13.3 三角形的内角与外角 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以“核心母题+变式”分层设计，通过基础计算、思想方法到综合应用的梯度路径，巩固三角形内角与外角知识，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|内角和定理、外角性质|母题1直接计算与证明，变式巩固概念| |方法应用|方程/整体/设参思想|母题2-3结合方程思想，母题5设参导角，培养推理能力| |综合拓展|方位角、折叠等实际情境|母题4方位角应用，母题5变式2折叠问题，体现模型意识|

13.3 三角形的内角与外角 第1课时 三角形的内角 【知识梳理】 1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 . 2.证明的概念：证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理，最后推出结论(求证)的正确过程. 【核心母题】 核心母题1三角形的内角和定理①——直接计算 【例1】如图, 已知△ABC. 求证: ∠A+∠B+∠C=180°. 【变式】如图, 则x= . 核心母题2三角形的内角和定理②——方程思想 【例2】(1) 在△ABC中, ∠B=2∠A, ∠C-∠A=20°. 求∠A的度数. (2)(教材P₁₂例1变式)如图,在△ABC中, ∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线, 求∠A和∠ADB 的度数. 【变式】在△ABC中, ∠B是∠A的2倍, ∠C 比∠B大30°, 求∠A 的度数. 【方法总结】运用方程思想解答有关角的度数问题，重点是找到等量关系. 学科网（北京）股份有限公司 核心母题3 三角形的内角和定理③——整体思想 【例3】如图, 点D, E分别在AB, AC上, 若∠B=55°, ∠C=25°, 则∠1+∠2= °. 【变式】如图, 若∠1+∠2+∠3+∠4=240°, 则∠A= °. 核心母题4 三角形的内角和定理④——方位角 【例4】(教材P₁₂例2变式)如图，轮船从B处以50 nmile/h的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东 60°方向上,求∠A 的度数. 【变式】如图，A 点在 B 点的北偏东40°方向，A 点在C点的北偏西50°方向，则∠BAC的度数是( ) A. 85° B. 80° C. 90° D. 95° 核心母题5 三角形的内角和定理⑤——设参导角思想 【例5】如图,AO, BO分别平分∠CAB, ∠CBA, OD⊥AO交AB于点D, 探究∠C与∠BOD的数量关系. (1)【特例探究】若∠CAB=48°, ∠CBA=70°, 则∠C与∠BOD 的数量关系为_______ ; (2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第2课时 直角三角形的性质与判定 【知识梳理】 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角① . 2.直角三角形的判定：有两个角② 的三角形是直角三角形. 【核心母题】 核心母题 1 直角三角形的两个锐角互余 【例1】(1) 在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=2∠A, 则∠A=( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° (2)(教材P₁₄练习 T₁变式) 如图,∠ACB=90°, CD⊥AB于点 D. 若∠A=35°, 则∠BCD 的度数是 . 【变式】(教材P₂₂T₆变式) 如图, 在△ABC中, ∠C=∠ABC, ∠A=36°,BD是边AC上的高, 则∠DBC的度数是 . 核心母题2 直角三角形与角平分线 【例2】(教材P₁₄例3变式) 如图, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠CAB 的平分线AD交BC于点E,BD⊥AB, ∠ABC=40°. 求∠D 和∠CED的度数. 【变式】如图,在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CAB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点 D, CE⊥AD于点 E. (1) 求∠B 的度数; (2) 求∠DCE 的度数. 核心母题3 有两个角互余的三角形是直角三角形 【例3】(教材 练习 变式)如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C, △ABD是直角三角形吗?为什么? 【变式1】如图,AD⊥BC于点D,BF是△ABC的角平分线,BF, AD交于点 E. 若∠1=∠2, 求证：△ABC是直角三角形. 【变式2】(教材P₂₁T₁变式) 给出下列条件: ①∠A:∠B:∠C=2:3:5; ②∠A=∠C-∠B;③∠A=∠B=3∠C;④∠A=∠B=∠C. 其中, 能确定△ABC是直角三角形的条件有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 核心母题4 角平分线结合高 【例4】(教材P₂₂T₇变式)如图, 在△ABC中, AD是高, AE,BF是角平分线, 且AE, BF相交于点 O, ∠ABC=60°, ∠C=70°. (1) 求∠AOB的度数; (2) 求∠DAE 的度数; (3)探究:小明认为如果把条件“∠ABC=60°,∠C=70°”改为“∠C-∠ABC=10°”也能得到∠DAE的度数.你认为能吗?若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 第3课时 三角形的外角 【知识梳理】 1.三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的① 组成的角，叫作三角形的外角. 2.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它② 的两个内角的③ . 拓展：三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角. 【核心母题】 核心母题 1 三角形外角的概念及三角形外角性质的证明 【例1】如图, 已知△ABC, ∠ACD是△ABC的一个外角, 求证: ∠ACD=∠A+∠B. 核心母题2 三角形外角性质的运用①——直接计算 【例2】(1) 如图1, 在△ABC中, D是BC的延长线上的一点, ∠B=40°, ∠ACD=120°, 则∠A= °. (2) 图2 中∠α= °. 【变式】(1)如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=40°, ∠1=60°, 则∠2= °. (2) 如图2, D为△ABC的边BC的延长线上一点,DF⊥AB于点F, 交AC于点E, ∠A=35°,∠D=42°, 则∠ACD= °. 核心母题3 三角形外角性质的运用②----方程思想 【例3】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°. 求∠DAC的度数. 【变式】如图, 在△ABC中, D是边BC上一点, ∠1=∠2, ∠3=∠4,∠BAC=63°, 则∠DAC= °. 核心母题4 三角形外角性质的运用③——导角思想 【例4】(教材P₁₇T₁₁改编) 如图,CE 是△ABC的外角∠ACD的平分线, 且CE交BA的延长线于点 E. 若∠B=36°, ∠E=24°, 求∠BAC的度数. 【变式】如图, DE分别交△ABC的边AB,AC于点D,E, 交BC的延长线于点 F, 若∠A=40°,∠B=70°, ∠F=30°, 求∠AEF 的度数. 核心母题5 三角形外角性质的运用④——添加辅助线 【例5】(一题多解) 如图, ∠A=51°, ∠B=20°, ∠C=30°, 求∠BDC的度数. 【变式1】某零件的形状如图所示,按照要求∠B=20°,∠BCD=110°,∠D=30°,则∠A= °. 【变式2】在三角形纸片中，点D，E分别在边 AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置. (1) 如图1, 当点C'在边BC上时, 若∠ADC'=58°, 则∠C= °; (2) 如图2, 当点C'在△ABC 内部时, 若∠BEC'=42°, ∠ADC'=20°, 求∠C的度数; (3) 如图3, 当点C'在△ABC外部时, 若∠BEC'的度数为x, ∠ADC'的度数为y, 请用含x,y的代数式表示∠C的度数. 13.3三角形的内角与外角 第1课时 三角形的内角 【知识梳理】 1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180° . 2.证明的概念：证明是由题设(已知)出发，经过一步步的推理，最后推出结论(求证)的正确过程. 【核心母题】 核心母题1 三角形的内角和定理①——直接计算 【例1】如图, 已知△ABC. 求证: ∠A+∠B+∠C=180°. 证明:过点 A 作直线l∥ BC, ∴∠B=∠1 (两直线平行,内错角相等), ∠C=∠2(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠BAC+∠2=180°(平角的定义), ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换) . 【变式】如图, 则x= 60 . 核心母题2 三角形的内角和定理②——方程思想 【例2】(1) 在△ABC中, ∠B=2∠A, ∠C-∠A=20°. 求∠A的度数. 解: 40°. (2)(教材P₁₂例1变式)如图,在△ABC中, ∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线,求∠A和∠ADB 的度数. 解: 设∠A=x°, 则∠ABC=∠C=2x°. ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x+2x+2x=180, 解得x=36, ∴∠A=36°. 又∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°. 【变式】在△ABC中, ∠B是∠A的2倍, ∠C比∠B大30°, 求∠A 的度数. 解: 设∠A=x, 则∠B=2x, ∠C=2x+30°. ∵∠A+∠B+∠C=180°, ∴x+2x+2x+30°=180°, 解得x=30°, ∴∠A=30°. 【方法总结】运用方程思想解答有关角的度数问题，重点是找到等量关系. 核心母题3 三角形的内角和定理③——整体思想 【例3】如图, 点D, E分别在AB, AC上, 若∠B=55°, ∠C=25°, 则∠1+∠2= 80 °. 【变式】如图, 若∠1+∠2+∠3+∠4=240°, 则∠A= 60 °. 核心母题4 三角形的内角和定理④——方位角 【例4】(教材P₁₂例2变式)如图，轮船从B处以50 nmile/h的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，求∠A 的度数. 解: 根据题意, 得∠1=∠2=30°. 又∵∠ACD=60°, ∴∠ACB=∠1+∠ACD=30°+60°=90°. ∵∠CBA=75°-30°=45°, ∴∠A=180°-∠ACB-∠CBA=180°-90°-45°=45°. 【变式】如图，A 点在 B 点的北偏东40°方向，A点在C点的北偏西50°方向，则∠BAC的度数是( C ) A. 85° B. 80° C. 90° D. 95° 核心母题 5 三角形的内角和定理⑤——设参导角思想 【例5】如图,AO,BO分别平分∠CAB, ∠CBA,OD⊥AO交AB于点D, 探究∠C与∠BOD的数量关系. (1)【特例探究】若∠CAB=48°, ∠CBA=70°, 则∠C与∠BOD 的数量关系为∠C=2∠BOD ; (2)【一般情形】对于一般情形，(1)中结论还成立吗?请说明理由. 解: (2) 成立, 理由如下: 设∠OAB=x, ∠OBA=y, ∵AO, BO分别平分∠CAB, ∠CBA, ∴∠CAB=2x, ∠CBA=2y, ∴∠AOB=180°-x-y, ∠C=180°-2x-2y=2(90°-x-y). ∵OD⊥OA, ∴∠AOD=90°, ∴∠BOD=∠AOB-90°=90°-x-y, ∴∠C=2∠BOD. 第2课时 直角三角形的性质与判定 【知识梳理】 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角① 互余 . 2.直角三角形的判定：有两个角② 互余 的三角形是直角三角形. 【核心母题】 核心母题1 直角三角形的两个锐角互余 【例1】(1) 在△ABC中, ∠C=90°, ∠B=2∠A, 则∠A= 30° . (2)(教材P₁₄练习T₁变式) 如图,∠ACB=90°, CD⊥AB于点 D. 若∠A=35°, 则∠BCD的度数是 35° . 【变式】(教材P₂₂T₆变式)如图, 在△ABC中, ∠C=∠ABC, ∠A=36°,BD是边AC上的高, 则∠DBC的度数是 18° . 核心母题2 直角三角形与角平分线 【例2】(教材P₁₄例3变式) 如图, 在△ABC中, ∠C=90°, ∠CAB的平分线AD交BC于点E,BD⊥AB, ∠ABC=40°. 求∠D 和∠CED的度数. 解: ∠D=65°, ∠CED=115°. 【变式】如图,在△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CAB=2∠B,AD平分∠BAC交BC于点 D, CE⊥AD于点E. (1) 求∠B 的度数; (2) 求∠DCE 的度数. 解: (1) ∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠B=90°. ∵∠CAB=2∠B, ∴3∠B=90°, ∴∠B=30°. (2) ∵AD平分∠BAC, ∴∠CAB=30°, ∴∠ADC=90°-∠CAD=60°. ∵CE⊥AD, ∴∠DCE=90°-∠ADC=30°. 核心母题3 有两个角互余的三角形是直角三角形 【例3】(教材P₁₄练习 T₂变式)如图,CE⊥AD,垂足为E, ∠A=∠C,△ABD 是直角三角形吗?为什么? 解：△ABD 是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD, ∴∠CED=90°, ∴∠C+∠D=90°. ∵∠A=∠C, ∴∠A+∠D=90°, ∴△ABD是直角三角形. 【变式1】如图,AD⊥BC于点 D,BF是△ABC的角平分线,BF,AD交于点 E. 若∠1=∠2, 求证：△ABC是直角三角形. 证明: ∵BF 是△ABC的角平分线, ∴∠ABF=∠CBF. ∵AD⊥BC,∴∠CBF+∠BED=90°. 又∵∠BED=∠1, ∴∠CBF+∠1=90°. ∵∠1=∠2, ∴∠ABF+∠2=90°, ∴∠BAC=90°, 即△ABC是直角三角形. 【变式2】(教材P₂₁T₁变式) 给出下列条件: ①∠A:∠B:∠C=2:3:5; ②∠A=∠C-∠B;③∠A=∠B=3∠C;④∠A=∠B=∠C. 其中, 能确定△ABC是直角三角形的条件有(B) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 核心母题4 角平分线结合高 【例4】(教材P₂₂T₇变式) 如图, 在△ABC中,AD是高, AE, BF 是角平分线, 且AE, BF相交于点O, ∠ABC=60°, ∠C=70°. (1) 求∠AOB 的度数; (2) 求∠DAE的度数; (3)探究:小明认为如果把条件“∠ABC=60°,∠C=70°”改为“∠C-∠ABC=10°”也能得到∠DAE的度数.你认为能吗?若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由. 解: (1) ∵∠ABC=60°, ∠C=70°, ∴∠BAC=50°. ∵AE,BF是∧ABC的角平分线, 01 又∠C-∠ABC=10°, 又 ∴∠AEB=95°=∠ADE+∠EAD,∴ ∠EAD=5°. 第3课时 三角形的外角 【知识梳理】 1.三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的① 延长线 组成的角，叫作三角形的外角. 2.三角形的外角的性质：三角形的外角等于与它② 不相邻 的两个内角的③ 和 . 拓展：三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角. 【核心母题】 核心母题 1 三角形外角的概念及三角形外角性质的证明 【例1】如图, 已知△ABC, ∠ACD是△ABC的一个外角, 求证: ∠ACD=∠A+∠B. 证明：(证法不唯一)如图，过点C作CM∥BA. ∵CM∥BA, ∴∠1=∠A (两直线平行, 内错角相等), ∠2=∠B (两直线平行，同位角相等)， ∴∠1+∠2=∠A+∠B, 即∠ACD=∠A+∠B. 核心母题2 三角形外角性质的运用①——直接计算 【例2】(1)如图1, 在△ABC中, D是BC的延长线上的一点, ∠B=40°, ∠ACD=120°, 则∠A= 80 °. (2) 图2中∠α= 105 °. 【变式】(1)如图1,在△ABC中,D,E分别为AB,AC上的点,点F在BC的延长线上,DE∥BC,∠A=40°, ∠1=60°, 则∠2= 100 °. (2) 如图2, D为△ABC的边BC的延长线上一点,DF⊥AB于点F, 交AC于点E, ∠A=35°,∠D=42°, 则∠ACD= 83 °. 核心母题3 三角形外角性质的运用②——方程思想 【例3】如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,∠C=∠DAC,∠B=∠ADB,∠BAC=87°.求∠DAC的度数. 解: ∵∠C=∠DAC, ∴设∠C=∠DAC=x, 则∠B=∠ADB=∠DAC+∠C=2x. ∵∠BAC=87°, ∴∠B+∠C=93°, ∴x+2x=93°, ∴x=31°, ∴∠DAC=31°. 【变式】如图, 在△ABC中,D 是边BC上一点, ∠1=∠2, ∠3=∠4,∠BAC=63°, 则∠DAC= 24 °. 核心母题4 三角形外角性质的运用③——导角思想 【例4】(教材P₁₇T₁₁改编) 如图,CE 是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. 若∠B=36°, ∠E=24°, 求∠BAC的度数. 解: 84°. 【变式】如图,DE分别交△ABC的边AB,AC于点D,E, 交BC的延长线于点 F, 若∠A=40°,∠B=70°, ∠F=30°, 求∠AEF 的度数. 解: ∵∠ACF为△ABC的外角, ∴∠ACF=∠A+∠B=40°+70°=110°. ∵∠AEF 为△CEF的外角, ∴∠AEF=∠ACF+∠F=110°+30°=140°. 核心母题5 三角形外角性质的运用④——添加辅助线构造外角 【例5】(一题多解) 如图, ∠A=51°, ∠B=20°, ∠C=30°, 求∠BDC的度数. 解: 连接AD 并延长, 则∠1+∠ABD=∠3, ∠2+∠ACD=∠4. ∵∠BDC=∠3+∠4, ∠BAC=∠1+∠2, ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°. C 【变式1】某零件的形状如图所示, 按照要求∠B=20°, ∠BCD=110°, ∠D=30°, 则∠A= 60 °. 【变式2】在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置. (1) 如图1, 当点 C'在边BC上时, 若∠ADC'=58°, 则∠C= 29 °; (2) 如图2, 当点C'在△ABC 内部时, 若∠BEC'=42°, ∠ADC'=20°, 求∠C的度数; (3) 如图3, 当点C'在△ABC外部时,若∠BEC'的度数为x, ∠ADC'的度数为y,请用含x,y的代数式表示∠C的度数. 解: (2)31°; $