第19讲 认识方程（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第19讲 认识方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断各式是否是方程 题型2 列方程 题型3 判断是否是一元一次方程 题型4 根据一元一次方程求参数的值 题型5 判断是否是一元一次方程的解 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 题型8 等式的基本性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 方程、等式、性质1、性质2、变形、化归、等量关系。 1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区别。 2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；性质2（两边同乘或除以同一不为0的数，仍相等）。 3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。 4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工具价值。 学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。 学习难点：理解等式性质2中“除以同一个不为0的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 【易错提醒】 方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。 即时即练1．下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【易错提醒】 一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。如 x2-1=0是二次， =1是分式，0×x=5无解，均不是。化简后判断。 即时即练1．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型1 判断各式是否是方程 【例1】下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0是方程，2+3=5不是（无未知数），2x>1不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未知数。直接找“=”和字母。 【变式1-1】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 题型2 列方程 【例3】若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【例4】代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【技巧归纳】 找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。列完后检查左右意义一致。 【变式2-1】一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【变式2-2】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 题型3 判断是否是一元一次方程 【例5】下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例6】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a是否为零。如2x+3=0是一元一次，x²=4不是（次数2），1/x=3不是（分母含x）。 【变式3-1】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列方程：①；②；③；④；⑤．其中一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4 根据一元一次方程求参数的值 【例7】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【例8】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【技巧归纳】 先将方程化为标准形式ax+b=0，令x的系数a≠0且x的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0是一元一次，则m-2≠0得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为0。解参数并检验。 【变式4-1】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【变式4-2】若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 题型5 判断是否是一元一次方程的解 【例9】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【例10】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式5-1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 【例11】若是关于的方程的解，则的值为___________． 【例12】若是方程的解，则a的值是___． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式6-1】若是关于的方程的解，则的值为________． 【变式6-2】已知是方程的解，则a的值为_______． 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 【例13】若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【例14】若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式7-1】若是关于的方程的解，则的值是_______． 【变式7-2】已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 题型8 等式的基本性质 【例15】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【例16】下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【技巧归纳】 性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0的数，等式仍成立。应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2反向也成立（同除为0除外）。用于方程变形。 【变式8-1】下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-2】下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一、单选题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 5．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 二、填空题 6．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 7．关于的方程的解为，则的值为 _____ 8．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 9．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 10．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 三、解答题 11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 12．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 15．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19讲 认识方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断各式是否是方程 题型2 列方程 题型3 判断是否是一元一次方程 题型4 根据一元一次方程求参数的值 题型5 判断是否是一元一次方程的解 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 题型8 等式的基本性质 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 方程、等式、性质1、性质2、变形、化归、等量关系。 1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区别。 2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；性质2（两边同乘或除以同一不为0的数，仍相等）。 3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。 4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工具价值。 学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。 学习难点：理解等式性质2中“除以同一个不为0的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 【易错提醒】 方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。 即时即练1．下列式子中，是方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即可求解． 【详解】解：A 、不是等式，不满足条件，故A错误； B、是不等式，不是等式，不满足条件，故B错误； C、是等式，但不含未知数，不满足条件，故C错误； D、既含有未知数，又是等式，满足方程的定义，故D正确． 知识点02 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【易错提醒】 一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。如 x2-1=0是二次， =1是分式，0×x=5无解，均不是。化简后判断。 即时即练1．下列各式；；；中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 2．已知是关于的一元一次方程，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，据此列出等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且． 解得，即或． 又． 因此． 知识点03 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 知识点04 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【易错提醒】 方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。 即时即练1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A．有意义，，根据等式性质2，等式两边同乘，可得，故A正确； B．若，需时，才有；当时，对任意，等式都成立，因此该结论不一定成立，故B错误； C．若，整理得，仅当时才有，故C错误； D．若，当，时，需才有；当或中任意一个为0时，对任意，该等式都成立，因此该结论不一定成立，故D错误． 题型1 判断各式是否是方程 【例1】下面式子中，是方程的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意； B．是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意； C．是等式并且含有未知数，是方程，符合题意； D．含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意． 【例2】下列式子属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，两个条件缺一不可，据此判断各选项即可. 【详解】解：含有未知数的等式叫做方程. ∵选项A 是等式，但不含未知数，∴A不符合要求； ∵选项B 含有未知数，但不是等式，∴B不符合要求； ∵选项C 含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C不符合要求； ∵选项D 是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D符合要求. 【技巧归纳】 方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0是方程，2+3=5不是（无未知数），2x>1不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未知数。直接找“=”和字母。 【变式1-1】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程需同时满足“含有未知数”且“是等式”两个条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，错误； B、是等式，但不含未知数，不是方程，错误； C、既是等式，又含有未知数，是方程，正确； D、不是等式，不是方程，错误． 【变式1-2】下列各式中，①；②；③；④；⑤，是方程的有（   ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可； 【详解】根据方程的定义可知：，是方程，有个． 题型2 列方程 【例3】若一个数的倍与的和等于，据此可列方程为：________． 【答案】 【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为． 【例4】代数式比代数式的值小，用方程表示为_______． 【答案】 【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程． 【详解】解：由题意可知，代数式比代数式的值小， 可得等量关系：等于减， 因此列方程得：． 【技巧归纳】 找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。列完后检查左右意义一致。 【变式2-1】一个数的相反数加上这个数的等于12，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程． 根据题意，数的相反数为，加上的即，由此列方程即可． 【详解】解：数的相反数是，这个数的是g， 根据题意可得． 故答案为：． 【变式2-2】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮x块，由题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮，根据黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮，列方程即可． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要x块黑皮，块白皮， 由题意得． 故答案为：． 题型3 判断是否是一元一次方程 【例5】下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都是整式的方程是一元一次方程”逐一判断选项即可. 【详解】解： 选项A，未知数的次数为2，不是一元一次方程，选项A不符合题意； 选项B，方程含分式，不是整式方程，不是一元一次方程，选项B不符合题意； 选项C，方程只含有1个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，是一元一次方程，选项C符合题意； 选项D，方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项D不符合题意． 【例6】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，含有2次项，不是一元一次方程； B、，不是等式，不是一元一次方程； C、，含有两个未知数，不是一元一次方程； D、，是一元一次方程. 【技巧归纳】 一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a是否为零。如2x+3=0是一元一次，x²=4不是（次数2），1/x=3不是（分母含x）。 【变式3-1】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程”，逐一判断各选项即可求解． 【详解】解： A选项含有两个未知数，不符合一元一次方程定义； B选项中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义； C选项只含一个未知数，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义； D选项分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义． 【变式3-2】下列方程：①；②；③；④；⑤．其中一元一次方程有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，依此逐个判断每个方程即可． 【详解】解：①，∵分母含有未知数，不是整式方程，∴不是一元一次方程； ②，∵只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程； ③，∵只含1个未知数，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程； ④，∵未知数的最高次数为2，∴不是一元一次方程； ⑤，∵含有2个不同未知数，∴不是一元一次方程； 综上，一元一次方程共有2个． 题型4 根据一元一次方程求参数的值 【例7】已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【例8】已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【技巧归纳】 先将方程化为标准形式ax+b=0，令x的系数a≠0且x的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0是一元一次，则m-2≠0得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为0。解参数并检验。 【变式4-1】已知关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-2】若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 题型5 判断是否是一元一次方程的解 【例9】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入中，方程左边，此时方程左右两边相等，故原方程的解是，符合题意； B、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； C、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； D、把代入中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是，不符合题意； 故选：A． 【例10】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式5-1】下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式5-2】整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 题型6 已知一元一次方程的解求参数的值 【例11】若是关于的方程的解，则的值为___________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得 ， 移项得， 系数化为得． 【例12】若是方程的解，则a的值是___． 【答案】5 【分析】把代入已知方程列出关于的新方程，通过解新方程来求的值． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式6-1】若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 【变式6-2】已知是方程的解，则a的值为_______． 【答案】 【分析】把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得， 解得. 题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值 【例13】若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 【例14】若是关于的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴． 【技巧归纳】 将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快速检验。 【变式7-1】若是关于的方程的解，则的值是_______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 【变式7-2】已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 【答案】 【分析】将代入方程可得，即，再代入整式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 题型8 等式的基本性质 【例15】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断． 【详解】解：A、当时，，，则，故选项不符合题意； B、当时，，故选项符合题意； C、当时，，，则，故选项不符合题意； D、如果，当时，，故选项不符合题意； 【例16】下列变形符合等式性质的是 （    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即可． 【详解】解：A：若，两边同时加3，得，本选项变形错误； B：若，两边同时加2，得，本选项变形错误； C：若，两边同时除以，得，本选项变形错误； D：若，两边同时乘以，得，本选项变形正确． 【技巧归纳】 性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0的数，等式仍成立。应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2反向也成立（同除为0除外）。用于方程变形。 【变式8-1】下列等式变形，错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可． 【详解】解：A若，根据等式性质1，两边同时加1，得，变形正确； B若，根据等式性质2，两边同时乘2，得，变形正确； C若，根据等式性质1，两边同时减1，得，变形正确； D若，当时，与无意义，只有才能得到，变形错误． 【变式8-2】下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 一、单选题 1．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可． 【详解】一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为；③是整式方程． 依次判断各选项： 选项：，满足三个条件，是一元一次方程； 选项：，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件； 选项：，含有和两个未知数，不满足条件； 选项：，未知数的最高次数为，不满足条件； 故选． 2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项． 【详解】A、如果，等式两边都除以，那么，A正确； B、如果，当时，得不出，B错误； C、如果，等式两边都减6，那么，C正确； D、等式两边都乘，得，D正确． 3．已知是关于x的方程的解，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】方程的解满足方程，将已知解代入原方程，即可计算求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得：化简得， 移项计算得， 因此的值为． 4．解方程时，墨水把其中一个数字染成了，查阅答案方程的解为，则处的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的解代入求参数即可． 【详解】 解：将代入原方程可得， 解得处的数为． 5．关于x的方程的一个解是，则（   ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】D 【分析】将代入方程，得到，从而，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴代入得， 即， ∴ ． 二、填空题 6．由“的2倍与3的和等于5”可列方程为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可 【详解】解：x的2倍可表示为，x的2倍与3的和可表示为， 根据和等于5，列方程为 7．关于的方程的解为，则的值为 _____ 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值． 【详解】解：将代入原方程，得， 解得：． 8．已知等式是关于x一元一次方程，则_________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0的方程叫做一元一次方程，其一般形式为（a，b是常数且），据此列出关于m的关系式，即可求解得到m的值． 【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得 且， 由可得或， 解得或， 结合即， 可得， 故答案为：1． 9．若关于的一元一次方程的解是，则的值是_______ 【答案】 【分析】由方程的解可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴， ∴， ∴． 10．已知关于的方程（，为常数），无论为何值，它的解总是，则的值是______． 【答案】 17 【分析】将已知解代入原方程，整理为关于的等式，根据等式对任意恒成立，得到关于和的关系式，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 因为无论为何值，方程的解总是，所以等式对任意恒成立， 因此， 解得：，， 将结果代入得． 三、解答题 11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质． (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么； (4)如果，那么． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个不为0数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键． （1）由等式的基本性质1逐项验证即可得到答案； （2）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （3）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案； （4）由等式的基本性质2逐项验证即可得到答案． 【详解】（1）解：正确． 等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1； （2）解：正确． 等式两边都除以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2； （3）解：正确． 等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2； （4）解：正确． 由知，等式两边都乘以同一个不为0的数，结果仍相等．依据：等式性质2． 12．根据下列条件列出方程： (1)的倍与的和等于的倍与的差． (2)某数的比它本身小6．（设这个数为） (3)一个数的倍加上等于这个数的倍减去．（设这个数为） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出方程即可； （3）根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：由题意可得：． 13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程． (1)x与3的差是5． (2)代数式与的值相等． (3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为． (4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数． 【答案】(1)，是一元一次方程 (2)，不是一元一次方程 (3)，不是一元一次方程 (4)，不是一元一次方程 【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义． （1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可； （4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可． 【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程； （2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程； （3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程； （4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程． 15．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推． 根据以上材料，回答下列问题： (1)【理解定义】 ①计算：______，______（用含x，y的代数式表示）； ②观察前三次的结果，猜想______（用含n，x，y的代数式表示）． (2)【初步应用】 当时， ①______； ②若关于x的方程有无数个解，则______． (3)【深入探究】 当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式其中m和k均为整数，则的值为______． 【答案】(1)① ， ；② (2)①；② (3)4或0或 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，求出m和k的值即可解决问题． 【详解】（1）解：①由题意知， ， ②因为，，，，…， 所以 （2）解：①因为 则当时， ②当时，， 则原方程为， 整理得，， 因为此方程有无数个解， 所以 （3）解：由题意知， 原多项式为 因为n为大于3的正整数， 所以是一个二项式． 因为该多项式是关于x，y的五次三项式， 所以或 当，即时，要使该多项式为五次的， 则， 解得或， 经检验，都符合题意， 所以或； 当，即时，要使该多项式为五次的， 则或， 由得，或， 经检验，都符合题意， 所以或0； 由得，或， 时，该多项式为九次三项式，故舍去； 当时，符合题意， 则， 综上所述，的值为4或0或 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $