专题01 丰富的图形世界 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题01丰富的图形世界 暑假预习讲义 （北师大版新教材） ✺知识框架 1.图形认知：明晰平面图形与立体图形的核心区别，熟练识别柱体、锥体、球体等基础几何体，掌握规范分类标准与棱柱核心特征。 2.元素规律：掌握点、线、面、体四大几何基本元素的构成关系，熟记“点动成线、线动成面、面动成体”的动态几何规律，理解图形生成原理。 3.图形转化：掌握立体图形与平面图形的双向转化方法，核心涵盖正方体展开折叠、几何体截面截取、立体图形三视图三大必考模型。 4.辨析应用：精准辨析各类图形易混特征，熟练判断正方体展开图正误、几何体截面形状与三视图，规避高频易错点，形成基础空间几何素养。 ✅本章以“立体图形与平面图形双向转化”为核心主线，先夯实基础图形认知与几何元素规律，再重点突破展开折叠、截面、三视图核心转化模型，逐步建立空间想象与几何直观能力，为初中几何后续学习筑牢基础 ✺学习目标 1.知识理解：认识平面图形与立体图形，掌握常见几何体的分类及棱柱核心结构特征；理解点、线、面、体的组成关系与动态变化规律；熟记正方体展开折叠、几何体截面、三视图的核心概念与基础原理。 2.技能运用：能够准确识别、规范分类各类基础几何体；熟练辨析正方体展开图正误、精准判定折叠后的相对面；可判断简单几何体的截面形状，熟练辨认、绘制基础三视图，初步掌握由三视图还原立体图形的方法。 3.思维素养：掌握立体图形与平面图形的转化思想，初步建立空间想象与几何直观能力；养成严谨的几何识图、辨图习惯，夯实初中几何入门思维基础。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.点、线、面、体四者之间的关系 题型6.平面图形旋转后所得的立体图形 题型7.从不同方向看几何体 题型8.几何体展开图的认识 题型9.由展开图计算几何体的表面积 题型10.由展开图计算几何体的体积 题型11.正方体几种展开图的识别 题型12.正方体相对两面上的字 题型13.含图案的正方体的展开图 题型14.求展开图上两点折叠后的距离 题型15.补一个面使图形围成正方体 题型16.截一个几何体 题型17.平面图形形状的识别 题型18.用七巧板拼图图形 题型19.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、立体图形与平面图形 ▶几何图形分为立体图形和平面图形两大类，是本章基础核心概念，也是立体与平面图形转化题型的学习前提。 长方体，圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。 1.立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 常见立体图形：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球。 2.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形长方形、圆、等）的各个部分都在同一平面内。它们是平面图形. 常见的平面图形 知识点二、从不同的方向观察立体图形 ✅ 观察一个物体，从不同的方向和角度看，可能看到不同的图形。因此，从正面、左面和上面3个不同的方向看一个物体，然后描绘出3次观察后看到的图，这样就可以把一个立体图形转化为平面图形。 从不同方向观察立体图形 知识点三、立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2. 常见立体图形展开图 3. 正方体的展开图 正方体的展开图有11种不同的形式，可概括为四种基本类型： 知识点四、点、线、面、体 1.体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 2.面：包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。 3.线：面和面相交的地方形成线。线分为直线和曲线两种。 4.点：线和线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 5.点动成线、线动成面、面动成体物理原理图解： 生活实例：笔尖写字（点动成线）、汽车雨刷清扫玻璃（线动成面）、半圆绕直径旋转形成球体（面动成体）。 知识点五、截一个几何体 1.截面定义：用一个平面截取几何体，所得平面图形即为截面，截面形状由截取位置、角度决定。 2.常见几何体截面特征： 正方体：可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出直角三角形、钝角三角形； 圆柱：可截出圆、长方形、椭圆； 圆锥：可截出圆、等腰三角形、椭圆； 球体：任意角度截取，截面恒为圆。 知识点六、从三个方向看物体的形状（三视图） 主视图：从物体正面观察得到的图形； 左视图：从物体左面观察得到的图形； 俯视图：从物体上面观察得到的图形，三者合称几何体三视图。 ✺题型◆精讲 题型1.常见的几何体 1．下列图形是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 2．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为______．    3．把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 题型2.组合几何体的构成 1．组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 2．一个圆柱的上下两个面是________，它们的大小________，周围的面是________，两个底面之间的距离叫作圆柱的________． 3．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 题型3.立体图形的分类 1．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 2．下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 题型4.几何体中的点、棱、面 1．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 2．一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 3．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 题型5.点、线、面、体四者之间的关系 1．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 2．航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 3．如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    题型6.平面图形旋转后所得的立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下面几何体中，可以由平面图形通过旋转得到的有___________个． 3．铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 题型7.从不同方向看几何体 1．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 3．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 题型8.几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 2．如图，下列图形中，①能折叠成______，②能折叠成______，③能折叠成______，④能折叠成______． 3．小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 题型9.由展开图计算几何体的表面积 1．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 3．（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数．） （2）有个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米元，一共需要人工费多少元？ 题型10.由展开图计算几何体的体积 1．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 2．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 3．已知一个圆柱的侧面展开图为长方形，其宽为，长为，则该圆柱的体积是多少？（取） 题型11.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 2．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 3．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 题型12.正方体相对两面上的字 1．唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 2．水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图所示为一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面，“前”为后面，则“祝”为正方体的__面． 3．春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有 种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）．   题型13.含图案的正方体的展开图 1．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 2．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 3．如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 题型14.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    题型15.补一个面使图形围成正方体 1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 3．小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 题型16.截一个几何体 1．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 2．用一个平面去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱，截面形状可能是三角形的几何体有_____个； 3．将一个长方体展开后如图所示，已知、两个面的面积之和是，且面是一个长为，宽为的长方形． （1）求这个长方体的表面积； （2）若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 题型17.平面图形形状的识别 1．下面几何图形中，表示平面图形的是（   ） A． B． C． D． 2．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 3．如图，试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点． 例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等． 不同点：正方形有四条边，而正五边形有五条边． 相同点：（1）___________；（2）___________； 不同点：（1）___________；（2）___________． 题型18.用七巧板拼图图形 1．将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 2．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 3．综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． ✺巩固测试 一、单选题 1．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是曲面的是（    ） A． B． C． D． 3．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 4．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 二、填空题 6．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 7．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 8．2024年6月，嫦娥六号在月球背面着陆，顺利完成月壤采样任务，带回了约的月壤，实现世界首次月背采样返回．一名学生为庆祝我国首次月背“挖宝”成功，做了如图正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是( )． 9．用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 10．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 三、解答题 11．如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 12．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 13．在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路? （2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 14．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 15．【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01丰富的图形世界 暑假预习讲义 （北师大版新教材） ✺知识框架 1.图形认知：明晰平面图形与立体图形的核心区别，熟练识别柱体、锥体、球体等基础几何体，掌握规范分类标准与棱柱核心特征。 2.元素规律：掌握点、线、面、体四大几何基本元素的构成关系，熟记“点动成线、线动成面、面动成体”的动态几何规律，理解图形生成原理。 3.图形转化：掌握立体图形与平面图形的双向转化方法，核心涵盖正方体展开折叠、几何体截面截取、立体图形三视图三大必考模型。 4.辨析应用：精准辨析各类图形易混特征，熟练判断正方体展开图正误、几何体截面形状与三视图，规避高频易错点，形成基础空间几何素养。 ✅本章以“立体图形与平面图形双向转化”为核心主线，先夯实基础图形认知与几何元素规律，再重点突破展开折叠、截面、三视图核心转化模型，逐步建立空间想象与几何直观能力，为初中几何后续学习筑牢基础 ✺学习目标 1.知识理解：认识平面图形与立体图形，掌握常见几何体的分类及棱柱核心结构特征；理解点、线、面、体的组成关系与动态变化规律；熟记正方体展开折叠、几何体截面、三视图的核心概念与基础原理。 2.技能运用：能够准确识别、规范分类各类基础几何体；熟练辨析正方体展开图正误、精准判定折叠后的相对面；可判断简单几何体的截面形状，熟练辨认、绘制基础三视图，初步掌握由三视图还原立体图形的方法。 3.思维素养：掌握立体图形与平面图形的转化思想，初步建立空间想象与几何直观能力；养成严谨的几何识图、辨图习惯，夯实初中几何入门思维基础。 ✺题型归纳 题型1.常见的几何体 题型2.组合几何体的构成 题型3.立体图形的分类 题型4.几何体中的点、棱、面 题型5.点、线、面、体四者之间的关系 题型6.平面图形旋转后所得的立体图形 题型7.从不同方向看几何体 题型8.几何体展开图的认识 题型9.由展开图计算几何体的表面积 题型10.由展开图计算几何体的体积 题型11.正方体几种展开图的识别 题型12.正方体相对两面上的字 题型13.含图案的正方体的展开图 题型14.求展开图上两点折叠后的距离 题型15.补一个面使图形围成正方体 题型16.截一个几何体 题型17.平面图形形状的识别 题型18.用七巧板拼图图形 题型19.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一、立体图形与平面图形 ▶几何图形分为立体图形和平面图形两大类，是本章基础核心概念，也是立体与平面图形转化题型的学习前提。 长方体，圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形。 1.立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 常见立体图形：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球。 2.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形长方形、圆、等）的各个部分都在同一平面内。它们是平面图形. 常见的平面图形 知识点二、从不同的方向观察立体图形 ✅ 观察一个物体，从不同的方向和角度看，可能看到不同的图形。因此，从正面、左面和上面3个不同的方向看一个物体，然后描绘出3次观察后看到的图，这样就可以把一个立体图形转化为平面图形。 从不同方向观察立体图形 知识点三、立体图形的展开图 1. 立体图形的展开图 有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 2. 常见立体图形展开图 3. 正方体的展开图 正方体的展开图有11种不同的形式，可概括为四种基本类型： 知识点四、点、线、面、体 1.体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。 2.面：包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。 3.线：面和面相交的地方形成线。线分为直线和曲线两种。 4.点：线和线相交的地方是点。 点动成线、线动成面、面动成体。 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。 5.点动成线、线动成面、面动成体物理原理图解： 生活实例：笔尖写字（点动成线）、汽车雨刷清扫玻璃（线动成面）、半圆绕直径旋转形成球体（面动成体）。 知识点五、截一个几何体 1.截面定义：用一个平面截取几何体，所得平面图形即为截面，截面形状由截取位置、角度决定。 2.常见几何体截面特征： 正方体：可截出三角形、四边形、五边形、六边形，无法截出直角三角形、钝角三角形； 圆柱：可截出圆、长方形、椭圆； 圆锥：可截出圆、等腰三角形、椭圆； 球体：任意角度截取，截面恒为圆。 知识点六、从三个方向看物体的形状（三视图） 主视图：从物体正面观察得到的图形； 左视图：从物体左面观察得到的图形； 俯视图：从物体上面观察得到的图形，三者合称几何体三视图。 ✺题型◆精讲 题型1.常见的几何体 1．下列图形是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见的立体图形逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形为圆柱，不符合题意； B.该图形为圆锥，不符合题意； C.该图形为三棱柱，符合题意； D.该图形为四棱锥，不符合题意． 2．下列几何体中，是棱柱的几何体个数为______．    【答案】2 【分析】本题考查棱柱的识别，上下底面平行且全等，侧棱平行且相等的封闭几何体叫棱柱，根据定义判断即可． 【详解】 解：所列几何体中，是棱柱，共2个， 故答案为：2． 3．把图中的几何图形与它们相应的名称用线连起来 【答案】见解析 【分析】本题考查认识立体图形，熟练掌握常见几何体的特征是解题关键．根据常见立体图形的特征直接连线即可． 【详解】解：如图， 题型2.组合几何体的构成 1．组成如图所示的陀螺的是（ ） A．长方体和圆锥 B．长方形和三角形 C．圆和三角形 D．圆柱和圆锥 【答案】D 【分析】此题考查从实物中抽象出立体图形，要求学生掌握常见的圆柱、圆锥、球这些立体图形的特征． 图中的几何体上面是圆柱，下面是圆锥，由此可得解． 【详解】解：如图所示的陀螺是由圆柱和圆锥组成的． 故选D． 2．一个圆柱的上下两个面是________，它们的大小________，周围的面是________，两个底面之间的距离叫作圆柱的________． 【答案】 圆形底面 完全相同 曲面（侧面） 高 【分析】本题考查圆柱的基本概念，根据圆柱的定义直接填写即可． 【详解】圆柱的上下两个面称为底面，它们是完全相同的圆形；圆柱的周围面称为侧面；两个底面之间的垂直距离称为高； 故答案为：圆形底面、完全相同、曲面（侧面）、高． 3．如图，指出图中物体分别是由哪些几何体组成的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体的构成．熟练掌握常见的几何体是解题的关键． 根据常见的几何体的特征作答即可． 【详解】解：由题意知，①是由一个正方体、一个圆柱体、一个圆锥体组成的组合体； ②是由一个圆柱体、一个长方体、一个三棱柱组成的组合体； ③是由一个五棱柱、一个球体组成的组合体． 题型3.立体图形的分类 1．下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 2．下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 3．观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 题型4.几何体中的点、棱、面 1．如图所示，用经过A、B、C三点的平面截去正方体的一个角，得到的两个立体图形的棱数之差为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】A 【详解】解：由图可得，两个立体图形的棱数分别是12和6， ∴两个立体图形的棱数之差为． 2．一个直棱柱共有18条棱，所有侧棱长的和是72厘米，则每条侧棱长是_________厘米 ． 【答案】 【分析】根据直棱柱的棱数与侧棱数的关系，确定该直棱柱的侧棱数量，再由所有侧棱长的和计算每条侧棱的长度． 【详解】解：根据n棱柱的棱数性质，可得n棱柱共有条棱， 该直棱柱共有条棱， ， 解得，即该直棱柱为六棱柱，共有条侧棱， 所有侧棱长的和是厘米， 每条侧棱长为（厘米）． 3．由27个小立方体堆成的一个大立方体如下所示，现将它的表面涂成黄色．问： (1)有三个面涂成黄色的小立方体有几个？ (2)有一个面涂成黄色的小立方体有几个？ (3)有两个面涂成黄色的小立方体有几个？ 【答案】(1)有8个 (2)有6个 (3)有12个 【分析】此题考查了正方体的特征，有良好的空间观念是关键． （1）根据立方体表面的特点，得出三面涂色的在每个顶点处，正方体有8个顶点，即可得出答案； （2）根据立方体表面的特点，得出有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，共有6个，即可得出答案； （3）根据立方体表面的特点，得出有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，共有12个，即可得出答案． 【详解】（1）解：有三个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个； （2）解：有一个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个； （3）解：有两个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个． 题型5.点、线、面、体四者之间的关系 1．汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理． 【详解】解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面． 2．航天飞机拖曳“长长的火焰”，我们用数学知识可解释为点动成线．用数学知识解释下列现象： （1）一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为 _________ ． （2）电动车车辐条运动形成的图形可解释为 _________ ． 【答案】 点动成线 线动成面 【分析】本题考查几何变换的基本概念，即点、线、面的运动关系．小蚂蚁可视为点，其运动轨迹形成线；车辐条可视为线，其运动轨迹形成面． 【详解】解：（1）小蚂蚁近似看作一个点，其行走时点移动形成路线，因此解释为点动成线； （2）电动车车辐条近似看作一条线，其运动时线移动形成图形，因此解释为线动成面． 故答案为：（1）点动成线；（2）线动成面 3．如图中圆柱的底面周长是cm，高是dm，现用包装绳包扎，至少需要多长的包装绳？（接头处需cm）    【答案】647厘米 【分析】所需包装绳的长度等于4条高，4条直径，再加上接头处用的cm即可． 【详解】解： 底面直径：（厘米） （厘米） 答：至少需要647厘米的包装绳． 【点睛】本题考查圆柱体知识的实际应用．弄清楚所需包装绳长度的组成是解题关键． 题型6.平面图形旋转后所得的立体图形 1．将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体的原理，分析各选项中的平面图形绕轴旋转一周后形成的立体图形，与题干给出的立体图形进行对比即可得出答案； 【详解】解：观察题干图形可知，该立体图形是一个圆柱和圆锥相叠， A：旋转后得不到圆柱圆锥的组合，不符合； B：图形上半部分是一边在轴上的矩形，旋转后得到圆柱；下半部分是直角边在轴上的直角三角形，旋转后得到同底的圆锥，正好得到题目中的立体，符合要求； C：完整矩形旋转后只得到一个圆柱，不符合； D：旋转后得到两个同底的圆锥，不符合． 2．下面几何体中，可以由平面图形通过旋转得到的有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了“面动成体”等知识．根据题意可以得到②③④三个几何体可以通过平面图形旋转得到，问题得解． 【详解】解：可以由平面图形通过旋转得到的立体图形有：②圆台，③球体；④圆柱与圆锥组合体． 故答案为：3 3．铁一陆港学校在11.3日开展了“节约粮食，文明就餐”的主题班会，初一年级某小组同学在筹备班会的过程中查阅资料获悉：据国家粮食和物资储备局发布，截至”2025年9月30日，全国各类粮食经营主体累计收购小麦10795万吨，早籼稻1281万吨，油菜籽587万吨收购市场总体平稳．图1是某“粮仓”的示意图． (1)该粮仓的示意图可以由图2中的图___________旋转一周后得到 (2)求该“粮仓”的体积．（结果保留） 【答案】(1)① (2) 【分析】本题主要考查立体图形的体积，点、线、面、体之间的关系． （1）根据图形可知该几何体是由圆锥和圆柱所构成，然后问题可求解； （2）根据圆柱及圆锥的体积公式及图中所给数据可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可知是由①旋转而成的， 故答案为：①； （2）解：由题意得“粮仓”的体积为圆柱的体积加圆锥的体积： ， 答：该“粮仓”的体积为． 题型7.从不同方向看几何体 1．下面四个几何体中，从正面看是三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、从正面看是三角形，符合题意； B、从正面看是长方形，不符合题意； C、从正面看是圆，不符合题意； D、从正面看是正方形，不符合题意. 2．用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到几何体的形状，判断底层小立方块的个数，再判断上层最多有几个小立方块，即可求解． 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 3．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【详解】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 题型8.几何体展开图的认识 1．如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【答案】A 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 2．如图，下列图形中，①能折叠成______，②能折叠成______，③能折叠成______，④能折叠成______． 【答案】 圆柱 五棱柱 圆锥 五棱锥 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据圆柱、棱柱、圆锥、棱锥的展开图形状特点判断即可． 【详解】解：①圆柱体侧面展开图是一个长方形，两个圆，故①能折叠成圆柱； ②五棱柱的侧面展开图是上、下两个相同的五边形，侧面展开图是一个长方形，故②能折叠成五棱柱； ③圆锥侧面展开图是一个圆（底面）侧面（扇形），故③能折叠成圆锥； ④五棱锥的底面为五边形，侧面为五个三角形，故④能折叠成五棱锥 故答案为：①圆柱；②五棱柱；③圆锥；④五棱锥． 3．小明在学习了“从立体图形到平面图形”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图1和图2．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了________条棱； (2)现在小明想将图2重新粘贴到图1中，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将图2粘贴到图1中的什么位置？请你帮助小明在图1上补全； (3)已知这个长方体纸盒的高为，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是，求这个长方体纸盒的体积． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)这个长方体纸盒的体积为立方厘米 【分析】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数； （2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况； （3）设底面边长为，根据棱长的和是，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积． 【详解】（1）解：由图可得，小明共剪开了8条棱， 故答案为：8； （2）解：如图，粘贴的位置有四种情况如下： （3）解：∵长方体纸盒的底面是一个正方形， ∴可设底面边长， ∵长方体纸盒所有棱长的和是，长方体纸盒高为， ∴， 解得， ∴这个长方体纸盒的体积为：立方厘米． 题型9.由展开图计算几何体的表面积 1．如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 2．如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 3．（1）要将街心花园的路灯柱刷上白色的油漆（如图，圆柱的上、下底面不刷漆），要刷多少平方米？（得数保留一位小数．） （2）有个这样的路灯柱，如果刷油漆的人工费为每平方米元，一共需要人工费多少元？ 【答案】（1）平方米；（2）元 【分析】本题主要考查了长方体的表面积及圆柱侧面积的求法，要注意去掉圆的面积，盖住了喷不上；用到的知识点∶单价、数量和总价三者之间的关系． （1）根据图示可知∶刷漆的面积实际就是长方体的表面积去掉直径是圆的面积，再加上圆柱的侧面积，利用长方体的表面积公式及圆柱的侧面积计算公式可解∶ （2）用一个路灯桂刷漆的面积乘．求出个这样的灯柱刷漆的面积，然后乘每平方米人工费元即可求出一共需要的人工费用． 【详解】解：（1） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 平方厘米平方米 答：要刷平方米． （2） （元） 答：一共需要人工费元． 题型10.由展开图计算几何体的体积 1．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 2．如图，从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒．这个纸盒的容积是 _______立方厘米． 【答案】 【分析】本题考查长方体的展开图．从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后，沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米．据此可得这个纸盒的容积． 【详解】解：从长为厘米，宽为厘米的长方形硬纸板的四个角去掉边长厘米的正方形后， 沿虚线折叠成长方体纸盒，其长为厘米，宽为厘米，高为厘米， 故这个纸盒的容积是立方厘米． 故答案为：． 3．已知一个圆柱的侧面展开图为长方形，其宽为，长为，则该圆柱的体积是多少？（取） 【答案】或 【分析】圆柱侧面展开图的长方形，一边为圆柱的高，另一边为底面圆的周长，需分两种情况讨论底面周长与高的对应关系，再根据圆柱体积公式计算体积． 【详解】解：情况一：当长方形的长为底面周长，宽为高时， 底面周长，高 ， ∴， ∴； 情况二：当长方形的宽为底面周长，长为高时， 底面周长，高 ， ∴， ∴ 故该圆柱的体积为或 题型11.正方体几种展开图的识别 1．下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 2．下列图形可以折成一个正方体的有______．（填序号） 【答案】（1）（3）（4） 【分析】此题考查了正方体几种展开图的识别，解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案． 【详解】解：（1）（3）（4）可以折成正方体， （2）（5）折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体， 故答案为：（1）（3）（4）． 3．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 【答案】（1）①③（2）见解析，周长为 【分析】（1）根据有盖长方体纸盒的面数和构成求解即可； （2）要使外围周长最小，则尽量从棱长较小的边剪开，将棱长较大的边尽量多的保留在展开图内部参考图1的展开图样式，长方体的每个展开图中均有五条棱保留在内部，因此设计将边长为的棱保留3条，边长为的棱保留2条在展开图内部，此时外围周长最小，据此画图求解即可． 【详解】解：（1）能通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①③． （2）如图所示， 最小周长为cm． 题型12.正方体相对两面上的字 1．唐代诗人王维的《田园乐七首·其六》，格律工整、意境空灵，是六绝的巅峰范本．如图，先将其中的一句“柳绿更带朝烟”书写在正方体的展开图上，再将它折叠成正方体，与“绿”字所在的面相对的面上的字是（     ） A．“更” B．“带” C．“朝” D．“烟” 【答案】D 【分析】正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，利用这一特点即可判断． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形． ∴ 在中间一行中，“柳”与“带”相隔一个“更”，故“柳”与“带”是相对面； “更”与“朝”相隔一个“带”，故“更”与“朝”是相对面． ∴ 剩余的“绿”与“烟”是相对面． 2．水平放置的正方体的6个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图所示为一个正方体的平面展开图，若图中“锦”为前面，“似”为下面，“前”为后面，则“祝”为正方体的__面． 【答案】上 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：“锦”的相对面为“前”，“似”的相对面为“祝”，“你”的相对面为“程”， ∵“似”为下面， ∴“祝”为正方体的上面． 3．春节快到了，小明同学准备了一份礼物送给自己的好朋友．如图所示，他设计了一个正方体盒子进行包装，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．    (1)共有 种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充），并将，，，，，这些数字分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得（直接在图中填上即可）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方体展开图，知道正方体展开图的形状是关键； （1）根据正方体展开图即可求解； （2）根据（1）中4种正方体展开图任选一个完成即可． 【详解】（1）解：根据正方体展开图特点知，中间四连方，则两侧各一个，即在中间四个正方形下面添加一个小正方形都符合题意，即共4种弥补方法． 故答案为：4； （2）解：如图所示，即为所求．   题型13.含图案的正方体的展开图 1．如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 2．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 【详解】解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 3．如图，左面的图形可能是右面哪些图形的展开图？ (1) (2) (3) 【答案】(1)左面的图形可能是右面B图形的展开图； (2)左面的图形可能是右面C图形的展开图； (3)左面的图形可能是右面A图形的展开图 【分析】本题考查了学生的空间想象能力．根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可． 【详解】（1）解：五角星中间星对的是竖线，排除A；正方形中的三条线在几何体中是平行的，排除C；故左面的图形可能是右面B图形的展开图； （2）解：黄色小正方形的三个顶点相对的是三个黄色三角形的底边，排除A；黄色正方形在几何体中是相对的且只有一个和黄色小正方形相邻，排除B；故左面的图形可能是右面C图形的展开图； （3）解：空白正方形有两个是相对的，排除B；蓝色的小正方形与蓝色的条状相差2个小正方形，排除C；故左面的图形可能是右面A图形的展开图． 题型14.求展开图上两点折叠后的距离 1．如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 2．如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是，，的长方体的顶点爬到顶点，它从顶点沿着棱直接爬到点所走的路程，比它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程少______． 【答案】4 【分析】本题考查了几何体的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，先展开，三角形的一条直角边为，另一边为，勾股定理计算即可． 【详解】如图，根据题意，得，， 则， 故答案为：4． 3．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    题型15.补一个面使图形围成正方体 1．如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 2．如图所示的A、B、C、D四个位置的某个正方形与实线部分的五个正方形组成的图形，不能拼成正方体的是位置 _____． 【答案】A 【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题． 【详解】解：正方形A与实线部分的五个正方形组成的图形出现重叠的面，所以不能围成正方体． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图． 3．小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下类问题： 观察判断： 小明共剪开了___________条棱； 动手操作： 现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形： 解决问题： 经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是，求这个纸盒的体积． 【答案】观察判断：8；动手操作：见解析；解决问题：这个长方体纸盒的体积为：． 【分析】观察判断：根据图形回答即可； 动手操作：根据长方体的展开图的情况可知有四种情况； 解决问题：设高为，则正方形边长为，根据棱长的和是列出方程，据此可求出长、宽、高，因而求出长方体纸盒的体积． 【详解】解：观察判断： 小明总共剪开了8条棱； 故答案为：8； 动手操作：如图，有四种情况： ； 解决问题：因为长方体纸盒的底面是一个正方形， 所以设高为，则正方形边长为． 因为长方体纸盒所有棱长的和是， 所以， 解得， 所以这个长方体纸盒的体积为：． 【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 题型16.截一个几何体 1．用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 2．用一个平面去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱，截面形状可能是三角形的几何体有_____个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了截一个几何体，根据各几何体的形状特征，判断截面可能为三角形的几何体即可． 【详解】解：①正方体：当平面截过三个相邻面时，截面可为三角形； ②圆柱：截面通常为圆形、椭圆形或矩形，无法得到三角形； ③圆锥：当平面通过顶点且与底面相交时，截面可为三角形； ④三棱柱：当平面平行于底面时，截面可为三角形； 综上，截面形状可能是三角形的几何体有①③④，共3个； 故答案为：3． 3．将一个长方体展开后如图所示，已知、两个面的面积之和是，且面是一个长为，宽为的长方形． （1）求这个长方体的表面积； （2）若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是什么？（写出两个即可） 【答案】（1）（2）三角形，长方形（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体以及几何体的表面展开图，掌握长方体表面展开图的特征以及用一个平面截长方体所得到截面的形状是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，判断出“对面”，再根据表面积的计算方法进行计算即可； （2）根据用一个平面截长方体所得到截面的形状进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知：面与面是对面，面与面是对面，面与面是对面， 、两个面的面积之和是， 、两个面的面积之和也是， 又的面积的面积， 这个长方体的表面积为：． 答：这个长方体的表面积为 （2） 若用一个平面去截这个长方体，截面形状可能是三角形，长方形（答案不唯一）． 题型17.平面图形形状的识别 1．下面几何图形中，表示平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查认识立体图形，掌握立体图形、平面图形的定义是正确解答的关键． 根据平面图形、立体图形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、选项B、选项C分别是圆柱、四棱锥、圆锥，都是立体图形，因此不符合题意， 选项D是圆，是平面图形，因此选项D符合题意． 故选∶ D． 2．将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 3．如图，试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点． 例如：相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等． 不同点：正方形有四条边，而正五边形有五条边． 相同点：（1）___________；（2）___________； 不同点：（1）___________；（2）___________． 【答案】见解析 【分析】本题考查了几何图形，熟练掌握常见的几何图形的特征是解题关键．从边、角、顶点、对角线四个方面找出相同点与不同点即可得． 【详解】解：相同点：（1）正方形的每条边都相等，正五边形的每条边也都相等；（2）正方形的每个角都相等，正五边形的每个角也都相等； 不同点：（1）正方形有四个顶点，而正五边形有五个顶点；（2）正方形有两条对角线，而正五边形有五条对角线． 题型18.用七巧板拼图图形 1．将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 2．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 3．综合与实践 【背景知识】七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块，然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形．在“综合与实践”课上，同学们用一张正方形纸片制作了如图1的七巧板，并在每块图块上标了编号． 【实践探究】（1）直接写出图1中与编号⑥的图块面积相等的图块编号； （2）小王从图1中取出3块图块，拼出如图2的“小船”形状，设图1中正方形网格的边长为1，求图2“小船”的面积； 【实践任务】（3）任务要求：从图1的七巧板中选取四块图块，无重叠、无缝隙地拼接成一个完整的正方形，且正方形的顶点都在格点上．小红已选定编号为⑦的图块（摆放方式如图3所示），请再挑选另外三块图块，在给定的网格区域内帮助小红在图3中完成拼接，画出示意图，并标注相应图块的编号． 【答案】（1）④⑦；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）根据图块的面积，可得出答案； （2）根据题意计算出图2中对应图块面积即可； （3）依据题意，在图3中补充图形即可． 【详解】（1）解：根据图像，编号⑥的图块面积为， 图中编号④与⑦的面积也为2， 故答案为：④⑦． （2）解：由七巧板的规律可得： ，，， 所以，“小船”的面积为． （3）如图所示：（答案不唯一） ✺巩固测试 一、单选题 1．下图中的良渚文化神徽纹玉勒，它的外形可以近似地看作（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．棱柱 D．棱锥 【答案】A 【详解】解：它的外形可以近似地看作圆柱，A选项符合． 2．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是曲面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面与曲面的概念以及立体图形的结构特征判断即可． 【详解】解：A、长方体的各个面都是平面； B、圆柱的上下底面是平面，侧面是曲面； C、球的各个面都是曲面； D、圆锥的侧面是曲面，底面是平面． 3．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 4．图中是正方体的展开图的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】利用正方体展开图的模型逐个判断即可． 【详解】解：对于（1），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（2），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（3），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（4），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（5），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（6），属于“”模型，是正方体的展开图； 对于（7），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 对于（8），不属于任何模型，不是正方体的展开图； 综上，是正方体展开图的一共有5个． 5．某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 二、填空题 6．在墙角用若干个棱长为的小正方体摆成如图所示的几何体，则此几何体的体积为______． 【答案】10 【分析】本题考查由小正方体堆砌的几何体的体积，用小正方体的体积乘以个数即可得出结果． 【详解】解：由图可知，第1层有1个，第二层有3个，第三层有6个，共10个小正方体， ∴此几何体的体积为； 故答案为：10． 7．如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【答案】3 【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数． 【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个． 8．2024年6月，嫦娥六号在月球背面着陆，顺利完成月壤采样任务，带回了约的月壤，实现世界首次月背采样返回．一名学生为庆祝我国首次月背“挖宝”成功，做了如图正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是( )． 【答案】成 【分析】根据相对面的特点是之间一定相隔一个正方形求解即可． 【详解】解：把展开图折叠成正方体后，与“月”字相对面上的字是“成”． 9．用一个平面去截一个正方体，得到的截面的形状可能是：____________．（填序号） ①三角形；②梯形；③圆；④五边形；⑤六边形；⑥七边形． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查了正方体的截面．正方体有六个面，平面截正方体最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，截面可能为三角形、四边形（包括梯形）、五边形、六边形，不能是圆或七边形． 【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．截面可能为三角形、四边形（梯形，长方形，正方形）、五边形、六边形．即①②④⑤. 故答案为：①②④⑤． 10．如图，同一副七巧板分别拼成图、图两种图案，图是面积为的正方形，图是小兔图案，则图中阴影部分面积为________． 【答案】 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各块图形面积占总面积的比例，识别图中阴影部分由哪些图形组成，利用总面积计算各部分面积之和即可． 【详解】解：设图大正方形的面积为， ∴， 根据七巧板的性质，平行四边形的面积为，小正方形的面积为，小等腰直角三角形的面积为 观察图可知，阴影部分由一个平行四边形、一个正方形和两个小等腰直角三角形组成， ∴阴影部分的面积为： ． 三、解答题 11．如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． (1)将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是___________（填序号）． ①点动成线：②线动成面；③面动成体． (2)根据图中数据，求出该几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，点、线、面、体四者之间的关系，圆柱的体积； （1）观察图形旋转，可以得到一个圆柱，说明的事实是面动成体，即可作答． （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将这个长方形绕虚线旋转一周，可以得到一个圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故答案为：③； （2）解：该几何体的体积为． 12．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 13．在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点M处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚A处．当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”． （1）当时，在图2中画出从点M沿侧面环绕一周到达山脚点A处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路? （2）如果改变小山侧面顶角的大小，（1）中的结论是否发生变化呢?请利用量角器，刻度尺等工具画图探究，并把你的结论填入下表； 情形 度数 侧面 侧面 1 15° 2 30° （3）记，随着逐渐增大，在侧面、侧面上走的这两段路上下坡变化的情况为__________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【分析】（1）连接，进而根据题意确定上坡路和下坡路； （2）根据题意画出图形，进而根据（1）的方法填表即可； （3）根据三个图形的情况分析，即可得出结论 【详解】（1）如图，连接，                                根据题意，在侧面上走的是上坡路、侧面上走的是下坡路 （2）                                           情形 度数 侧面 侧面 下坡路 下坡路 上坡路 下坡路         （3）随着逐渐增大，在侧面始终是下坡路，侧面先下坡，在某一位置平缓，然后再上坡. 【点睛】本题考查了立体图形侧面展开图，两点之间线段最短，线段长短的比较，理解题意是解题的关键． 14．七巧板游戏是将一个正方形分割成七块． 然后用这七块拼接成丰富多彩的几何图形． 如图1是正方形的一种分割方法，并在每块上标了号码． (1)设正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 （填数字）； (2)图2是用该七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形、请在图中用粗实线画出各块拼板的轮廓线（不用写号码）； (3)请从图1的七巧板之中选五块板拼接成一个正方形，在图3中画出拼接后的示意图（标上号码），要求无重叠无缝隙，并写出该正方形的面积． 【答案】(1)4，6，7 (2)如图所示， (3)如图所示， 正方形的面积为8． 【分析】本题考查了正方形的性质，概率公式，七巧板，三角形的面积，熟练掌握七巧板是解题的关键． （1）先计算出各个图块的面积，可得出答案； （2）根据题意用七巧板拼成的一个类似“拱桥”图形即可； （3）依据题意，在图2中画出拼接后的示意图，再计算出面积即可． 【详解】（1）解：正方形网格的边长为1，则面积为2的图形块有 图形块1，2的面积为：，图形块3的面积为：，图形块4的面积为：，图形块5的面积为：，图形块6的面积为：，图形块7的面积为：， 面积为2的图形块有4，6，7， 故答案为：4，6，7； （2）略 （3）略 15．【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $