第10讲 有理数的混合运算（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第10讲有理数的混合运算 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1有理数四则混合运算 题型2含乘方的有理数混合运算 题型3有理数混合运算错题复原问题 题型4程序流程图与有理数计算 题型5算“24”点 题型6新定义型有理数混合运算 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左 到右；有括号先算括号内。 混合运算、运算顺序、 2.能正确运用运算律（交换、结合、分配）简化有理数的混合运算。 乘方、乘除、加减、括 3.能准确进行包含加、减、乘、除、乘方及括号的多步混合运算，提高计算 号、运算律、简算。 能力。 4.养成规范书写、认真审题、检验结果的良好运算习惯，培养严谨的数学态 度。 学习重点：有理数混合运算的运算顺序规侧，特别是乘方与乘除、加减的优先级关系。 学习难点：在较复杂的混合运算中正确确定运算顺序，灵活运用运算律简化计算，以及避免符号错误 (特别是负号、括号的处理)。 02 教材全解 知1识1框1架 1/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 先乖方 再乘除 运算顺序 最后加减 先乘方再环除最后加减 解题口诀 先小括号 括号优先符号看清 有括号先算括号内 再中括号 运算顺序颠倒 后大括号 符号处理失误 高频易错点 加法交换律与结合律 乘法分配律漏乘 有理数的混合运算 运算律应用 乘法交换律与结合律 混合运算计算 高频考点 乘法分配律 简便运算应用 同级运算从左到右 先定符号后算绝对值 确定整体符号 运算中的符号处理 减法变加法 负号个数奇偶定符号 多垂符号化简 统一为加法或乘法 混合运算技巧 除法查乘法 同号结合 相反数结合 简便运算略 同分母结合 凌整 知1识|精|讲 知识点01有理数的混合运篁算 (1)先乘方，再乘除，最后加减。 (2)同级运算，从左到右的顺序进行。 (3)如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步 走：先确定符号，再求值。 【易错提醒】 有理数混合运算易错警示：先乘方，再乘除， 最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但 需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 即时即练1.下列计算正确的是() A.(-23=-6 B.3=0 C.)-1 D.-32-(-23=1 2.计算： 024日6到 ②-05*[1-2+(-到 3.下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程. 计算：(-4)2×5-(-2)÷4 2/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 嘉嘉： 琪琪： 解：原式=-16×5-（-8)÷4第一步 解：原式=16×5-(-8)÷4第一步 =-80-(-2)第二步 =80-(-8)÷4第二步 =-80+2第三步 =88÷4第三步 =-78第四步 =22第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程. 03 题型突破 题型1有理数四侧混合运算 【例】计算： (1)20+-5)-(-7 a-25*8 ag》-2 (4(-52-(-3)×6--4 【例2】计算下列各题： (1)-10+-7）-(-18)-11: @5 -1g- of8 【技巧到归纳】 有理数混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减，括号优先”。可先将除法化为乘法，减法化伪加法。运用运 算律简化（交换、结合、分配），注意符号处理，逐步计算避免跳步。检验结果合理性。 【变式1-1】计算： (1)-59--46++34)-(+71: 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 asg5引+号 3p-1+-÷+(-2: 国-2后+》】 【变式1-2】计算 (1)12--18)+(-7-15 ②-P-1+05列×行+(-4到 a行号-网 425×-(251*分+25×4 题型2含乘方的有理数混合运算 【例3】计算： 1)48÷[（-2)°-(-4]： 【例4】计算： (1)18+32÷(-2)°--42）×5 8--g引（4 【技巧归纳】 先算乘方（注意符号），再算乘除，最后加减。括号优洗。将除法转为乘法，带分数化假分数。运用分配律简化， 如公因数提取。小数化分数可避免精度问题。注意底数为负数时加括号，如(-2)4=16。逐步计算。 【变式2-1】计算： a-- (2)-1P-2×[3+-]1。 【变式2-2】计算： 0-+7+2x1-6. 483 4/12 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 o-)】2. 6-×18(}x 题型3有理数混合运算错题复原问题 【例5】阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题. 计算：-12025+4×0.52+6× 11,5 236 解：原式=-1+2+6×】-6×+6×50 1 2■ 3 6 =-1+4+3-2+5② =9③ (1)上述运算过程，从第 步出现错误，错误的原因是 (2)写出正确解答过程 【例6小明与小红两位同学计第4(-2八×司 的过程如下： 小明： 原武=8-61（日）第一岁） ( (第二步) =-(第三步) 6 小红： 原式=16-8到× (第一步) 16- 第二步) =16+1(第三步) =16(第四步) (①)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第步，小红错误的步骤是第步. (2)写出正确的解答过程. 【技巧归纳】 从错误答案倒推运算过程，对比正解，常见错误：符号漏变、乘除顺序颠倒、乘方漏括号、分配律使用不当。先 5/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定位错误步骤（可分段计算），再修正。建议重算一遍，重点检查负号及指数运算。 【变式3-1】在学习《有理数》时，陈老师布置同学们计算课本第51页第5(13)题：（-2)×5-(-23÷4， 下面是小凯和小丽的计算过程： 小凯： 小丽： 解：原式 解：原式 第一步 =-4×5--8÷4 第二步 =4×5--8)÷4 =-20-(-2 第三步 =20+8÷4 =-20+2 =28÷4 第四步 =-18 =7 ()请你指出这两个人的错误各自在第几步：小凯错误在第 步，小丽的错误在第 步； (2)请你写出正确的解答过程， 【变式3-2】下面是甲、乙两位同学计算：-1-(1-0.4)××2-3)的错误解法 2 甲同学 乙同学 r-1-04利×写2-)=1-06x兮2-6 --1-04到×写x2-3到=1-0.6x写x2-9叭 错误解法 =-1-0.2×(-4) =1-0.2×-7) =-1+0.8 =1--1.4 =-0.2 =2.4 错误原因 正确解法 (1)请你分别圈出他们俩第，步出错的地方，并指出错误原因： (2)写出正确解法， 题型4程序流程图与有理数计算 【例7】有一数值转换器，原理如图所示.若开始输入的值为-1，则最后输出的结果是 ×4(-1)≤(-5 yes 输入 输出7 no 【例8】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为-2时，则输出的值为 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 输入x2 (-2→+3 输出是 【技巧到归纳】 按流程图顺序计算，入口处代入数值，依次执行运算框（加减乘除乘方）和判断框（是否满足条件）。遇到分支 按结果选择路径。注意循环结构需累加或迭代，可列表记录中间值，避换漏步。输出最终结果。 【变式4-1】如图是一个数值转换机，当输入的数字n=-3时，按照图中的程序计算，输出的答案为 输入n +(-3)2 ÷(-2) 输出答案 【变式42】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 是 输入 6 +(-2) ÷(-2) 输出 否 题型5算“24”点 【例9】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数-3,4,5,7组成算式（每个数必须用一 次且只能用一次)，使运算结果为24，你列出的算式是一·（写出一种即可） 【例10】你会玩24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添 加“+、-、×、÷”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A,J,Q,K分别代 表1,11,12,13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 (写出一个即可) 3 【技巧到归纳】 常用组合：3×8、4×6、12×2、24×1；分数技巧：如(a-b÷c)×d。尝试加减乘除及括号改变顺序。从24的因数 入手，先选两数运算得中间数，再与另两数组合。注意小括号改变运算优先级，也有(+b÷c)×d型。 【变式5-1】生活情境24点游戏有一种"24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将 这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或-24.将下面的四张扑 克牌凑成-24，结果是 =-24.(注：A表示1，K表示13) 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、 减、乘、除和乘方)，每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或-24，其中 黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A,J,Q,K分 别代表1,11,12,13.比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了： 7×[3-(-3)÷7]=24.如果抽到的是黑桃4，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 题型6新定义型有理数混合运算 【例11】新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“※”，规定如下： 对于任意有理数a,b,满足a※b=ab+ab, (1)求(-2)※3的值： (2)求(-5)※(-4)※2. 【例12】用“△”定义新运算，对于任意有理数a,b,都有aab=a2-ab,例如：7△4=72-7×4=21. (1)求(-3)△5的值： (2)若继续用“*”定义另一种新运算a*b=3ab-b2,例如：1*2=3×1×2-22=2.求(-4)*(2△3). 【技巧归纳】 先理解新运算规则（如a⑧b=ab-a-b)，将自定义式转化为常规有理数算式。注意运算顺序，括号优洗。按先乘 方再乘除最后加减计算。可先代入具体数验证规则，再对字母表达式运算。结果化为最简形式。 【变式6-1】我们定义一种新运算：xy=x-y2. 如(-3)口(-5)=-3引-(-5)2=3-25=-23，有理数的运算法则适用于新运算.按照上述定义计算下列各式： (1)-4)07: g-6x2-2 【变式6-2】我们定义一种新运算：a*b=a2-b+ab.例如：1*3=12-3+1×3=1. (1)则2*(-3)=： 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求(-2)*2*(-3)门的值： (3)若5*x=5,求x的值. 04过关检测 一、单选题 1.下列运算错误的是（) B.22-(-3.5=7.5 C.（-5)×6+21=9 D.-2×-3=6 2.对于有理数a,b,定义一种新运算“△”，规定a△b=a2-ab+7,则-5△9=() A.77 B.-77 C.63 D.13 3.根据如图所示的程序，当输入x的值为1时，输出的y值为() 否 输入平方→乘2→减去4→结果大于0 是 输出y A.-2 B.3 C.4 D.8 4.“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.二 进制数的组成数字为0,1，二进制数101102转化为十进制数： 10110,=1×24+0×23+1×22+1×2+0×2°=22，三进制数的组成数字为0,1,2，三进制数2113转化为十进 制数：211，=2×32+1×3+1×3°=22.将二进制数11102化为三进制数为() A.1023 B.101g C.1113 D.1123 5。定义一种对正整数n的F运算：①当n为奇数时，结果为3n+5:②当n为偶数时，结果为？，其中火 取使”为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取m=26时，则有： F② 26 PF① F② 13 44 将n=49进行2025次“F运算”的结果 第一次 第二次 第三次 是( 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.19 B.31 C.62 D.98 二、填空题 6.计算：（-2)÷8+(-1)2= 7。已知a,b互为相反数，cd互为倒数，m的绝对值是1，则a+b-1)+3cd-2m的值为 8.定义新运算：对于任意有理数a、b,都有a®b=心2-b,例如382=32-2=7，那么)®1= 9.有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几 种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜.现已抽出如图所示的四 张牌(A表示1)，则可算“24”点的算式是 (写出一个即可) 10.把二进制数(1011001，，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然 后按通常的方法进行计算即可. (1011001,=1×26+0×2+1×24+1×23+0×22+0×2+1x2° =64+0+16+8+0+0+1 =89, 所以二进制数(1011001)，转换成十进制数为89.（注：规定当a≠0时，a°=1） 请通过计算将二进制数(110011)，，改写成十进制数是 三、解答题 11.计算： (1)-23÷8-14×(-2)2 (2)(-112-116+34-16)×-48) 12.计算： (- (2(-103+[-42-(1-32）×2] 13.计算： ω6( 10/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)-1-1-0.5)×2÷-32. 14.计算 (1)川-5)+15-(-2)-4； a传-0： 6-1-x[5-(-3] 15.计算： gs a+}-24. a-×8-9( (4)-22+3×-13-(-4)×2. 11 16.小明同学在黑板上计第“5+(4×g8×4”时，他的解答过程如下： 解：5+(4×.x4 88 1).1 =5+2)2 第一步 =5-… 第二步 第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (②计算：4+(2-4)+6×行 17.如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按 “4→A→B”进行运算，则所列算式为(4-3)×(-4)”. A B C D 3 ×(-4) 平方 (1)若按“- →B→A→C”进行计算，先列出算式，再直接写出结果： 6 11/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若琪琪同学按】→D→C→B→A进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果」 2 18.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0,1,2,3 记数，四进制数可以转换为十进制数.例如，四进制数1212记为1212)，由(1212)，=1×4+2×42 +1×4+2×4°=102，可得(1212)，是十进制数102. (1)将201)，转换为十进制数，结果是 ； (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除； ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除. 从中选出正确结论，并以四位的四进制数abcd,为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可. 12/12 第10讲 有理数的混合运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数四则混合运算 题型2 含乘方的有理数混合运算 题型3 有理数混合运算错题复原问题 题型4 程序流程图与有理数计算 题型5 算“24”点 题型6 新定义型有理数混合运算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 混合运算、运算顺序、乘方、乘除、加减、括号、运算律、简算。 1. 掌握有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级从左到右；有括号先算括号内。 2. 能正确运用运算律（交换、结合、分配）简化有理数的混合运算。 3. 能准确进行包含加、减、乘、除、乘方及括号的多步混合运算，提高计算能力。 4. 养成规范书写、认真审题、检验结果的良好运算习惯，培养严谨的数学态度。 学习重点：有理数混合运算的运算顺序规则，特别是乘方与乘除、加减的优先级关系。 学习难点：在较复杂的混合运算中正确确定运算顺序，灵活运用运算律简化计算，以及避免符号错误（特别是负号、括号的处理）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【易错提醒】 有理数混合运算易错警示：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。注意运算律使用可简化，但需带符号移动。勿跳步导致符号错误或漏算。 即时即练1．下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方运算及四则混合运算，需按照先乘方、再乘除、后加减的运算顺序逐一计算各选项，判断结果是否正确． 【详解】解：∵，∴A选项错误． ∵，∴B选项错误． ∵，∴C选项正确． ∵，∴D选项错误． 故选：C． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1)16 (2)8 【分析】（1）根据乘法的分配律求解即可； （2）根据含有乘方的有理数混合运算计算即可； 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）解：原式． 题型1 有理数四则混合运算 【例1】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)22 (2)10 (3) (4)39 【分析】（1）去括号依次加减即可； （2）先将除法化为乘法，再计算即可； （3）利用分配律进行简便计算即可； （4）先计算平方、乘法、绝对值，再相加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【例2】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)30 (3) (4) 【分析】（1）按照从左到右的顺序进行计算； （2）先确定积的正负，再按照乘除法的运算法则进行计算； （3）逆用乘法分配律进行计算； （4）根据有理数混合运算的运算法则进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【技巧归纳】 有理数混合运算遵循“先乘方、再乘除、最后加减，括号优先”。可先将除法化为乘法，减法化为加法。运用运算律简化（交换、结合、分配），注意符号处理，逐步计算避免跳步。检验结果合理性。 【变式1-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式1-2】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先计算乘方和括号内的加法，再计算乘法，最后计算减法即可； （3）先计算绝对值，再利用乘法分配律求解即可； （4）先把原式变形为，再利用乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型2 含乘方的有理数混合运算 【例3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方与括号内运算，再算除法，得出结果； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【例4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，计算即可，有绝对值的先要把绝对值算出来． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【技巧归纳】 先算乘方（注意符号），再算乘除，最后加减。括号优先。将除法转为乘法，带分数化假分数。运用分配律简化，如公因数提取。小数化分数可避免精度问题。注意底数为负数时加括号，如(-2)⁴=16。逐步计算。 【变式2-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算乘方和乘除法，再计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内通分作差，再计算乘法，最后计算加减法即可； （3）先计算括号内减法和乘方，将除法化为乘法，再计算连乘即可． 【详解】（1） 解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型3 有理数混合运算错题复原问题 【例5】阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ (1)上述运算过程，从第________步出现错误，错误的原因是________； (2)写出正确解答过程． 【答案】(1)①，误将计算为 (2)解答过程见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握运算法则和顺序，正确的计算，是解题的关键． （1）根据运算顺序，先算乘方再算乘除可知第①步出现问题； （2）根据先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的进行计算即可． 【详解】（1）解：上述运算过程，从第①步出现错误，错误的原因是误将计算为； （2）解： ． 【例6】小明与小红两位同学计算的过程如下： 小明： 原式（第一步） （第二步） （第三步） 小红： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第______步，小红错误的步骤是第______步． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一、三；二、三、四 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算过程分析即可得解； （2）先计算乘方，再计算乘除即可得解． 【详解】（1）解：由计算过程可得：小明与小红在计算中均出现了错误，小明错误的步骤是第一、三步，小红错误的步骤是第二、三、四步； （2）解： ． 【技巧归纳】 从错误答案倒推运算过程，对比正解，常见错误：符号漏变、乘除顺序颠倒、乘方漏括号、分配律使用不当。先定位错误步骤（可分段计算），再修正。建议重算一遍，重点检查负号及指数运算。 【变式3-1】在学习《有理数》时，陈老师布置同学们计算课本第页第（）题：，下面是小凯和小丽的计算过程： 小凯： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 小丽： 解：原式 (1)请你指出这两个人的错误各自在第几步：小凯错误在第___________步，小丽的错误在第___________步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，三； (2)． 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （）小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法； （）按照先乘方，再乘除，最后加减的顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：小凯第一步计算乘方时没有考虑负号，小丽第三步没有先计算除法， 故答案为：一，三； （2）解： ． 【变式3-2】下面是甲、乙两位同学计算：的错误解法 甲同学 乙同学 错误解法 错误原因 正确解法 (1)请你分别圈出他们俩第一步出错的地方，并指出错误原因； (2)写出正确解法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的混合运算顺序和运算法则，即可进行判断； （2）根据有理数的混合运算顺序和运算法则即可进行解答． 【详解】（1）解：    （2）解： ． 题型4 程序流程图与有理数计算 【例7】有一数值转换器，原理如图所示．若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图和代数式求值，将代入流程图，进行计算即可． 【详解】解： ， ， ∴最后输出的结果是． 故答案为：． 【例8】如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 【技巧归纳】 按流程图顺序计算，入口处代入数值，依次执行运算框（加减乘除乘方）和判断框（是否满足条件）。遇到分支按结果选择路径。注意循环结构需累加或迭代，可列表记录中间值，避免漏步。输出最终结果。 【变式4-1】如图是一个数值转换机，当输入的数字时，按照图中的程序计算，输出的答案为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意： 故答案为： 【变式4-2】按如图所示的程序计算，若输入的数值为3，则输出的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的运算．按照程序把3代入进行计算，若小于或等于，再代入计算即可求解． 【详解】解：当输入的数值为3时， ， 故答案为：． 题型5 算“24”点 【例9】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【例10】你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字，添加“”和括号等符号进行运算，每张牌只能用一次，使得运算结果为24，其中A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，小明抽到的是如下4张牌，你凑成24的算式是 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，“二十四”点的游戏要注意运算顺序与运算符号，以及题目的要求． 【详解】解：根据题意可知答案不唯一： 如：； 或； 或； 或等； ∴凑成24的算式是， 故答案为：． 【技巧归纳】 常用组合：3×8、4×6、12×2、24×1；分数技巧：如 (a-b÷c)×d。尝试加减乘除及括号改变顺序。从24的因数入手，先选两数运算得中间数，再与另两数组合。注意小括号改变运算优先级，也有(a+b÷c)×d型。 【变式5-1】生活情境·24点游戏  有一种“24点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行混合运算，使其结果等于24或．将下面的四张扑克牌凑成，结果是 ．（注：A表示1，K表示13） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．根据题意和题目中的数据，可以写出一个使得结果为的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-2】从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：由题意得：或或． 故答案为：或或． 题型6 新定义型有理数混合运算 【例11】新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足． (1)求的值； (2)求． 【答案】(1)6 (2)480 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据定义的新运算进行计算，即可解答； （2）根据定义的新运算进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ． 【例12】用“△”定义新运算，对于任意有理数a，b，都有．例如：． (1)求的值； (2)若继续用“*”定义另一种新运算，例如：．求． 【答案】(1)24 (2)20 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列出算式进行计算即可； （2）根据题干信息列出算式进行计算即可． 解题的关键是理解题意，熟练掌握有理数混合运算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【技巧归纳】 先理解新运算规则（如a⊗b=ab-a-b），将自定义式转化为常规有理数算式。注意运算顺序，括号优先。按先乘方再乘除最后加减计算。可先代入具体数验证规则，再对字母表达式运算。结果化为最简形式。 【变式6-1】我们定义一种新运算：． 如，有理数的运算法则适用于新运算．按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据题干信息列式计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式6-2】我们定义一种新运算：．例如：． (1)则______； (2)求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次议程．读懂题意并理解新运算的定义式是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入数据即可算出结论； （2）先把（1）得到的的值代入，再根据新运算的定义式，代入数据即可算出结论． （3）根据新运算的定义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ 又由（1）得， ∴ ． （3）解：∵ ∴ 一、单选题 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值、有理数乘方以及四则运算的法则逐项计算即可． 【详解】解：A、，运算正确，不符合题意； B、，运算正确，不符合题意； C、，，运算错误，符合题意； D、，运算正确，不符合题意； 2．对于有理数a，b，定义一种新运算“△”，规定，则 （      ） A．77 B． C．63 D．13 【答案】A 【分析】本题为新定义运算题，需根据给定的运算规则，将对应数值代入公式计算求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3．根据如图所示的程序，当输入的值为1时，输出的值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先输入1，得到结果，再输入，得到结果，即可． 【详解】解：输入1，， 输入，， 所以输出的值为4． 4．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 5．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 二、填空题 6．计算：________． 【答案】0 【分析】按照先算乘方，再算除法，最后算加法的顺序计算即可． 【详解】解： ． 7．已知互为相反数，互为倒数，的绝对值是1，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的性质，有理数的混合运算． 根据相反数、倒数和绝对值的性质，得到，，，代入表达式计算． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵，互为倒数， ∴， ∵， ∴即， 原式． 故答案为：． 8．定义新运算：对于任意有理数、，都有，例如，那么__________． 【答案】- 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解新定义的运算规则，掌握有理数运算法则即可求解. 【详解】解：由新定义可知. 将，代入得 . 9．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 10．把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 【答案】51 【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可． 【详解】解： ． 三、解答题 11．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数混合运算法则进行计算，先乘方，再乘除，最后加减； （2）根据有理数混合运算法则进行计算，有括号先算括号里面． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算，再把除法转化为乘法，用； （2）先算中括号内为，再算，再把两个得数相加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2)34 (3)0 【分析】（1）根据有理数的加减法运算计算即可； （2）使用乘法运算律求解即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 16．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 17．如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 18．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定逢四进一就是四进制，用数字0，1，2，3记数，四进制数可以转换为十进制数．例如，四进制数记为，由，可得是十进制数102． (1)将转换为十进制数，结果是___________； (2)对于一个用四进制表示的正整数，有下列两个结论： ①如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除； ②如果这个数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个数就能被2整除． 从中选出正确结论，并以四位的四进制数为例，说明该结论正确的道理，若不成立举反例证明即可． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，能熟练将四进制转化为十进制是解答本题的关键． （1）根据题意将四进制转化为十进制即可； （2）根据题意判断出①正确，将四位的四进制数化为十进制的数，经过变形即可验证①． 【详解】（1）解：． （2）解：选①．将四进制数转换为十进制数为． 因为一定能被2整除， 若末位数字能被2整除，那么就能被2整除， 所以如果这个数的末位数字能被2整除，那么这个数就能被2整除． 对于②不一定成立．例如四进制数，其各位数字之和为2（能被2整除），但对应的十进制数65不能被2整除，所以②错误． 2 / 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