第06讲有理数的乘方 -（暑期衔接讲义）2026--2027学年北师大版七年级数学上册

第06讲有理数的乘方（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 有理数乘方逆运算 典型例题四 乘方运算的符号规律 典型例题五 乘方的应用 典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题七 将用科学记数法表示的数变回原数 知识点一：有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 【详解】解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）根据有理数乘方的相关知识，在横线上作答． 左侧横线应填：__________，下方横线应填：_______，右侧横线应填________． 【答案】 幂 底数 指数 【分析】本题考查有理数乘方的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．乘方是求n个相同因数a的积的运算，其中a叫底数，n叫指数，运算结果叫幂． 【详解】解：乘方是求n个相同因数a的积的运算，其中a叫底数，n叫指数，运算结果叫幂． 故答案为：幂，底数，指数． 知识点二：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 内蒙古通辽·暑期衔接）哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把万表示为的形式，其中，为整数进行解答，即可． 【详解】解：万． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）的整数位数有 _____位． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，n为整数．将还原成原数即可解答． 【详解】解：， 即的整数位数有5位． 故答案为：5． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘方运算，理解乘方的意义是解题的关键；根据分子是幂运算（x个6相乘），分母是乘法运算（y个7相加），直接计算即可． 【详解】∵ 分子是x个6相乘， ∴ 分子； ∵ 分母是y个7相加， ∴ 分母； ∴ 原式； 故选：D． 2．（25-26七年级上·云南玉溪·阶段测试）_______________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的意义以及乘法的意义，根据幂的意义以及乘法的意义分别列式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘法和乘方，根据有理数的乘法和乘方的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、可表示两个5相加，正确，故不符合题意； B、可表示五个2相加，正确，故不符合题意； C、可表示五个2相乘，原说法不正确，故符合题意； D、可表示五个2相乘，正确，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘方，表示个相乘，展开就是，一共有个相乘，所以，根据乘法法则计算即可． 【详解】解：. 故选：D. 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）根据乘方的定义，______． 【答案】 【分析】本题考查了乘方的定义，理解乘方的含义是解题的关键；根据乘方的定义求解即可． 【详解】解：根据乘方的定义，， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （2）根据有理数的乘方的意义，有理数的乘法运算进行计算即可求解； （3）根据（1）（2）得出结论，即可求解． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． （3） 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数乘方的意义，熟练掌握幂的概念是解题的关键． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）下列各式：①；②；③；④，其运算结果小于的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分别计算各表达式的值，并与比较大小即可． 【详解】解：① ∵，∴A不符合； ② ∵，∴B不符合； ③ ∵，∴C不符合； ④ ∵，∴D符合； 故运算结果小于的是④； 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段测试）计算：________． 【答案】 【分析】按照乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）下面是小明同学完成的一次家庭作业，每小题20分，他的最终得分是（    ） ①0既不是正数，也不是负数（√）； ②绝对值等于它本身的数是1（√）； ③的倒数是0.5（√）； ④与互为相反数（√）； ⑤的相反数是（√）． A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，绝对值的性质，倒数，有理数的乘方运算，相反数，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：①0既不是正数，也不是负数，正确； ②绝对值等于它本身的数是非负数；原说法错误； ③的倒数是；原说法错误； ④与互为相反数；正确； ⑤的相反数是；正确； 故小明答对了3道题，（分）； 故选C． 2．（25-26七年级上·山东日照·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘方，根据有理数乘方法则即可求解，掌握有理数乘方法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的空格内： 整数 分数 正数 负数 非负 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类、乘方及化简绝对值，熟练掌握有理数的定义是解题关键．先化简含乘方、绝对值的数，再依据有理数的分类标准，将各数分别归入对应的类别即可得答案． 【详解】解：，， ∴填表如下： 整数 分数 正数 ①，⑥ ③ 负数 ⑦，⑧ ②，④ 非负 ①，⑤，⑥ ③ 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（26-27七年级上·江苏·暑期衔接），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 2．（25-26七年级上·福建宁德·阶段测试）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 【答案】（或或或） 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是找出满足乘方结果为16的有理数底数与指数组合． 根据乘方的定义，寻找有理数和整数，使得，写出其中一组即可． 【详解】解：因为， 所以该乘方运算可以是（或、等，任选其一即可）． 故答案为：（或或或）． 1．（2024七年级上·全国）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方运算求出x、y即可解答． 【详解】解：∵x、y、z是三个连续的正整数， ∴y=x+1， ∵x2＝44944=2122， ∴x=212， ∴y=213， ∴y2=2132=45 369， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算是解答的关键． 2．（2026·七年级上 重庆·暑期衔接）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，， ，即最小的数是． 3．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）的次幂是______，是______的平方数． 【答案】 16 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，乘方运算的逆运算，根据运算法则可得答案． 【详解】解：， 是的平方数， 故答案为：， 4．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【答案】(1)3，2，1 (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，对于（1），先根据，可得，即可求出n，a； 对于（2），将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏·单元复习）______． 【答案】 【分析】本题考查了指数幂的运算，解决本题的关键是正确计算正负号． 根据指数运算法则和有理数乘法法则，分别计算各部分的符号和指数，再合并相乘． 【详解】解：． 故答案为：． 1．（26-27七年级上·江苏·暑假作业）在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含有乘方的有理数的运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 2．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若|a+2|与的和为零，则（    ） A．a＝﹣2，b＝3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．条件不足，无法确定a，b的值 【答案】A 【分析】根据绝对值、偶次方的非负性和非负数的性质列出方程，计算即可． 【详解】解：因为|a+2|与的和为零，即|a+2|+＝0， 所以a+2＝0，﹣3+b＝0， 解得a＝﹣2，b＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查的是非负数的性质和偶次方、绝对值的非负性，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键． 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）______ 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【答案】（1）；（2）0 【分析】（1）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，然后求解即可； （2）根据有理数乘方的性质，判断出为偶数，为奇数，然后求解即可； 【详解】解：，则为偶数，为奇数 （1）， （2），， 【点睛】此题考查了有理数乘方的有关性质，解题的关键是根据题意判定出为偶数，为奇数． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 细菌每隔分钟分裂一次，每次分裂数量翻倍．3小时共分钟，计算分裂次数，再求2的幂次． 【详解】解：∵3小时分钟， 分裂间隔为分钟， ∴分裂次数次． ∵开始时细菌数量为1，每次分裂数量翻倍， ∴经过9次分裂后，细菌数量为． 故选：C． 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）某理财产品年利率，逐年计息，小华将10万元购买此理财产品，2年后按复利法比按单利法可多取回___________万元． 【答案】0.1/ 【分析】本题考查了单利和复利，熟知它们的计算方式是解题的关键．计算单利和复利下的总金额差值即可． 【详解】解：按单利法，总金额为万元； 按复利法，总金额为万元；差值为万元． 故答案为：． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）在物理实验中，一个正方体金属块的体积为，现有以下不同边长的正方体盒子，仅从体积能否容纳的角度考虑，能容纳这个金属块的正方体盒子的最小边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的应用，先分别计算边长为、、、的正方体盒子的体积，再与正方体金属块的体积进行比较，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴能容纳这个金属块的正方体盒子的最小边长为， 故选：B． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 【答案】C 【分析】本题主要考查了乘方的应用，掌握有理数的乘方运算是解题的关键．根据题意，将这张纸对折1次，其厚度是原来的2倍，即倍；对折2次，其厚度是原来的4倍，即倍；对折3次，其厚度是原来的8 倍，即倍，…，对折n次，厚度是倍．据此求解即可． 【详解】解：， 假设这张纸的厚度是毫米， （毫米）（千米）， 这个厚度大大超过穆朗玛峰高度（千米）． 故选：C． 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草，___________小时覆满池塘． 【答案】23 【分析】本题主要考查了用代数式表示，乘方的应用， 水草每小时数量翻倍，一棵水草24小时后覆满池塘，即池塘容量为棵，放殖2棵水草时，设t小时后覆满池塘，则数量为棵，令其等于，求解t． 【详解】解：由题意，水草繁殖速度为每小时数量变为原来的2倍，一棵水草24小时后数量为棵，此为池塘容量，放养2棵水草，初始数量为2棵，t小时后数量为棵， 设， 则， 解得． 故答案为：23． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）《庄子天下》中有这样的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”那么，天之后，这个“一尺之棰”还剩多少？一个月（天）之后呢（用算式表示即可）？ 【答案】天之后，这个“一尺之棰”还剩，一个月天之后还剩 【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 第一次剩下，第二次剩下，第三次剩下，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意可得：第一次剩下尺，第二次剩下（尺），第三次剩下（尺）， 则第天后“一尺之棰”剩余的长度为尺， 所以天之后，这个“一尺之棰”还剩尺，一个月天之后还剩尺． 【典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（25-26七年级上·河北·阶段测试）2023国考总报名人数已突破250万，相比去年增长了50万人，下列关于250万的说法不正确的是（    ） A．250万 B．250万是一个六位数 C．250万是一个七位数 D．250万写成2500……，则0的个数为5 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，数字常识，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 250万是一个七位数，0的个数为5， 故选项正确，B不正确， 故选：B． 2．（2026·七年级上 江苏苏州·暑期衔接）根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 【答案】 【分析】当原数的绝对值大于等于10时，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的定义，确定参数a和n的值即可． 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）2022年6月13日，由四川省文物考古研究院和三星堆研究院、三星堆博物馆联合主办的“考古中国”重要项目——三星堆遗址考古发掘阶段性成果新闻通气会在三星堆博物馆举行，会上发布三星堆遗址祭祀区考古工作阶段性重大成果：6座坑共计出土编号文物近13000件．将数据13000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：用科学记数法表示13000，应记作1.3×104． 故选：C． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（25-26七年级上·河南鹤壁·阶段检测）作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的表示，解题思路为先将“亿”化为整数形式，再根据科学记数法的要求确定和的值，科学记数法的形式为，其中，为整数. 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故选：A． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·阶段测试）据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 【答案】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数是解题的关键．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．根据科学记数法的表示方法，确定a和n的值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【答案】（1）7.2×102g；（2）5×105倍． 【详解】试题分析: （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果.（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 试题解析:（1）8000000×0.00009=7.2×102 (g)    （2）45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍. 【典型例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（26-27七年级上·全国·暑假作业）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 【详解】解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 2．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 【答案】703000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数转换为原数． 将科学记数法表示的数转换为原数，需将系数乘以10的幂次，即根据指数正负移动小数点位置． 【详解】解：指数5为正数，因此将系数的小数点向右移动5位，得到703000． 故答案为：703000． 1．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原为原数，根据科学记数法定义，将还原时，只需把的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】中， 将的小数点向右移动位，得到原数为，故选B． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·上海·寒假作业）用科学记数法表示的数有______个整数位． 【答案】7 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法表示的数的整数位数比指数多1，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示的数的原数的整数位数是位． 故答案为：7． 4．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）（教材变式）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)________． (2)________． (3)________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了写出用科学记数法表示的原数，掌握有理数乘法的计算方法是解题关键. 【详解】（1）解：. （2）. （3）. 1．（2025七年级上·北京·专题练习）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘方，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再据此逐个判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 综上，①不成立，②和③成立， 故选：D． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则当时，的值为（    ） A．8000 B．1000 C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方的逆运算以及已知条件求出的值，然后利用乘法运算法则求出的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘法运算、乘方的逆运算以及代数式求值，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 4．（25-26七年级上·河北保定·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 5．（25-26七年级上·北京·课后作业）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据实际情况分析可知，折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的倍，折三次厚度变成这张纸的倍，折次厚度变成这张纸的倍，由此列出不等式计算即可． 【详解】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍， 折两次厚度变成这张纸的倍， 折三次厚度变成这张纸的倍， 折次厚度变成这张纸的倍， ， ， ， 故n的最小值为7， 故选C． 【点睛】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积． 6．（2026·七年级上 广东东莞·暑期衔接）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将亿化为普通整数，再按规则改写即可得到结果． 【详解】解：∵亿， ∴将其改写为符合要求的科学记数法，可得． 7．（26-27七年级上·全国·暑假作业）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 10．（26-27七年级上·江苏·暑期衔接）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段测试）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 【答案】3 【分析】本题考查了新定义运算． 根据题目给出的新定义计算即可． 【详解】解：根据新定义，若，则． ∵， ∴， 即． 故答案为：3． 12．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）算一算：_____，____，_____，______； 【答案】 【详解】解：，，，． 13．（26-27七年级上·全国·暑假作业）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．根据每日截取木棒的一半，每次截取后剩下的长度是前一次的一半，进而求出第5次截取后剩下的长度． 【详解】解：（尺）， 即第5次截取后剩下的木棒长度为尺， 15．（25-26七年级上·河北保定·阶段测试）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 16．（26-27七年级上·全国·暑假作业）已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． (3)把这些有理数用“”号连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较． （1）根据乘方的定义作答即可； （2）先去括号，计算绝对值和乘方，再在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴判断即可． 【详解】（1）中，底数是，指数是， 故答案为：，； （2）， 在数轴上表示如下： （3）由数轴可知 17．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 18．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种放射性物质，每经过一年，它的剩余量变为原来的．假设这种物质现在的总量为1． (1)请填写下表： 经过时间/年 1 2 3 4 5 … n … 剩余量 … … (2)几年后这种物质的剩余量约为现在的一半？ 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的乘方： （1）根据有理数的乘法计算即可； （2）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：经过1年，剩余量为； 经过2年，剩余量为； 经过3年，剩余量为； 经过4年，剩余量为； 经过5年，剩余量为； ……， 经过n年，剩余量为； 填写表格，如下： 经过时间/年 1 2 3 4 5 … n … 剩余量 … … （2）解：根据题意得：， ∵；；；；； 此时， 即4年后这种物质的剩余量约为现在的一半． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】(1)720000 (2)6300 (3)150000000 (4) 【分析】（1）将的小数点向右移动5位即可； （2）将的小数点向右移动3位即可； （3）将的小数点向右移动8位即可； （4）将的小数点向右移动14位即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了将用科学记数法表示的数化为原数，解题的关键是掌握用科学记数法表示的数的形式，其中，n为整数，小数点向右移动的位数等于n的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲有理数的乘方（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数幂的概念理解 典型例题二 有理数的乘方运算 典型例题三 有理数乘方逆运算 典型例题四 乘方运算的符号规律 典型例题五 乘方的应用 典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题七 将用科学记数法表示的数变回原数 知识点一：有理数的乘方 1. 一般地，n个相同的乘数ɑ相乘，即，记作．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂． 2. 中，a叫作底数，n叫作指数，读作a的n次方（或a的n次幂）． 幂 底数 指数 3. 乘方运算的结果及符号的规律 【即时训练】 1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）根据有理数乘方的相关知识，在横线上作答． 左侧横线应填：__________，下方横线应填：_______，右侧横线应填________． 知识点二：科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫作科学记数法．对于小于10的数也可以类似表示．例如． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 内蒙古通辽·暑期衔接）哈啰出行是一家致力于为用户提供自由出行工具的共享单车公司，年月开始陆续在包头地区进行投放，让包头市民都能便捷出行．《上半年中国共享单车行业监测报告》显示，哈啰单车月活跃用户规模最高达到万人，将数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）的整数位数有 _____位． 【典型例题一 有理数幂的概念理解】 1．（25-26七年级上·河北唐山·期中）计算：（分子是个6相乘，分母是个7相加），则计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南玉溪·阶段测试）_______________． 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列说法不正确的是（   ） A．可表示两个5相加 B．可表示五个2相加 C．可表示两个5相乘 D．可表示五个2相乘 2．（25-26七年级上·全国·单元复习）我们知道相同加数可以写成乘法，如：，这样可以给我们解决问题带来方便．其实相同因数的乘法也可以写成乘方的形式，如，那么根据上述提示计算（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．（24-25七年级上·江苏南京·期中）根据乘方的定义，______． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）仔细观察下列算式：，． (1) ； (2) ； (3) ． 【典型例题二 有理数的乘方运算】 1．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）下列各式：①；②；③；④，其运算结果小于的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段测试）计算：________． 1．（25-26七年级上·江西吉安·期中）下面是小明同学完成的一次家庭作业，每小题20分，他的最终得分是（    ） ①0既不是正数，也不是负数（√）； ②绝对值等于它本身的数是1（√）； ③的倒数是0.5（√）； ④与互为相反数（√）； ⑤的相反数是（√）． A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 2．（25-26七年级上·山东日照·期中）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·阶段检测）计算： ____________． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的空格内： 整数 分数 正数 负数 非负 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 【典型例题三 有理数乘方逆运算】 1．（26-27七年级上·江苏·暑期衔接），由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 2．（25-26七年级上·福建宁德·阶段测试）已知某个有理数乘方的结果是16，则该乘方运算是_____．（写出一个即可，用的形式表示） 1．（2024七年级上·全国）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（    ） A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489 2．（2026·七年级上 重庆·暑期衔接）下列四个数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）的次幂是______，是______的平方数． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数． (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值． 【典型例题四 乘方运算的符号规律】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 2．（25-26七年级上·江苏·单元复习）______． 1．（26-27七年级上·江苏·暑假作业）在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·贵州铜仁·阶段检测）若|a+2|与的和为零，则（    ） A．a＝﹣2，b＝3 B．a＝2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．条件不足，无法确定a，b的值 3．（24-25七年级上·山东聊城·阶段检测）______ 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知m，n是正整数，若．化简： （1）；       （2）． 【典型例题五 乘方的应用】 1．（2025七年级上·浙江·专题练习）某种细菌在适宜条件下每隔分钟分裂一次，假设培养皿中开始时有1个细菌，则经过3小时，细菌数量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海闵行·阶段检测）某理财产品年利率，逐年计息，小华将10万元购买此理财产品，2年后按复利法比按单利法可多取回___________万元． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）在物理实验中，一个正方体金属块的体积为，现有以下不同边长的正方体盒子，仅从体积能否容纳的角度考虑，能容纳这个金属块的正方体盒子的最小边长为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）把一张足够大的报纸对折32次厚度约（    ） A．3米 B．3层楼高 C．比珠穆朗玛峰还高 3．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）有一种水草繁殖速度很快，每过1小时是原来的2倍，即一棵水草1小时后变成2棵，2小时后变成4棵…，如果一池塘放养一棵这样的水草，一昼夜覆满池塘，那么放养2棵水草，___________小时覆满池塘． 4．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）《庄子天下》中有这样的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”那么，天之后，这个“一尺之棰”还剩多少？一个月（天）之后呢（用算式表示即可）？ 【典型例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 1．（25-26七年级上·河北·阶段测试）2023国考总报名人数已突破250万，相比去年增长了50万人，下列关于250万的说法不正确的是（    ） A．250万 B．250万是一个六位数 C．250万是一个七位数 D．250万写成2500……，则0的个数为5 2．（2026·七年级上 江苏苏州·暑期衔接）根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次． 1．（25-26七年级上·四川成都·期中）2022年6月13日，由四川省文物考古研究院和三星堆研究院、三星堆博物馆联合主办的“考古中国”重要项目——三星堆遗址考古发掘阶段性成果新闻通气会在三星堆博物馆举行，会上发布三星堆遗址祭祀区考古工作阶段性重大成果：6座坑共计出土编号文物近13000件．将数据13000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南鹤壁·阶段检测）作为中原粮仓，河南的耕地面积稳定在1.1亿亩以上，居全国第三位，则1.1亿用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·四川攀枝花·阶段测试）据报道今年国庆出游的全国旅客数达到826000000人次，数据826000000用科学记数法可表示为____． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【典型例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 1．（26-27七年级上·全国·暑假作业）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 2．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 1．（2026·七年级上 河南周口·暑期衔接）2026年河南文旅综合收入突破 元， 原数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 3．（25-26七年级上·上海·寒假作业）用科学记数法表示的数有______个整数位． 4．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）（教材变式）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)________． (2)________． (3)________． 1．（2025七年级上·北京·专题练习）定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 2．（2025七年级上·北京·专题练习）若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且，则下列各式成立的是（   ） ①；②；③ A．只有① B．只有② C．①和② D．②和③ 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，则当时，的值为（    ） A．8000 B．1000 C． D． 4．（25-26七年级上·河北保定·期中）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 5．（25-26七年级上·北京·课后作业）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（2026·七年级上 广东东莞·暑期衔接）近期上映的《疯狂动物城》备受观众喜爱，截至年月日《疯狂动物城》票房突破亿，亿可用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·全国·暑假作业）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26七年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27七年级上·江苏·暑期衔接）已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 11．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段测试）定义之间一种运算，记作：如果，那么．则__________． 12．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）算一算：_____，____，_____，______； 13．（26-27七年级上·全国·暑假作业）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 14．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）《庄子》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第5次截取后剩下的木棒长度为_________尺． 15．（25-26七年级上·河北保定·阶段测试）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 16．（26-27七年级上·全国·暑假作业）已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． (3)把这些有理数用“”号连接起来． 17．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）计算题 (1)； (2)． 18．（26-27七年级上·浙江·暑假作业）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种放射性物质，每经过一年，它的剩余量变为原来的．假设这种物质现在的总量为1． (1)请填写下表： 经过时间/年 1 2 3 4 5 … n … 剩余量 … … (2)几年后这种物质的剩余量约为现在的一半？ 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列用科学记数法表示的数的原数： (1)北京故宫的占地面积约为； (2)长城长约千米； (3)太阳和地球的距离大约是千米； (4)全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 学科网（北京）股份有限公司 $