第03讲认识有理数（8大知识点+23大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2026年暑假新七年级数学衔接讲义（北师大版）

第03讲认识有理数（8大知识点+23大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正负数的定义 典型例题二 相反意义的量 典型例题三 正负数的实际应用 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 0的意义 典型例题六 有理数的分类 典型例题七 带“非”字的有理数 典型例题八 数轴的三要素及其画法 典型例题九 用数轴上的点表示有理数 典型例题十 利用数轴比较有理数的大小 典型例题十一 数轴上点的平移(动点问题) 典型例题十二 数轴上找原点 典型例题十三 数轴上整点覆盖问题 典型例题十四 数轴上的规律探究 典型例题十五 相反数的定义 典型例题十六 化简多重符号 典型例题十七 相反数的应用 典型例题十八 绝对值的几何意义 典型例题十九 求一个数的绝对值 典型例题二十 绝对值非负性 典型例题二十一 绝对值的其他应用 典型例题二十二 有理数大小比较 典型例题二十三 有理数大小比较的实际应用 知识点一：正数和负数的概念 1.正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2.注意：0既不是正数，也不是负数. 3.0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】小于零的数是负数，根据每个数的符号判断其正负性即可；本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵负数是指小于零的数， ∴在5，，0，，，中， ，是正数； ，是负数； 0 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴负数有，，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是___________． 【答案】202411232 【分析】本题主要考查用数字表示事件，根据题中记录的方法， 掌握各位数字表示的意义，判断即可． 【详解】解：根据题意得：2024年入学的11班23号女生的学籍号是202411232． 故答案为：202411232 知识点二：具有相反意义的量 1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量. 2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示. 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m. 【即时训练】 1．（2026·七年级上 广东清远·阶段测试）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】用正负数可以表示一对具有相反意义的量，根据题目给定的记法即可推导结果． 【详解】解：∵把收集到个塑料瓶记作个，收集和捐赠出去是一对相反意义的量， ∴相反意义的量需要用相反符号表示， 因此捐赠出去个塑料瓶记作个． 2．（2026·七年级上 辽宁铁岭·阶段测试）老师拿出一个弹簧固定在桌面上，指出弹簧的自然状态（既不拉伸也不压缩）为参考点，若弹簧从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧从自然状态向左压缩，记作______． 【答案】 【详解】解：弹簧从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧从自然状态向左压缩，记作. 知识点三：有理数 1.定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数. 2.有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 0 正整数 整数 负整数 有理数 负分数 正分数 分数 有理数 可以写成负分数形式的数 可以写成正分数形式的数 正整数 负分数 负整数 正分数 正有理数 负有理数 0 3.各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 正整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 正分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正数：大于0的数为正数，熟练掌握正数的定义是解题关键．根据正数的定义解答即可得． 【详解】解：，，，都小于0，都是负数， 0既不是正数，也不是负数， ，，1，，都大于0，都是正数，共有5个， 故选：C． 2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 【答案】 ，1，0，23 ，1，，，23 ，， 【分析】本题考查了整数、正有理数、负有理数的概念，解题的关键是明确各数集的定义，区分有理数与无理数． 依据整数（正整数、0、负整数）、正有理数（正的整数、分数、有限/无限循环小数）、负有理数（负的整数、分数、有限/无限循环小数）的定义，逐一筛选所给数． 【详解】解：①整数是：； ②正有理数是：； ③负有理数是：． 故答案为：①；②；③． 知识点四：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·暑期衔接）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 知识点五：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 湖南株洲·阶段测试）下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察温度计，明确刻度线的位置，根据正负数在温度计上的表示意义进行判断． 【详解】解：由图可知，温度计的刻度线在中间位置，以上表示零上温度，以下表示零下温度. ∵点B位于刻度线下方10个单位处， ∴点B表示的摄氏温度是． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图：数轴上有一点，则点所表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的认识与数的表示； 解题时，先观察数轴上到的单位长度划分，确定每一小格代表的数值，再根据点在数轴上的位置，从开始数，点位于第个小格的位置，从而得出点所表示的数，核心是利用 数轴的刻度划分来确定数的表示． 【详解】解：观察数轴，到之间被平均分成了份， ∴每一份代表的长度是， 从开始数，点位于第个小格的位置， ∴点所表示的数就是． 故答案为：． 知识点六：相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 福建三明·阶段测试）福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数， 改变符号后得到， 的相反数是． 2．（25-26七年级上·广西桂林·期中）___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点七：绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 【即时训练】 1．（2023·七年级上 河南南阳·暑期衔接）（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．（23-24七年级上·广西北海·单元测试）________． 【答案】16 【详解】解：． 知识点八：有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 广东佛山·阶段测试）2025年国内四款应用的月活跃用户环比增长率如下，其中增长率最高的是（     ） A．夸克（） B．（） C．豆包（） D．纳米（） 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较的实际应用，只需比较四个增长率的大小即可得到结果，正增长率大于负增长率，同为正增长率时，数值越大增长率越高． 【详解】将四个增长率按大小排序可得 ， 增长率最高的是选项A． 2．（23-24七年级上·云南楚雄·期中）若，则_____． 【答案】 【详解】解：因为，所以和都是负数，且离原点更远，因此． 【典型例题一 正负数的定义】 1．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，据此求解即可． 【详解】解：在数5，，，，，，，，中，正数有5，，，，共4个，负数有，，，，，共5个， 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作________米． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义；运用正负数去表示相反意义的量是解题关键． 【详解】解：∵水位上升5米记作米， ∴水位下降4米记作米， 故答案为：． 1．（2025·七年级上 辽宁铁岭·暑期衔接）中国是最早使用负数的国家．用红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示的数是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，由此即可得解． 【详解】解：如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示， 故选：D． 2．（2025·七年级上 河南郑州·阶段测试）下列与1.3米最接近的是（   ） A．人的皮肤的厚度 B．楼房的高度 C．地球的半径 D．书桌的高度 【答案】D 【分析】本题考查了物体长度的估算，根据生活实际即可解答，有1.3米的概念是解题的关键． 【详解】解：与1.3米最接近的是书桌的高度， 故选：D． 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，若测得实际净含量为，则记作“______”． 【答案】 【分析】本题考查了正负数，理解正负数表示的意义，然后根据含义解答即可． 【详解】解：实际净含量为，记作“”，表示比标注净含量多， 所以测得实际净含量为，比标注净含量少，可记作“”， 故答案为：． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：，，，；负数有：，，，，． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键． 正数前边有“”或省略“”的形式，比0要大，根据定义可以找到符合条件的正数；负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意0既不是正数，也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可得,正数有：，，，； 根据负数的定义可得,负数有：，，，，． 【典型例题二 相反意义的量】 1．（2026·七年级上 山西长治·阶段测试）2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正，零上记作， ∴与零上意义相反的零下温度记为负， 因此零下记作． 2．（25-26七年级上·北京昌平·单元测试）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵题目规定赢球用正数表示，赢球与输球是相反意义的量， ∴输球需要用负数表示， 因此输球可表示为． 2．（2026·七年级上 河南漯河·阶段测试）在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵失去电子和得到电子是相反意义的变化， ∵失去个电子的电荷数变化记为， ∴得到个电子的电荷数变化应记为． 3．（2026·七年级上 浙江杭州·阶段测试）钱塘江是浙江的母亲河，其水位随潮汐涨落变化明显．若某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作______米． 【答案】 【详解】解：某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作米． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)否 【分析】本题主要考查相反意义的量的定义，掌握 “相反意义的量需同时具备‘相反意义’和‘同类量’两个条件” 是解题的关键．依据相反意义的量的定义判断即可． 【详解】（1）∵ 得20分表示分数增加，扣10分表示分数减少， ∴ 得分为正，扣分为负，具有相反意义． （2）∵ 蓄水量增加表示水量增加，减少表示水量减少， ∴ 增加为正，减少为负，具有相反意义． （3）∵ 下去10名乘客表示乘客减少，上来8名乘客表示乘客增加， ∴ 下去为负，上来为正，具有相反意义． （4）∵ 周长是长度量，面积是面积量， ∴ 两者无相反方向含义，故无相反意义． 【典型例题三 正负数的实际应用】 1．（2026·七年级上 内蒙古通辽·阶段测试）冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目规定的记法，对应写出两个温度即可得到结果． 【详解】解：∵题目规定零上温度记为正数， ∴零上可表示为， ∵零下温度与零上温度是相反意义的量， ∴零下可表示为， 因此该日呼和浩特的最高气温与最低气温分别为． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）智能手表标注“续航：小时”，最长续航___________小时． 【答案】76 【详解】解：智能手表标注“续航：小时”，最长续航（小时）． 1．（25-26七年级上·云南昭通·期中）小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（    ） A．元 B．12元 C．元 D．25元 【答案】A 【详解】解：∵存入与取出是一对相反意义的量，题目规定存入记为正， ∴取出应记为负， ∴取出12元可记作元． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据定义找出气温为负数的城市，统计个数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴气温为负数的城市共3个． 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 【答案】20 【分析】本题考查正负数的实际意义，先确定计数的基准为及格标准23次，明确正负数表示的含义，再计算所求垫球次数即可． 【详解】解：由题意得，计数的基准为及格标准垫球23次，超过基准的次数记为正，低于基准的次数记为负，则记为的垫球次数是． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 【典型例题四 有理数的定义】 1．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）数可以表示多种意义，下列关于“2025”的表述中，表示数量多少的是（    ） A．2025人 B．第2025名 C．2025年 D．2025届学生 【答案】A 【分析】本题考查了基数与序数的意义的灵活运用，根据表示具体数量和表示顺序选择即可。 【详解】解：A.“2025人”中的“2025”表示人的具体数量，即有多少人，属于基数词，符合题意； B.“第2025名”中的“2025”表示名次顺序，属于序数词，不表示数量，不符合题意； C.“2025年”中的“2025”表示年份，用于标识时间，与数量无关，不符合题意 D.“2025届学生”中的“2025”表示学生所属的届数，属于序数词，强调顺序而非数量，不符合题意 综上，只有选项A中的“2025”表示数量多少， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的知识，依据有理数的定义，区分所给数中的有理数与无理数，再统计有理数的个数，有理数包含整数和分数，分数涵盖有限小数、无限循环小数，无理数为无限不循环小数． 【详解】解：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，分数包括有限小数、无限循环小数，无理数是无限不循环小数， 对所给数逐一判断： 在，这些数中， 是分数，属于有理数； 0是整数，属于有理数； 2021是正整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 可化为，是有限小数，属于有理数； 0.67是有限小数，属于有理数； 属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是负整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数． 综上所述，有理数共有8个． 故答案为：8． 1．（2026·七年级上 上海静安·阶段测试）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．（2026·七年级上 山东菏泽·阶段测试）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果 【详解】解：选项A的数值为，符合题意； 选项B的数值为，不等于，不符合题意； 选项C的数值为，不符合题意； 选项D的数值为，不符合题意 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的概念，熟练掌握有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（包括有限小数、无限循环小数）是解题的关键．根据有理数的定义（整数和分数统称有理数，包括有限小数、无限循环小数），逐一判断这8个数是否为有理数． 【详解】解：：分数，是有理数； ：整数，是有理数； ：分数，是有理数； （每两个2之间依次多一个6）：无限不循环小数，不是有理数； ：有限小数，是有理数； ：整数，是有理数； ：无限不循环小数，不是有理数； ：无限循环小数，是有理数． 有理数有，共6个． 故答案为：6． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）（推理能力）如果都是由几个不同整数构成的集合，既属于又属于的所有整数构成的集合叫作的交集，记作．例如：若，则． (1)已知，则________． (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了有理数的概念，新定义，正确理解题意是解题的关键． （1）根据交集的定义即可求解； （2）根据交集的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴由交集的定义可得：， 故答案为：； （2）解：∵，且， ∴或或． 【典型例题五 0的意义】 1．（25-26七年级上·云南昆明·暑期衔接）中国是最早认识和使用正负数的国家，我国数学名著《九章算术》中就出现了正负数的思想．下列关于正负数的说法中，错误的是（   ） A．正负数都有无穷多个 B．正负数都是整数 C．负数都比正数小 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的认识，熟练掌握正负数的相关知识点是解题的关键．根据正负数的相关知识点，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、正负数都有无穷多个，故此选项说法正确，不符合题意； B、正负数不都是整数，也可以是分数，故此选项说法错误，符合题意； C、负数都比正数小，故此选项说法正确，不符合题意； D、0既不是正数，也不是负数，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【分析】本题考查了正数和负数、0的意义等知识点，掌握零的意义是解题的关键． 根据0的意义逐项判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个． 故答案为：2． 1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的定义，0的意义，有理数分为正有理数，0和负有理数，有理数又分为整数和分数，0既不是正数，也不是负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：①有限小数和无限循环小数都是有理数，原说法正确； ②0是非负有理数，原说法正确； ③0既不是正数，也不是负数，但0是有理数，原说法错误； ④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，原说法正确． ∴说法正确的有①②④，共3个， 故答案为：3． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【答案】(1)收入元 (2)收入元 (3)支出元 (4)没有收入也没有支出 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，如果把收入为正，则支出就是负． 【详解】（1）解：元是正数，所以表示收入元； （2）解：元是正数，所以表示收入元； （3）解：元是负数，所以表示支出元； （4）解：元既不是正数也不是负数，所以表示没有收入也没有支出． 【点睛】本题考查正负数的实际意义，理解“正”和“负”的相对性，把握题中具有相反意义的量是解决问题的关键． 【典型例题六 有理数的分类】 1．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期中）在，0，，中不是分数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是有理数的分类，掌握有理数的相关概念和分类方法是解题的关键． 判断各数是否为分数，分数通常表示为两个整数的比（分母不为零），但整数不属于分数，即可判断选项． 【详解】解：是分数； 0是整数，不是分数； ，是分数； ，是分数． 不是分数是0． 故选：D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中，①，②，③，④，⑤，整数有___________，负分数有___________．（填序号） 【答案】 ① ②④ 【分析】本题考查整数和负分数的定义，解题的关键是明确整数包括正整数、0、负整数，负分数是小于0的分数且可以化成分数形式． 根据整数和负分数的定义，对每个数进行分类判断． 【详解】解：整数的判断：整数包括正整数．0、负整数，①是负整数；②是小数（可化成分数），不是整数；③是分数，不是整数；④是百分数（可化成分数），不是整数；⑤是无理数，不是整数．所以整数有①； 负分数的判断：负分数是小于0的分数，且可以化成分数形式．②，是负分数；④，是负分数；①是整数不是分数；③是正分数；⑤是无理数不是分数．所以负分数有②④． 故答案为：①；②④． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）在，0，，这四个数中，是负有理数的是（） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，掌握知识点是解题的关键． 负有理数是指负的有理数，即能表示为两个整数比且小于0的数，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数，负有理数是小于0的有理数． ，为正有理数； 0既不是正有理数也不是负有理数； 是负的无限循环小数，为负有理数； 为正有理数． ∴是负有理数的是． 故选C． 2．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）下面表格中，列举的数字不合适的是（    ） 例1 例2 例3 正分数 1.5 负整数 A． B．1.5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，需明确有理数分为整数和分数两部分． 根据整数分为正整数、0和负整数，正分数与负分数的区别即可得出答案． 【详解】解： 是负分数而不是负整数， 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段检测）所有正数组成正数集合，所有分数组成分数集合．把数，，，，，，，填入它们属于的圈内，其中区域应填的数是_________ 【答案】 【分析】本题考查的是正数与分数的集合运算，明确正数和分数的定义是解题的关键．根据正数大于、分数包括有限小数、无限循环小数和带分数的概念，分析每个数的归属，进而确定区域的数． 【详解】解：根据题意，区域的数应为正数但不属于分数， 所以区域应填的数是， 故答案为：1． 4．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 【答案】正数集：3，，，，； 整数集：，，，； 负分数集：，； 有理数集：，，，，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】解：，， 正数集：{3，，，，}； 整数集：{，，，}； 负分数集：{，}； 有理数集：{，，，，，，，，} 【典型例题七 带“非”字的有理数】 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的分类，理解有理数的相关定义是解题的关键．先根据正数的定义判断A的正误，再根据非负数是正数或0判断B的正误；再根据有理数也可分成整数和分数判断C，D的正误即可解答． 【详解】解：A．由是正数，故正确，符合题意； B．由为负数，故错误，不符合题意； C．1为整数，故错误，不符合题意； D．因为是分数，故错误，不符合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． 【答案】 ，6，，，0 6，，0 【分析】本题主要考查非负有理数的定义和整数的知识，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义； 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，整数包括正整数、负整数和0；根据非负有理数的定义即可求解； 【详解】解：根据非负有理数的定义可得：，6，，，0是非负有理数； 根据整数的定义可得：6，，0是整数， 故答案为：，6，，，0；6，，0； 1．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 【详解】解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 【答案】C 【分析】有理数是分数和整数的统称，有理数分为正有理数，负有理数和零，非负数是大于或等于零的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、正有理数，负有理数和零统称为有理数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、非负数是正数或者零，原说法错误，故此选项不符合题意； C、正有理数、负有理数和零统称为有理数，原说法正确，故此选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，原说法错误，故此选项不符合题意； 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非负整数是包括0和正整数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，都是非负整数； ，，，都不是非负整数； 即非负整数有4个， 故答案为：4 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 【答案】(1) (2) (3)0，2005 (4) 【详解】（1）解：正数集合：； （2）解：分数集合：； （3）解：非负整数集合：； （4）解：非负有理数集合： 【典型例题八 数轴的三要素及其画法】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【分析】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【详解】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，先确定1单位长度为2cm，可知原点的位置，进而得出答案． 【详解】根据题意可知1个单位长度是2cm， ∴原点的位置在3cm处， ∴1cm处所对应的数是． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 2．（23-24七年级上·河北沧州·单元测试）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴的三要素是正确解答此题的关键．根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐个判断即可． 【详解】解：（1）中没有原点，故错误； （2）符合数轴的三要素，故正确； （3）原点左边的数字、位置不对，故错误； （4）中单位长度不相等，故错误， 故选：B． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 4．（23-24七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【详解】解:作图如下： 【典型例题九 用数轴上的点表示有理数】 1．（2026·七年级上 山东青岛·阶段测试）小明正在面对数轴，调皮的弟弟滴上了一滴牛奶，正好盖住了一个整数，如图所示，数轴上被盖住的点表示的整数可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可知被盖住的整数是大于0的整数，据此结合选项可得答案． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的点表示的整数大于0， ∴四个选项中只有A选项中的3满足题意． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·暑期衔接）在下图括号里分别填入( )，( )，( )． 【答案】 0.6或 【分析】本题考查了小数的意义及数轴的认识．0的左边表示负数，0的右边表示正数，先看每个单位长度平均分成几份，再数格子即可． 【详解】解：如图： 故答案为：；0.6或；． 1．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）在数轴上，下列说法正确的是（   ） A．在的左边 B．在100的右边 C．在1的右边 D．1在的右边 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据有理数的大小和数轴的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 在的右边，该选项错误，不符合题意； B. 在100的左边，该选项错误，不符合题意； C. 在1的左边，该选项错误，不符合题意； D. 1在的右边，该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·福建漳州·暑期衔接）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查数轴与有理数，根据数轴上的点的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为； 因为， 故数轴上的点表示的数在和之间的是点； 故选C 3．（24-25七年级上·浙江宁波·暑期衔接）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A，B，C，D，则这四个点从左到右的顺序为_____，离原点距离最近的点为______． 【答案】 B，A， C，D A 【分析】此题考查了用数轴上的点表示数，把，，，四个有理数表示在数轴上，根据数轴即可得到答案． 【详解】解：把，，，四个有理数表示在数轴上如图， ∴这四个点从左到右的顺序为B，A， C，D，离原点距离最近的点为A， 故答案为：B，A， C，D；A， 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在数轴上分别标出表示1与，与，6与的点，并指出每对点与原点的关系． 【答案】数轴表示见解析，每对点都关于原点对称，且到原点的距离相等 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，掌握相关知识是解题的关键．先将各对数在数轴上表示出来，再观察各对数与原点间的位置关系即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知在数轴上，每对点分别位于原点的两侧，且到原点的距离相等， 因此，每对点都关于原点对称． 【典型例题十 利用数轴比较有理数的大小】 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）奇思和妈妈经常玩猜数游戏，清明假期时，妈妈问奇思：在数轴上，左边相邻的整数是（   ），请你与奇思一起猜猜选哪个． A． B．5 C． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上左边的数小于右边的数，据此可得答案． 【详解】解：在数轴上，左边相邻的整数是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·单元测试）观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行比较即可，熟记“数轴上的数，右边的总比左边的大”是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可知，， 故答案为：． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个在之间的整数，乙对数提出一个猜想，甲比较这个数和数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则乙猜中，若乙未猜中，则根据甲的回答调整猜想，直到猜中．利用如图所示的数轴，乙先猜想：“”，甲回答：“大了”；乙调整猜想：“”，甲回答：“小了”，则数所在范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与有理数及有理数的大小比较，根据题意可得，结合数轴即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 则数所在范围是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征． 逐一判断即可． 【详解】解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 3．（25-26七年级上·江苏苏州·暑期衔接）在下面中填数，所填的数中，_________更接近零． 【答案】 【分析】此题考查了数轴的认识和负数的意义，根据数轴上点表示的数写出结论即可． 【详解】解：如下图： 所填的数中，更接近零． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期中）（1）将有理数，0，2，，，2025，填入相应的集合内． 负有理数集合：｛                          …｝； 正整数集合：｛                            …｝； （2）现有以下四个数：，，，0．在下面的数轴上表示以上四个数，并将这四个数用“”号连接． 【答案】（1），；2，2025 （2）见解析； 【分析】本题考查了有理数的分类及有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据有理数的有关概念进行回答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】解：（1）负有理数集合：｛，，…｝； 正整数集合：｛2，2025，…｝； （2），， 在数轴上表示如下： ；． 【典型例题十一 数轴上点的平移(动点问题)】 1．（2026·七年级上 山东聊城·阶段测试）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．（25-26七年级上·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 1．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 2．（25-26七年级上·吉林长春·单元测试）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查数轴上点的平移，熟练掌握平移规则是解题的关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动时数值增加，向左移动时数值减少，即可得点表示的数． 【详解】解：∵点表示的数是，将点A沿数轴向右移动2个单位长度得到点， ∴点表示的数是． 故选：A． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·暑期衔接）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 4．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1)见解析 (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 【典型例题十二 数轴上找原点】 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是数轴上找原点、用数轴上的点表示有理数，解题关键是熟练掌握数轴的相关知识点． 依题得：，分别假设数轴的原点是，，，，判断是否满足题意即可． 【详解】解：依题得：， 当数轴的原点是点时，，，不满足 当数轴的原点是点时，，，不满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 当数轴的原点是点时，，，满足； 综上，点或点都有可能是数轴的原点． 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点的特征，熟悉相关性质是解题的关键．根据数轴上点的位置和有理数加法的性质，即可判断原点可能的位置． 【详解】解：若A点为原点，则，，，故符合题意； 若B点为原点，则，，无法判断，故不符合题意； 若C点为原点，则，，，故不符合题意； 若D点为原点，则，，，故不符合题意； 故选：A． 2．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【答案】向右移动4个单位长度 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键．原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【详解】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故答案为：向右移动4个单位长度 4．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 【典型例题十三 数轴上整点覆盖问题】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 2．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 1．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键；根据数轴可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 3．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 【典型例题十四 数轴上的规律探究】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·单元测试）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 2．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 1．（25-26七年级上·山东泰安·单元测试）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·单元测试）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 3．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，数的规律探究．根据数轴上点的坐标变化和平移规律(左减右加)，分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律(相邻两数都相差3)，写出表达式就可解决问题． 【详解】解：由题意可得：移动次后该点对应的数为(为正数)； 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， ∴移动奇数次后该点所表示的数为； 移动偶数次后该点所表示的数为． ∴移动20次后该点所表示的数为． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 【典型例题十五 相反数的定义】 1．（2026·七年级上 山东烟台）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是． 2．（2026·七年级上 青海西宁·阶段测试）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 1．（2023·七年级上 江苏徐州·暑期衔接）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 求的相反数只需改变原式的符号， 可得的相反数是． 2．（2026·七年级上 广西崇左·阶段测试）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 【答案】C 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴. 3．（2026·七年级上 贵州遵义·阶段测试）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来． 【详解】解：0的相反数是0， 的相反数是2.5， 的相反数是3， 的相反数是， 的相反数是． 4.5的相反数是． 在数轴上可表示为： 【典型例题十六 化简多重符号】 1．（2026·七年级上 陕西西安·阶段测试）（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：． 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）（1）______；（2）______；（3）______． 【答案】 【详解】解：； ； ． 1．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：与 ，互为相反数 与互为相反数， 与，互为相反数 与，互为相反数 与，相等，不互为相反数． 综上所述，共有4对数，互为相反数， 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的定义与多重符号的化简，掌握相关知识是解题的关键．先分别进行化简，再进行判断即可． 【详解】解：①由于，故与不互为相反数； ②由于，故与互为相反数； ③由于，，故与互为相反数； ④由于，，故与互为相反数； 综上，互为相反数的有②③④，共3组． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：___________，___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键；根据一个数前面的正号可以省略不写，一个负数的相反数为正数即可求解． 【详解】解：，； 故答案为：； 4．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题十七 相反数的应用】 1．（23-24七年级上·四川乐山·期中）不等于零的两个互为相反数的数，它们的（   ） A．和为1 B．积为0 C．商为 D．差为 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可知选项C正确 【详解】设不等于零的两个互为相反数的数为与，则 ，，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的运算方式即可 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，数轴上表示3的点是点__________________，表示的点是点__________________，它们与原点的距离__________________（填“相等”或“不相等”），所以3与互为__________________．    【答案】 A B 相等 相反数 【分析】根据有理数再数轴上的表示方法进行解答即可． 【详解】解：根据数轴可知：表示3的点是点，表示的点是点， 它们与原点的距离相等，所以3与互为相反数， 故答案为：①；②；③相等；④相反数． 【点睛】本题考查了有理数与数轴以及相反数的几何意义，熟练掌握有理数在数轴上的表示方法是解本题的关键． 1．（2023·七年级上 安徽蚌埠·阶段测试）在数轴上，点，关于原点对称．若点对应的数为5，则点对应的数是（    ） A． B．10 C．0 D．5 【答案】A 【分析】根据数轴上互为相反数的两点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵点，关于原点对称．点对应的数为5， ∴点对应的数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数与数轴，相反数的定义，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（　　） A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对 【答案】B 【分析】分两个数表示的数都是正数，负数，和一正一负三种情况讨论求解． 【详解】解：E、F都是正数时，E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的右侧； E、F都是负数时，E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的右侧； E表示负数，F表示正数时，E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的右侧， 综上所述，E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的右侧． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了数轴，是基础题，难点在于要分情况讨论． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，则a表示的数是______________． 【答案】负数 【分析】根据有理数的性质即可求解． 【详解】∵，即其相反数大于其本身 故a表示的数是负数 故答案为：负数． 【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数大于其本身的数为负数． 4．（23-24七年级上·全国·暑期衔接）a的相反数是什么？若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？ 【答案】见解析 【分析】a的相反数是－a，a可表示任意有理数，求任意一个数的相反数，就可以在这个数前加一个“－”号，注意0的相反数是0． 【详解】a的相反数是－a， ＋5的相反数是-5， -7的相反数是7， 0的相反数是0． 【点睛】本题考查求一个数的相反数，能够掌握相反数的求法是解决本题的关键． 【典型例题十八 绝对值的几何意义】 1．（25-26七年级上·山东济宁·暑期衔接）在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意得到a、b的具体值，再计算绝对值，结合有理数大小比较法则判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 对选项A，∵， ∴，A错误，不符合题意； 对选项B，∵， ∴，B错误，不符合题意； 对选项C，∵， ∴，C正确，符合题意； 对选项D，∵， ∴，D错误，不符合题意． 2．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若，则______． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值表示数轴上点到原点的距离，根据绝对值的定义，一个数的绝对值为3，则这个数可以是3或，由此即可得解，熟练掌握绝对值的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 1．（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 【答案】D 【分析】本题需结合绝对值的代数定义与几何意义，相反数的定义，根据绝对值的代数定义和几何意义逐一判断即可． 【详解】解：A、表示的是1与a的差的绝对值，原说法正确，不符合题意； B、表示的是1到a的距离，原说法正确，不符合题意； C、表示的是a到1的距离，原说法正确，不符合题意； D、1与a的差的相反数为，而当时，；当时，，原说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖南常德·单元测试）有理数，，2，3在数轴上的位置，离原点最近的数是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点到原点的距离，关键是明确“数轴上点到原点的距离等于该数的绝对值”，通过比较绝对值的大小确定离原点最近的数． 【详解】解：计算各数的绝对值： ，，，． 比较绝对值大小：， 因此的绝对值最小，离原点最近； 故选：B． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，则________． （2）已知，则________． （3）已知，则________． 【答案】 8 【分析】本题考查了绝对值的性质． （1）运用绝对值的性质求解即可． （2）运用绝对值的性质求解即可． （3）运用绝对值的性质求解即可． 【详解】解：（1）则， 故答案为：． （2），则， 故答案为：， （3） 故答案为：8 ． 4．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 【典型例题十九 求一个数的绝对值】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某厂家生产一种零件，标明零件的标准尺寸为．现检验一批零件，超过标准尺寸的部分记为正，不足的记为负．现有四个零件的尺寸记录如下：，，，．其中质量最好（即尺寸最接近标准尺寸）的零件是（  ） A．记录为的零件 B．记录为的零件 C．记录为的零件 D．记录为的零件 【答案】D 【分析】本题主要考查正数和负数的实际意义，绝对值，掌握其性质是做题的关键．根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，选取绝对值最小的数即可． 【详解】解：，，，， ， ∴质量最好（即尺寸最接近标准尺寸）的零件是记录为的零件． 故选：D． 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·周测）________． 【答案】10 【分析】先根据相反数的意义化简括号内的部分，再根据绝对值的性质计算结果． 【详解】解：． 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如果，那么（    ） A．6 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 2．（2025·七年级上 山西运城·暑期衔接）在工业生产中，大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某工厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确度最高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题词考查正负数的应用，求一个数的绝对值，绝对值的意义，熟练掌握正负数的应用和绝对值的意义是解题的关键． 分别 求出各项的绝对值，再比较大小，根据绝对值的意义可得绝对值越小的，精确度越高得出答案即可． 【详解】解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴精确度最高的是． 故选：D． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 4．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)5 (4) 【分析】本题主要考查绝对值的意义及化简多重符号，熟练掌握绝对值的意义及化简多重符号是解题的关键； （1）根据绝对值的意义可进行求解； （2）根据正负数的意义可进行求解； （3）根据正负数的意义可进行求解； （4）根据绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【典型例题二十 绝对值非负性】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟知． 【详解】解：∵，且， ∴，即为非负数，则为非正数， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1）______0；（2）______0；（3）______0；（4）______0． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，相反数的含义，根据，再进一步分析可得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 故答案为：，，， 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握其性质是解题的关键．根据绝对值的非负性即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（2023·七年级上 黑龙江大庆）下列说法正确的是（    ） A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可． 【详解】解：A．当时，，故该项错误； B．∵，∴当时取最小值，故该项错误； C．∵，∴，，∴，故该项错误； D．∵且，∴，∴，故该项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）若，则________；若，则a________0． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的意义，绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的意义，绝对值的非负性进行求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 4．（25-26七年级上·浙江）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 【典型例题二十一 绝对值的其他应用】 1．（2026·七年级上 广东河源·阶段测试）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·单元测试）若，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值的几何意义（一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离）是解题的关键． 本题可根据绝对值的定义，分析出绝对值为3的数有两个，进而得到的取值． 【详解】解：∵绝对值的定义是：一个数的绝对值表示这个数在数轴上所对应点到原点的距离， ∴到原点距离为3的点有两个，分别是3和， ∵， ∴或， 故答案为：． 1．（2026·七年级上 浙江温州·阶段测试）一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（     ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 【答案】A 【分析】电脑数量变化的大小与变化量的绝对值有关，正负仅表示进出方向，只需比较每日进出数量的绝对值大小即可得到答案． 【详解】解： ，，，． ∵ ∴5月6日仓库电脑数量变化最大． 2．（25-26七年级上·山西阳泉·期中）月饼是我国人民欢度中秋的节俗食品．某品牌月饼的产品参数中标明每个月饼的质量是，则下列月饼的质量最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的应用，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出四块月饼的质量与标准质量的差值的绝对值最小即可得． 【详解】解：∵，，，，且， ∴这四块月饼的质量最接近标准质量的是D． 故选：D． 3．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此题可根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴半径最接近标准半径的是①； 故答案为①． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2)0 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是按照运算顺序依次计算． （1）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再算减法运算即可； （2）先根据绝对值的性质计算各数的绝对值，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式=； （2）解：原式=． 【典型例题二十二 有理数大小比较】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据数轴上右边的数大于左边的数求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∵，，，， 故只有A选项不成立，符合题意． 2．（25-26七年级上·重庆）________（填或） 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 1．（2026·七年级上 广东云浮·阶段测试）小华在记录家庭收支情况，收入记为正，支出记为负．某天他有四笔记录（单位：元）：，0，，．在上述四个实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数大小比较的基本规则求解即可． 【详解】解：∵ 正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， ∴ 对给出的四个数比较得， ∴ 四个数中最小的数是． 2．（25-26七年级上·北京怀柔·期中）比较大小：与1的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵所有正数都大于负数，7和1都是正数，是负数， ∴． 3．（25-26七年级上·安徽六安·单元测试）_____（用“”“”“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)有没有最小的正数？有没有最大的负数？为什么？ (2)有没有绝对值最小的有理数？把它写出来． 【答案】(1)没有最小的正数；没有最大的负数，见解析 (2)有，0 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较与绝对值的定义． （1）对于任意一个正数，总存在另一个正数（如）比小，故不存在最小的正数；同理，对于任意一个负数，总存在另一个负数（如）比大，故不存在最大的负数，进行作答即可； （2）结合0的绝对值是0，任何非零的数的绝对值都大于0，则绝对值最小的有理数是0，即可作答． 【详解】（1）解：没有最小的正数；没有最大的负数， 理由：对于任意一个正数，总存在另一个正数（如）比小，故不存在最小的正数； 同理，对于任意一个负数，总存在另一个负数（如）比大，故不存在最大的负数 ∴没有最小的正数；没有最大的负数， （2）解：有绝对值最小的有理数， 理由：∵0的绝对值是0，任何非零的数的绝对值都大于0， ∴绝对值最小的有理数是0． 【典型例题二十三 有理数大小比较的实际应用】 1．（2026·七年级上 重庆·阶段测试）地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴四个数中最小的数是． 2．（25-26七年级上·广东深圳·单元测试）新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用，比较两个海拔高度，数值更小的对应中国陆地最低点 【详解】解：艾丁湖海拔高度为米，吐鲁番市区海拔高度为米， 因为， 所以艾丁湖的海拔更低，是中国陆地最低点． 故答案为：． 1．（2026·七年级上 广东深圳）比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据允许误差求出符合标准的乒乓球直径的取值范围，再判断各选项的数值是否在范围内即可得到答案． 【详解】解：∵标准直径为，允许误差为 ∴符合标准的直径满足 即 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，符合标准； 选项D：，不符合． 2．（2026·七年级上 陕西榆林·阶段测试）在标准大气压下，水、水银、酒精、甲苯的凝固点（单位：）分别为、、、，其中凝固点最低的物质是（     ） A．水 B．水银 C．酒精 D．甲苯 【答案】C 【分析】根据有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值更大的数更小，将给出的四个凝固点按大小排序，找出最小的数对应的物质即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， 因此凝固点最低的是，对应物质为酒精． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）氧气、氢气、氮气、氨气的液化温度（标准大气压下）分别是，，，，其中液化温度最低的气体是________． 【答案】氢气 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：各气体的液化温度分别为：氧气，氢气，氮气，氨气． ∵， ∴液化温度最低的气体是氢气． 故答案为：氢气． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 【答案】A 【分析】本题考查有理数的基本概念和性质，需准确理解有理数的定义和数轴表示方法； 选项A符合有理数的定义；选项B错误，因为绝对值大小与原数大小可能不一致；选项C错误，因为数轴上任意两点间有无数个有理数；选项D错误，因为所有有理数都可以用数轴上的点表示 【详解】A、∵ 有理数的定义是能写成分数形式 （、 为整数，）的数， ∴ A正确． B、∵ 取绝对值后，原数大小与绝对值大小不一定一致，例如 ，但 ， ∴ B错误． C、∵ 数轴上任意两点间都有无数个有理数， ∴ 与 之间有无数个有理数， ∴C错误． D、∵ 所有有理数都可以用数轴上的点表示， 是有理数， ∴ D错误． 故选：A． 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 【详解】解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上表示的数，由题意可得点表示的数是或，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 5．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时． 【详解】解：、起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整点包括起点到终点共个； 、起点不在整点： 若线段起点在两个整点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整点从到，共个； 综上，线段盖住的整点个数为或． 故选：A． 6．（25-26七年级上·福建福州·单元测试）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，求一个数的绝对值，求一个数的相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 利用绝对值和相反数求出各值，然后在数轴上表示出各点，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：由数轴可得， 在数轴上表示出如下： ∴， 故选：B． 7．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，相反数，绝对值的意义，数形结合是解答本题的关键．观察数轴可知：，，从而得到，且，，即可得解． 【详解】解：由图可知，，， ，且，， ． 故选：C ． 8．（25-26七年级上·四川广元·期中）如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 【答案】B 【分析】本题考查了有理数与数轴，绝对值的几何意义，由题意得，即可确定是负数，再由，得到，且，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，且， ∴原点O 的位置在点B与C之间且离点B近， 故选：B． 9．（2026·七年级上 河北·暑期衔接）衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键．信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，信号最强即为的绝对值最小， 各选项的绝对值分别为：， ∵， ∴的绝对值最小，信号最强， ∴信号最强的是． 10．（2026·七年级上 广东深圳·阶段测试）下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可； 【详解】解：，， 且，故最小； 11．（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】本题考查了0的意义、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．根据0的意义、有理数的分类、数轴的性质、相反数、绝对值、有理数的大小比较逐个判断即可得． 【详解】解：①有理数中，0的意义不仅可以表示没有，也可以作为某些数量的界限，如温度等；则原说法错误； ②带“＋”的数不一定是正数，带“－”的数不一定是负数，如，既不是正数也不是负数；则原说法错误； ③最大的负整数是，则原说法正确； ④数轴上原点两侧满足绝对值相等的数互为相反数，例如2和在原点两侧，但它们不互为相反数，则原说法错误； ⑤任何数的绝对值都大于或等于0；则原说法正确； ⑥需要限定都是负数，即两个负数比较大小，绝对值大的反而小，例如比较两个正数时，，它们的绝对值也满足，则原说法错误； 故答案为：③⑤． 12．（23-24七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，若B点表示的数为b，则____________．    【答案】 【分析】A点表示的数是，从A点到1平均分了3份，据此可推出从A到0也是3份，可知从0到1一共平均分了6份，B点到原点是2份，即：，由此得到点B表示的数，再求出绝对值即可． 【详解】解：原点位置如图，    点B表示的数为：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴和绝对值，关键是熟悉数轴的单位长度的意义． 13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 14．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是的相反数，则______． 【答案】2 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵是的相反数， ∴． 15．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【答案】(1)小璐的视力最差，理由见解析 (2)名学生中有人需要配戴眼镜 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握有理数大小的比较方法． （1）根据，即可得出答案； （2）先求出各个数据的绝对值，然后与进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵， ∴最小， ∴小璐的视力最差． （2）解：∵，，， ，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 17．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，分别求，，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，正确掌握绝对值的非负性是解题的关键． 直接利用绝对值的非负性分析求解，即可解题． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 18．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)点B在数轴上对应的数为7 【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键． （1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点； （2）根据点B所在数轴位置即可求解； （3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O为原点； （2）解：点B表示的数是4， 故答案为：4； （3）解：由题意知，点A运动路程为：， 又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动， 所以此时点B表示的数为：． 19．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲认识有理数（8大知识点+23大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 正负数的定义 典型例题二 相反意义的量 典型例题三 正负数的实际应用 典型例题四 有理数的定义 典型例题五 0的意义 典型例题六 有理数的分类 典型例题七 带“非”字的有理数 典型例题八 数轴的三要素及其画法 典型例题九 用数轴上的点表示有理数 典型例题十 利用数轴比较有理数的大小 典型例题十一 数轴上点的平移(动点问题) 典型例题十二 数轴上找原点 典型例题十三 数轴上整点覆盖问题 典型例题十四 数轴上的规律探究 典型例题十五 相反数的定义 典型例题十六 化简多重符号 典型例题十七 相反数的应用 典型例题十八 绝对值的几何意义 典型例题十九 求一个数的绝对值 典型例题二十 绝对值非负性 典型例题二十一 绝对值的其他应用 典型例题二十二 有理数大小比较 典型例题二十三 有理数大小比较的实际应用 知识点一：正数和负数的概念 1.正数和负数的定义： 定义 示例 补充 正数 大于0的数叫做正数.有时，为了明确表达意义，在正数的前面也加上符号“+”（读作“正”） 3，1.8%，3.5，都是正数 正数前的“+”可以省略不写 负数 在正数前加上符号“”的数叫作负数 3，2.7%，，4.5都是负数 负数前的“”不能省略 2.注意：0既不是正数，也不是负数. 3.0的意义 （1）0是正负数的分界； （2）0可以表示“没有”； （3）0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用数表示，低于基准的量用负数表示. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）有关负数的记载，最早出现在我国《九章算术》中．下列各数中：5，，0，，，，负数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段检测）某同学学籍号为201103051， 表示他是2011年入学的3 班5号男生（男生用“1”表示， 女生用“2”表示），那么2024年入学的11班23号女生的学籍号是___________． 知识点二：具有相反意义的量 1.定义：在日常生活中，人们常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量. 2.表示方法：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示. 例如：若规定海平面的海拔高度为0m，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86 m,记作+8 848.86 m. 【即时训练】 1．（2026·七年级上 广东清远·阶段测试）在一次环保公益活动中，志愿者们记录塑料瓶的收集和捐赠情况．如果把收集到8个塑料瓶记作个，那么捐赠出去8个塑料瓶记作（     ） A．个 B．0个 C．个 D．个 2．（2026·七年级上 辽宁铁岭·阶段测试）老师拿出一个弹簧固定在桌面上，指出弹簧的自然状态（既不拉伸也不压缩）为参考点，若弹簧从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧从自然状态向左压缩，记作______． 知识点三：有理数 1.定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数可以写成分数的形式；可以写成分数形式的数称为有理数. 2.有理数的分类： 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 0 正整数 整数 负整数 有理数 负分数 正分数 分数 有理数 可以写成负分数形式的数 可以写成正分数形式的数 正整数 负分数 负整数 正分数 正有理数 负有理数 0 3.各类数的含义： 名称 描述 名称 描述 正整数 大于0的整数 正整数 小于0的整数 正分数 大于0的分数 正分数 小于0的分数 非负数 正数和0 非正数 负数和0 非正整数 负整数和0 非负整数 正整数和0 【即时训练】 1．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）在，0，，，，，1，，，中，正数有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在，，1，0，，，，，23，中， 整数是_________________； 正有理数是_________________； 负有理数是_________________． 知识点四：数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 【即时训练】 1．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·暑期衔接）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 知识点五：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 湖南株洲·阶段测试）下图温度计上，如果点A表示的摄氏温度是，则点B表示的摄氏温度是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海·阶段检测）如图：数轴上有一点，则点所表示的数为___________． 知识点六：相反数 1. 相反数的定义：像和，和这样只有符号不同的两个数，互为相反数． 2. 相反数的表示方法：一般地，a和互为相反数．这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0． 例如：当时，，1的相反数是，同时，的相反数是． 特别地，0的相反数是0. 3. 相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 4. 求一个数的相反数：在任意一个数前面添上“”号，新的数就表示原数的相反数． 5. 多重符号的化简：与“”号个数无关，有奇数个“”号，结果为负，有偶数个“”号，结果为正． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 福建三明·阶段测试）福建北部山区冬季某天凌晨气温为，的相反数是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广西桂林·期中）___________． 知识点七：绝对值 1. 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作． 2. 绝对值的判断：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．即如果0,那么；如果，那么；如果，那么． 3. 绝对值非负性的应用：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则且． 【即时训练】 1．（2023·七年级上 河南南阳·暑期衔接）（     ） A． B． C．3 D． 2．（23-24七年级上·广西北海·单元测试）________． 知识点八：有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3. 作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【即时训练】 1．（2026·七年级上 广东佛山·阶段测试）2025年国内四款应用的月活跃用户环比增长率如下，其中增长率最高的是（     ） A．夸克（） B．（） C．豆包（） D．纳米（） 2．（23-24七年级上·云南楚雄·期中）若，则_____． 【典型例题一 正负数的定义】 1．（24-25七年级上·黑龙江鸡西·阶段检测）指出5，，，，，，，，各数中正数和负数的个数分别为（   ） A．5个，4个 B．4个，5个 C．5个，5个 D．4个，6个 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作________米． 1．（2025·七年级上 辽宁铁岭·暑期衔接）中国是最早使用负数的国家．用红色的算筹表示正数，黑色是算筹表示负数，如果2个红色的算筹表示，那么3个黑色的算筹表示的数是（   ） A．2 B． C．3 D． 2．（2025·七年级上 河南郑州·阶段测试）下列与1.3米最接近的是（   ） A．人的皮肤的厚度 B．楼房的高度 C．地球的半径 D．书桌的高度 3．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一瓶饮料，饮料瓶瓶身标注的净含量是，测得实际净含量为，记作“”，若测得实际净含量为，则记作“______”． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在，，，，，，，，中，哪些是正数，哪些是负数？ 【典型例题二 相反意义的量】 1．（2026·七年级上 山西长治·阶段测试）2026年意大利冬奥会期间，位于阿尔卑斯山区的科尔蒂纳丹佩佐雪上赛场夜间温度较低，平均约在零下，而白天受阳光照射，温度可升至零上．若零上记作，则零下记作（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京昌平·单元测试）在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在“2025年河南乡村足球联赛”中，若规定球队净胜球为表示赢3球，那么输2球可表示为（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 河南漯河·阶段测试）在化学反应中，一个锌原子失去2个电子，其电荷数变化可记为，那么，一个铜离子得到2个电子的电荷数变化可记为（     ） A． B． C．0 D． 3．（2026·七年级上 浙江杭州·阶段测试）钱塘江是浙江的母亲河，其水位随潮汐涨落变化明显．若某观测点的水位上升3.2米记作米，则水位下降1.8米记作______米． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面哪对量是具有相反意义的量? (1)在知识竞赛中，得20分和扣10分． (2)一座水库蓄水量增加和减少． (3)一辆公共汽车在一个停车站下去10名乘客和上来8名乘客． (4)长方形的周长是和面积是． 【典型例题三 正负数的实际应用】 1．（2026·七年级上 内蒙古通辽·阶段测试）冬季来临，我国北方城市气温差异显著．天气预报显示，某日呼和浩特的最高气温为零上，最低气温为零下．若规定零上温度记为正数，则该日呼和浩特的最高气温与最低气温可分别表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）智能手表标注“续航：小时”，最长续航___________小时． 1．（25-26七年级上·云南昭通·期中）小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（    ） A．元 B．12元 C．元 D．25元 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）祖国大地幅员辽阔，即使同一季节，各地温度差异也很大，下表是2025年我国五个城市冬季平均气温表，其中平均气温为负数的城市有（    ）个． 城市 北京 上海 哈尔滨 广州 长春 冬季平均气温（单位：） 6 15 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级上·福建漳州·期中）中考体育“排球对墙垫球”项目男生的及格标准为23次，为方便记录，在平时训练时小航把垫球25次记为，则记为的垫球次数是__________次． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【典型例题四 有理数的定义】 1．（25-26七年级上·浙江金华·自主招生）数可以表示多种意义，下列关于“2025”的表述中，表示数量多少的是（    ） A．2025人 B．第2025名 C．2025年 D．2025届学生 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）在，这些数中，有理数有__________个． 1．（2026·七年级上 上海静安·阶段测试）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．（2026·七年级上 山东菏泽·阶段测试）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）下列8个数：，0，，（每两个2之间依次多一个6），1.010010001，，π，，其中有理数有__________个． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）（推理能力）如果都是由几个不同整数构成的集合，既属于又属于的所有整数构成的集合叫作的交集，记作．例如：若，则． (1)已知，则________． (2)已知，且，求的值． 【典型例题五 0的意义】 1．（25-26七年级上·云南昆明·暑期衔接）中国是最早认识和使用正负数的国家，我国数学名著《九章算术》中就出现了正负数的思想．下列关于正负数的说法中，错误的是（   ） A．正负数都有无穷多个 B．正负数都是整数 C．负数都比正数小 D．0既不是正数，也不是负数 2．（2025七年级上·全国·专题练习）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段检测）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）列关于有理数的描述 ①有限小数和无限循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数有______个． 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）如果把收入 元记作 元，那么下列各数分别表示什么意义？ (1)元 (2)元 (3)元 (4)元 【典型例题六 有理数的分类】 1．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭·期中）在，0，，中不是分数的是（   ） A． B． C． D．0 2．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各数中，①，②，③，④，⑤，整数有___________，负分数有___________．（填序号） 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）在，0，，这四个数中，是负有理数的是（） A． B．0 C． D． 2．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）下面表格中，列举的数字不合适的是（    ） 例1 例2 例3 正分数 1.5 负整数 A． B．1.5 C． D． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·阶段检测）所有正数组成正数集合，所有分数组成分数集合．把数，，，，，，，填入它们属于的圈内，其中区域应填的数是_________ 4．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）把下列各数填入相应的括号内： ，，，0，，，，，， 正数集： 整数集： 负分数集： 有理数集： 【典型例题七 带“非”字的有理数】 1．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）下列选项中，大括号中所填的数正确的是（    ） A．正数集合： B．非负数集合： C．分数集合： D．整数集合： 2．（25-26七年级上·北京·阶段检测）在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． 1．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）下列说法中，正确的是（　　） A．正有理数、负有理数统称为有理数 B．非负数就是正数 C．正有理数、负有理数和零统称为有理数 D．有理数包括小数和分数 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在，0，，，2025，，，10中，非负整数有______个． 4．（23-24七年级上·山东泰安·期中）把下列各数分别填入相应的集合里． (1)正数集合：{         } (2)分数集合：{            } (3)非负整数集合：{            } (4)非负有理数集合：{            } 【典型例题八 数轴的三要素及其画法】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 2．（24-25七年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是___________． 1．（25-26七年级上·全国·暑期衔接）下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北沧州·单元测试）判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024七年级上·全国·专题练习）下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有__________个． 4．（23-24七年级上·全国·课前预习）画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【典型例题九 用数轴上的点表示有理数】 1．（2026·七年级上 山东青岛·阶段测试）小明正在面对数轴，调皮的弟弟滴上了一滴牛奶，正好盖住了一个整数，如图所示，数轴上被盖住的点表示的整数可能是（   ） A．3 B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·暑期衔接）在下图括号里分别填入( )，( )，( )． 1．（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）在数轴上，下列说法正确的是（   ） A．在的左边 B．在100的右边 C．在1的右边 D．1在的右边 2．（23-24七年级上·福建漳州·暑期衔接）如图，数轴上的点表示的数在和之间的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．（24-25七年级上·浙江宁波·暑期衔接）已知，，，四个有理数在数轴上所对应的点分别为A，B，C，D，则这四个点从左到右的顺序为_____，离原点距离最近的点为______． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）请在数轴上分别标出表示1与，与，6与的点，并指出每对点与原点的关系． 【典型例题十 利用数轴比较有理数的大小】 1．（24-25七年级上·山东济南·期中）奇思和妈妈经常玩猜数游戏，清明假期时，妈妈问奇思：在数轴上，左边相邻的整数是（   ），请你与奇思一起猜猜选哪个． A． B．5 C． 2．（24-25七年级上·甘肃武威·单元测试）观察如图中的数轴，、、表示的数由小到大的顺序为______． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）数学活动课上，甲、乙两位同学玩猜数游戏．甲默想一个在之间的整数，乙对数提出一个猜想，甲比较这个数和数的大小，然后回答“大了”“小了”或者“相等”，若相等则乙猜中，若乙未猜中，则根据甲的回答调整猜想，直到猜中．利用如图所示的数轴，乙先猜想：“”，甲回答：“大了”；乙调整猜想：“”，甲回答：“小了”，则数所在范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建漳州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 3．（25-26七年级上·江苏苏州·暑期衔接）在下面中填数，所填的数中，_________更接近零． 4．（25-26七年级上·广西崇左·期中）（1）将有理数，0，2，，，2025，填入相应的集合内． 负有理数集合：｛                          …｝； 正整数集合：｛                            …｝； （2）现有以下四个数：，，，0．在下面的数轴上表示以上四个数，并将这四个数用“”号连接． 【典型例题十一 数轴上点的平移(动点问题)】 1．（2026·七年级上 山东聊城·阶段测试）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级上·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 1．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·吉林长春·单元测试）数轴上点A表示的数是，将点A向右移动2个单位长度后得到点B，此时点B表示的数是（   ） A．1 B． C．0 D．2 3．（25-26七年级上·河北石家庄·暑期衔接）点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 4．（25-26七年级上·福建·期中）已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【典型例题十二 数轴上找原点】 1．（23-24七年级上·山东聊城·期中）如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的倍，那么数轴的原点是，，，中的哪个点?（         ） A．点 B．点 C．点或点 D．点或点 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图，若，则该数轴的原点可能为（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．（2026·七年级上 河北邢台·阶段测试）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 3．（24-25七年级上·广东深圳·阶段检测）小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 4．（25-26七年级上·安徽·期中）根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【典型例题十三 数轴上整点覆盖问题】 1．（25-26七年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 2．（25-26七年级上·上海松江·单元测试）在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 1．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 2．（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【典型例题十四 数轴上的规律探究】 1．（25-26七年级上·湖南湘潭·单元测试）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 1．（25-26七年级上·山东泰安·单元测试）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 2．（25-26七年级上·江苏镇江·单元测试）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 3．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 4．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【典型例题十五 相反数的定义】 1．（2026·七年级上 山东烟台）的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 青海西宁·阶段测试）在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 1．（2023·七年级上 江苏徐州·暑期衔接）的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 广西崇左·阶段测试）若A代表一个数，满足，则A代表的数是（     ） A． B． C． D．2026 3．（2026·七年级上 贵州遵义·阶段测试）如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 4．（23-24七年级上·全国·课后作业）画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 【典型例题十六 化简多重符号】 1．（2026·七年级上 陕西西安·阶段测试）（   ） A． B． C． D．2 2．（26-27七年级上·全国·暑期衔接）（1）______；（2）______；（3）______． 1．（25-26七年级上·山东临沂·阶段检测）下列各对数中，互为相反数的有(    ) 与 ，与，与，与，与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；        ②与； ③与；        ④与． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）化简：___________，___________． 4．（25-26七年级上·全国）化简下列各数： (1)    ； (2)． 【典型例题十七 相反数的应用】 1．（23-24七年级上·四川乐山·期中）不等于零的两个互为相反数的数，它们的（   ） A．和为1 B．积为0 C．商为 D．差为 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）如图，数轴上表示3的点是点__________________，表示的点是点__________________，它们与原点的距离__________________（填“相等”或“不相等”），所以3与互为__________________．    1．（2023·七年级上 安徽蚌埠·阶段测试）在数轴上，点，关于原点对称．若点对应的数为5，则点对应的数是（    ） A． B．10 C．0 D．5 2．（23-24七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（　　） A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）若，则a表示的数是______________． 4．（23-24七年级上·全国·暑期衔接）a的相反数是什么？若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相反数怎样表示？ 【典型例题十八 绝对值的几何意义】 1．（25-26七年级上·山东济宁·暑期衔接）在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海青浦·期中）若，则______． 1．（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）关于的说法不正确的是（　　） A．1与a的差的绝对值 B．1到a的距离 C．a到1的距离 D．1与a的差的相反数 2．（25-26七年级上·湖南常德·单元测试）有理数，，2，3在数轴上的位置，离原点最近的数是（   ） A． B． C．2 D．3 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，则________． （2）已知，则________． （3）已知，则________． 4．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【典型例题十九 求一个数的绝对值】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期中）某厂家生产一种零件，标明零件的标准尺寸为．现检验一批零件，超过标准尺寸的部分记为正，不足的记为负．现有四个零件的尺寸记录如下：，，，．其中质量最好（即尺寸最接近标准尺寸）的零件是（  ） A．记录为的零件 B．记录为的零件 C．记录为的零件 D．记录为的零件 2．（23-24七年级上·重庆九龙坡·周测）________． 1．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）如果，那么（    ） A．6 B． C．0 D． 2．（2025·七年级上 山西运城·暑期衔接）在工业生产中，大模型的引入，显著提升了工业产品的精密度．下面是某工厂四台接入大模型的机床生产的轴承的误差数据，其中精确度最高的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如果，则______，如果，则______．化简：______． 4．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题二十 绝对值非负性】 1．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1）______0；（2）______0；（3）______0；（4）______0． 1．（23-24七年级上·甘肃庆阳·阶段检测）如果x，y表示两个有理数，且，则（　　） A．x，y互为非零的相反数 B．x，y的符号相反 C．x，y的值有无数个 D． 2．（2023·七年级上 黑龙江大庆）下列说法正确的是（    ） A． B．若取最小值，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）若，则________；若，则a________0． 4．（25-26七年级上·浙江）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【典型例题二十一 绝对值的其他应用】 1．（2026·七年级上 广东河源·阶段测试）某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南岳阳·单元测试）若，则______． 1．（2026·七年级上 浙江温州·阶段测试）一电脑公司5月6日到9日仓库的电脑进出记录如下（记运进为正，单位：台）： 日期 5月6日 5月7日 5月8日 5月9日 进出数量 0 则仓库里电脑数量变化最大的一天是（     ） A．6日 B．7日 C．8日 D．9日 2．（25-26七年级上·山西阳泉·期中）月饼是我国人民欢度中秋的节俗食品．某品牌月饼的产品参数中标明每个月饼的质量是，则下列月饼的质量最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 4．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【典型例题二十二 有理数大小比较】 1．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）m、n在数轴上对应的点如图所示，对于m、n可能的值，下列结论不成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·重庆）________（填或） 1．（2026·七年级上 广东云浮·阶段测试）小华在记录家庭收支情况，收入记为正，支出记为负．某天他有四笔记录（单位：元）：，0，，．在上述四个实数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26七年级上·北京怀柔·期中）比较大小：与1的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26七年级上·安徽六安·单元测试）_____（用“”“”“”连接）． 4．（25-26七年级上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)有没有最小的正数？有没有最大的负数？为什么？ (2)有没有绝对值最小的有理数？把它写出来． 【典型例题二十三 有理数大小比较的实际应用】 1．（2026·七年级上 重庆·阶段测试）地球上四个地点的海拔高度如下表（单位：米） 地点 珠穆朗玛峰 吐鲁番盆地 死海 马里亚纳海沟 海拔高度 以上个数中，最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东深圳·单元测试）新疆吐鲁番盆地的艾丁湖海拔高度约为米，吐鲁番市区的海拔高度约为米，已知这两个海拔数据中，有一个对应中国陆地最低点，则该最低点的海拔高度约为________米． 1．（2026·七年级上 广东深圳）比赛用乒乓球的标准直径规定为，允许误差为．现随机抽取4个乒乓球进行检测，测得它们的直径（单位：）如下，其中符合标准的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·七年级上 陕西榆林·阶段测试）在标准大气压下，水、水银、酒精、甲苯的凝固点（单位：）分别为、、、，其中凝固点最低的物质是（     ） A．水 B．水银 C．酒精 D．甲苯 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）氧气、氢气、氮气、氨气的液化温度（标准大气压下）分别是，，，，其中液化温度最低的气体是________． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列说法中正确的是（    ） A．能够写成分数（其中、为整数，）的数叫做有理数 B．两个有理数分别取绝对值后，原来较大数的绝对值较大 C．在数轴上表示的点与表示的点之间的有理数有5个 D．因为10不能被7整除，所以不能用数轴上的点表示 3．（24-25七年级上·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 4．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 5．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为，若在数轴上画出一条长的线段，则盖住的整点个数是（   ） A．2025或2026 B．2024或2025 C．2025 D．2026 6．（25-26七年级上·福建福州·单元测试）是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·湖南岳阳·阶段检测）、两个有理数在数轴上对应的点的位置如图，把，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·四川广元·期中）如图，数轴上A，B，C 三点所表示的数分别为a，b，c，且点 B到点A，C 的距离相等．如果有，那么该数轴的原点O 的位置应该在（    ） A．点A的左边 B．点B与C之间且离点B近 C．点A与B之间且离点A 近 D．点C的右边 9．（2026·七年级上 河北·暑期衔接）衡量手机信号强弱的标准是（参考信号接收功率），其单位的数值范围在至．绝对值越小表示信号越强，则下列信号最强的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·七年级上 广东深圳·阶段测试）下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 11．（25-26七年级上·四川达州·期中）①有理数中，0的意义表示没有：②带“+”的数就是正数，带“－”的数就是负数；③最大的负整数是；④数轴上原点两侧的数互为相反数；⑤任何数的绝对值都大于或等于0；⑥两个数比较大小，绝对值大的反而小．其中说法正确的有_____． 12．（23-24七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，若B点表示的数为b，则____________．    13．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 14．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知是的相反数，则______． 15．（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）若和互为相反数，那么_______． 16．（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 17．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，分别求，，的值． 18．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点； (2)点B表示的数是 ； (3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数． 19．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 20．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 学科网（北京）股份有限公司 $