒成立， 所以B、D均不正确. 故选：C. 8. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据、分别有、，结合基本不等式有，再根据推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有， 由，则，可得， 又，根据基本不等式有， 若且，则有，即是的充分条件， 若，则，此时满足，但不成立， 所以是的非必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9. 金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图，计算所需线段长度，即可得解. 【详解】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图， O是顶点A在下底面的射影，E是正四面体外接球的球心，AO是正四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，是球的半径， 则，解得， 在中，， 在中，， 即，即， 解得， 所以， 由于到正四面体各面的距离相等，则E到平面的距离为. 故选：C 10. 已知集合，，如果有且只有两个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析出曲线表示的是双曲线在轴上及上方的所有点，再分情况讨论当取不同值时，表示的不同曲线，及与曲线的交点个数情况即可得到结果. 【详解】因为有且只有两个元素， 所以曲线与有且只有两个交点. 对于曲线变形可得， 表示的是双曲线在轴上及上方的所有点， 对于曲线， （1）当时，如图所示，表示的是一条直线， 与交于，两点，符合题意； （2）当时，，与至多有一个交点，不符合题意； （3）当时，表示的是两条射线， ， ①当时， 表示的是 和两条射线， 与仅有一个交点， 如下图所示，所以不符合题意； ②当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的左右两支各有一个交点， 如下图所示，所以符合题意； ③当时，与轴的交点为，， 且的斜率，的斜率， 而双曲线的两条渐近线为，斜率分别为和， 所以与的右支没有交点，与左支有两个交点， 如下图所示，所以符合题意； 综上，实数的取值范围为. 故选：D 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用复数除法的几何意义及模长求法求结果. 【详解】由题设，则. 故答案为： 12. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据网格写出向量的模，再平移向量求出与的夹角的余弦值，应用向量的数量积公式求解即可. 【详解】平移向量与共起点，易看出的夹角为， ； ，， ， 的夹角的余弦值，的夹角为， . 故答案为：；. 13. 已知抛物线的焦点为，点为上任意一点，且总有，则的一个值可以为__________. 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据抛物线性质有，结合已知得，即可得. 【详解】由抛物线的性质知，又，即. 所以的一个值可以为2. 故答案为：2（答案不唯一） 14. 已知函数，若的最小正周期为，则__________；若存在，使得，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求，由题意可得为函数的最大值或最小值，由题意可得或，可求的最小值. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得， 因为，又， 所以为函数的最大值或最小值， 要使最小，则最大值与最小值应在同一个周期内， 由，则， 则或，解得， 所以的最小值为. 故答案为：①；②. 15. 已知数列满足，且.给出下列四个结论： ①若，当时，； ②若，当时，； ③若，对任意正数，存在正整数，当时，； ④若，对任意负数，存在正整数，当时，. 其中正确结论的序号是__________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据构造新数列是首相为，公比为的等比数列，得出，再构造新数列是首相为，公比为的等比数列，从而求出数列的通项公式；对于①，利用作差法即可判断；对于②，取即可判断错误；对于③，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可；对于④，求解不等式，利用放缩法找到正整数即可. 【详解】因为且，所以， 所以是首相为，公比为的等比数列，所以， 即，所以，又， 所以是首相为，公比为的等比数列，所以， 即， 对于①，若，当时， ， 当且为奇数时，； 当且为偶数数时，； 综上，即，故①正确； 对于②，若，取，则，故②错误； 对于③，若，则， 对任意正数，由得， 所以，又， 当时上式一定成立，即， 故存在正整数，当时，，故③正确； 对于④，若，则， 对任意负数，由得， 所以，又， 当时成立，即， 故存在正整数，当时，，故④正确； 故答案为：①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 函数的最小正周期为． （1）若，求的值； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间． 条件①：的最大值为；条件②：的图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点． 【答案】（1） （2）选择①②③中的任意两个条件，，单调递增区间 【解析】 【分析】（1）根据最小正周期求出，根据求出； （2）根据条件求出即可求出的解析式，结合两角和的正弦公式和辅助角公式化简，借助于三角函数性质即可求出单调递增区间. 【小问1详解】 因为的最小正周期，所以， 因为，故， 又，且，所以． 【小问2详解】 选条件①②： 因为的最大值为2，所以， 又因的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以， 故， 此时， ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件①③： 因为的最大值为2，所以， 因为函数的图象经过点，则，即， 因为，所以，故，即， 所以， 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 选条件②③： 因为的图象关于点中心对称， 所以，即， 因为，所以，所以， 因为函数的图象经过点，所以． 解得，故. 所以 ， 令，得， 所以的单调递增区间为． 17. 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. （1）证明：平面； （2）已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） 由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，，应用线面平行的判定证明平面，平面，再由面面平行的判定及性质证明结论； （2）根据已知证明，，，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距，列方程求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则，， 选条件①：，都在平面内，则平面， 平面，则； 选条件②：由，，， 则，又，故， 所以，则， 综上，，，， 以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系， 所以，令，则， 故，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则， 由题设，可得， 所以. 18. 据国家相关部门统计，2023年华东地区、东北地区主要省份的水稻、小麦的播种面积和产量数据见下表： 水稻 小麦 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 播种面积（千公顷） 产量（万吨） 华东 地区 江苏省 2221.0 2003.2 2389.5 1373.5 浙江省 649.0 485.3 152.6 66.4 安徽省 2500.7 1609.8 2862.7 1740.7 福建省 601.1 394.6 0.1 0.0 江西省 3383.9 2070.7 11.3 3.5 山东省 101.0 86.1 4008.9 2673.8 东北 地区 辽宁省 500.5 412.9 2.0 0.8 吉林省 828.8 682.1 5.0 1.7 黑龙江省 3268.5 2110.0 19.3 7.5 （1）从表1中的华东地区随机抽取1个省份，求该省水稻产量比小麦产量少的概率； （2）从表1的9个省份中随机抽取2个，设为水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数.求的分布列与数学期望； （3）2023年华东地区、东北地区和华北地区主要粮食作物的播种面积及其采用新技术的播种面积占该作物总播种面积的比值（简称新技术占比率）数据见下表： 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 粮食 作物 播种面积 （千公顷） 新技术 占比率 华东地区 水稻 9456.7 0.70 小麦 9425.1 0.60 东北地区 水稻 4597.8 0.55 玉米 13800.0 0.65 华北地区. 小麦 3184.5 0.65 玉米 9564.7 0.60 记华东地区和东北地区水稻播种总面积的新技术占比率、华东地区和华北地区小麦播种总面积的新技术占比率、东北地区和华北地区玉米播种总面积的新技术占比率分别为.依据表2中的数据比较的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）分布列如下： 0 1 2 ； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用古典概型的概率求法求华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率； （2）由题意可能值为，应用超几何分布的概率求法求概率，即得分布列，进而求期望； （3）根据表格分别求出各地区作物新技术占比率，比较大小即可. 【小问1详解】 由表格，华东地区6省中只有安徽省、山东省的水稻产量比小麦产量少， 所以华东地区随机抽取1个省份，水稻产量比小麦产量少的概率； 【小问2详解】 由表格，水稻播种面积最大的5个省依次为江西、黑龙江、安徽、江苏、吉林， 其中华东地区有3个，东北地区有2个，若9个省份中随机抽取2个， 水稻播种面积排在前5名且属于东北地区省份的个数可能值为， ，，， 分布列如下： 0 1 2 所以； 【小问3详解】 由表格知，，， 所以. 19. 已知椭圆的焦距为2，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的几何性质易得结果； （2）联立直线和椭圆方程，由及可得，设，由韦达定理得，由倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而直线和的斜率和满足，代入的值，化简可得k的值. 【小问1详解】 由题意得解得 所以椭圆E的方程为． 【小问2详解】 由得． 由得． 又，所以． 设，则． 不妨设点A在点B的上方， 因为，又， 此时，直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为，所以． 由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则． 因为， 所以，即． 由得． 所以．整理得， 又，所以. 20. 已知函数． （1）若，求函数在区间上的最大值； （2）若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围； （3）若存在极值点，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断在的单调性进而求最大值即可； （2）求导，结合导数的几何意义按的不同取值范围分类讨论求解即可； （3）由极值点的概念可得，消去得（*），令，利用导数可得，当且仅当时取等号，又（*）等价于，解得，代入求出的值即可. 【小问1详解】 若，则，， 当时，，所以在单调递减， 所以当时，取得最大值. 【小问2详解】 的定义域为， 当时，易知在区间上单调递减，符合题意； 当时，，设， 则，当时，，所以在区间上单调递减， ①若，即时，当时，，即， 此时在区间上单调递增，不符合题意； ②若，即时，， 所以存在唯一的使得， 当时，，即， 此时在区间上单调递减，符合题意； 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可得即， 所以，即（*）， 设函数， ， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 所以当时，取得最大值， 又，所以，当且仅当时取等号， 又（*）等价于，所以， 所以． 经检验，当时，存在极大值点且，符合题意， 所以． 21. 已知有限数列满足.对于给定的，若中存在项满足，则称有项递增子列；若中存在项满足，则称有项递减子列.当既有项递增子列又有项递减子列时，称具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质； ①； ②. （2）若数列中有，证明：数列不具有性质； （3）当数列具有性质时，若中任意连续的项中都包含项递增子列，求的最大值. 【答案】（1）数列①具有性质，数列②不具有性质 （2） 假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列， 因为，所以为，为， 所以对任意的，在中至少存在一项， 因为中有项，所以存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有， 因为递增，递减， 所以，数列中排在前面的项至少有，共项， 排在后面的项至少有，共项， 因为数列中有项，所以是第项，即. 这与题设矛盾，所以假设不成立，即数列不具有性质. （3） 【解析】 【分析】（1）根据性质判断即可； （2）利用反证法，假设数列具有性质，则数列中存在项递增的数列和项递减数列，分析可知，存在在中恰出现一次，不妨记为， 记，则必有，再根据数列递增，递减，推导出，推出矛盾，从而说明结论成立； （3）由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项，记，所以，，对数列项数最多的子列进行分析，可知递增子列的项数最多为，所以，，然后对为奇数和偶数进行分类讨论，求出的最大值，并通过构造数列确定的最大值能取到，由此可得出结果. 【小问1详解】 数列①：具有性质；数列②：不具有性质.理由如下： 对数列①，记该数列为， 该数列有项递增子列：， 该数列有项递减子列：，故数列①具有性质； 对于数列②，记该数列为， 该数列有项递增子列：，该数列没有项递减子列， 故数列②不具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当数列具有性质时， 记数列的项递增子列为为和项递减子列为， 由（2）知，数列中恰有一项既是的项，也是的项， 记，所以，， 所以数列的前项由组成， 因为， 所以项数最多的递增子列只能是或， 所以递增子列的项数最多为， 数列的后项由组成， 所以项数最多的递增子列是或， 所以递增子列的项数最多为，所以，， 因为，所以 当为奇数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列； 当为偶数，时，有最大值，所以， 构造数列， 该数列具有性质，且满足任意连续的项中，都包含项的递增子列， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $