13.3 三角形的内角与外角-【无敌战卷】2025-2026学年八年级上册数学跟踪课时卷（人教版·新教材）

13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 一、选择题 1.在△ABC中，若∠A=20°，∠B=4∠C,则∠C等于 A.32 B.36° C.40° D.20° 2.如图，一把直尺EF压在三角尺的∠BAC上，与AC,AB两边分别相交于点M和点N,已知∠BAC= 30°，那么∠CME+∠BNF的值是 ( A.150° B.180° C.135° D.不能确定 E MN B M (第2题图) (第3题图) (第4题图) (第5题图) 3.如图，在△ABC中，∠A=40°，BD,CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BDC的度数是（) A.115 B.110° C.125 D.100 4.如图，点M是射线ON上的一个动点（不与点0重合），点A在射线ON外，且∠AON=30°，在点M运 动的过程中，若△AOM为锐角三角形，则∠A的取值范围是 () A.60°<∠A<90° B.30°<∠A<60° C.0°<∠A<30° D.0°<∠A<90° 5.如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外面时，此时测得∠1=112°， ∠A=40°，则∠2的度数为 () A.32 B.33° C.34° D.38° 6.(新定义阅读)当三角形中一个内角B是另外一个内角。的)时，我们称此三角形为“友好三角形”， 如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度数为()》 A.108°或27° B.108°或54° C.27°，54或108 D.54°，84或108 二、填空题 7.已知△ABC的三个内角度数之比为2：3：4，则△ABC是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝 角”) 无敌战卷数学八 8.如图，直尺经过一块三角尺DCB的直角顶点B,若∠C=30°，∠ABC=20°，则∠DEF的大小 为 1209 B0。 4 (第8题图) (第9题图)》 (第10题图) 9.如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C= 10.(跨物理学科)如图，两面镜子AB,BC的夹角为∠，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4. 若∠α=68°，则∠B的度数是 三、解答题 11.如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在 B岛的北偏西40°方向，从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角 ∠ACB呢？ 北 D (第11题图) 12.在△ABC中，∠B=2∠C,AE平分∠BAC交BC于点E. (1)如图1，若AD⊥BC于点D,∠C=40°，求∠DAE的度数； (2)如图2，若EF⊥AE交AC于点F,求证：∠C=2∠FEC. 图1 图2 (第12题图)》 年级上(RJ) 第2课时直角三角形的两个锐角互余 一、选择题 1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D,下列结论不一定正确的是 A.∠A=∠2 B.∠1和∠B都是∠A的余角 C.∠1=∠2 D.图中有3个直角三角形 2 20 D B (第1题图)》 (第2题图) (第3题图) 2.将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是 A.30° B.40 C.50° D.60° 3.如图，直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上，点B落在直线b上.若∠1=15°，∠2=25°， 则∠ABC的大小为 A.40° B.45 C.50° D.55 4.如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB 的度数是 A.100° B.110° C.120° D.130 G B (第4题图) (第5题图) (第8题图) 5.(跨物理学科)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F,的 方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的 夹角B的度数为 () A.155° B.1259 C.115° D.65 6.在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=5:3:2;③∠A=90°-∠B;④∠A=2∠B= 3LC,⑤∠A=LB=7∠C;OLA=7∠B=号∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有() A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题 7.若直角三角形的两锐角之差为34°，则较大一个锐角的度数是 度 8.如图，在△ABC中，CE,BD分别是AB,AC边上的高线.若∠ABC=62°，∠ACB=72°，则∠BOC的度数 是 第十三章 9.如图，把一张Rt△ABC纸片沿DE折叠，若∠1=70°，∠C=90°，则∠2的度数 为 10.在△ABC中，∠ABC=∠C,BD是AC边上的高线，∠ABD=30°，则∠C的度数 为 三、解答题 (第9题图) 11.如图，CD是△ABC的角平分线，点E在AC上，BE交CD于点F,∠ACB=56°.若BE⊥CD,∠A= 50°，求∠ABE的度数. E F D (第11题图) 12.如图，在△ABC中，∠A:∠B:∠ACB=1:2:3,CD平分∠ACB,CE⊥AB交AB于点E,F为CE延长 线上一点，∠CFD=75°.求证：△CDF是直角三角形. (第12题图) 13.如图，有一块直角三角尺DEF(足够大)，其中∠EDF=90°，把直角三角尺DEF放置在锐角三角形 ABC上，三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过B,C. (1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= (2)若∠A=55°，求∠ABD+∠ACD的度数； (3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系并直接写出. E (第13题图) 三角形 13.3.2三角形的外角 一、选择题 1.下列各选项中，∠1是△ABC的外角的是 B 2.(真实情境)如图是速度滑冰运动员比赛时的瞬间，此时摆动的手臂和肩膀形成三角形，A,B和D在 同一条直线上，∠B=53°，∠DAC=116°，则∠ACB的度数为 A.53° B.63° C.107° D.54° (第2题图) (第3题图) (第5题图) (第6题图) 3.如图，直线α∥b,将含有30角的直角三角尺按如图所示的位置放置，若∠1=15°，则∠2的大小为（ A.60° B.55° C.45° D.35° 4.三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不确定 5.将一副三角尺按如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是 A.80° B.95° C.100° D.110° 6.如图，下列关于∠A,∠B,∠C,∠1的关系中，一定成立的是 A.∠A+∠B=∠C+∠1 B.∠A+∠1=∠B+∠C C.∠A+∠B+∠C=∠1 D.∠A+∠B+∠C+∠1=360° 无敌战卷数学八 二、填空题 7.如图，若AB∥CD,∠ABE=66°，∠D=54°，则∠E的度数为 E A B (第7题图) (第8题图)》 (第9题图) (第10题图) 8.（跨物理学科)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心0的光 线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°，∠3=55°，则∠2的度数为 9.如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,且BD,CD相交于点D.若∠A=80°， 则∠D= 10.如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C,∠CAB=50°，∠CBA=60°，∠CEF=30°.为了舒适， 需调整∠CDF大小，使∠EFD=150°，且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变，则图中∠CDF应调整为 度 三、解答题 11.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (1)求证：∠BAC=∠B+2∠E; (2)若∠B=30°，∠ACB=40°，求∠E的度数 (第11题图)》 12.（1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，求证：∠A+∠B=∠C+∠D: (2)如图2，∠ABC和∠ADC的平分线交于点P,若∠A+∠C=50°，求∠P的度数. 图2 (第12题图)》 年级上(RJ)参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 1.B2.C3.B4.A5.A6.C 7.①8.4△ABC,△ABD,△ACD.△BCD9.310.21 11.解：(1)ADAC (2)图中共有6个三角形，分别是△ABD,△ABE, △ABC,△ADE,△ADC,△AEC. 这些三角形中，直角三角形有△ABE,△ADE,△AEC; 锐角三角形有△ABC,△ADC;钝角三角形有△ABD. 12.解：一共可以组成18个三角形区域，分别是△ABC △ABD,△ABE,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF, △AEF,△BCD,△BCE,△BCF,△BDE,△BDF,△BEF, △CDF,△CEF,△DEF. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 1.D2.A3.D4.A5.B6.C 7.①③8.9（答案不唯一，满足8<BD<10即可） 9.a+3b-c10.20 11.解：(1)a,b,c是△ABC的三边，a=4,b=6, .∴.2<c<10. 三角形的周长是小于18的偶数， ∴.2<c<8,∴.c边的长为4或6. (2)当c边的长为4或6时，△ABC的形状都是等腰 三角形 12.解：设△ABC中，第三条边AB=x,AC=2,BC=3, 已知△ABC是“倍长三角形”， ①当AB=2AC,即x=4, ∴.△ABC三边分别是2,3,4，符合题意， ②当AB=2BC,即x=6, .△ABC三边分别是2,3,6. 2+3<6, .此时不能构成三角形，这种情况不存在. ③当AC=2AB=2,即x=1, ∴.△ABC三边分别是1,2,3. 1+2=3, ·.此时不能构成三角形，这种情况不存在。 ④当BC=2AB=3,即x=1.5, ·.△ABC三边分别是1.5,2,3，符合题意 综上所述，第三条边的长是4或1.5. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 1.D2.D3.D4.C5.C6.C 7.58.4.89.310.30° 11.证明：：AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD. .·PM∥AC,PN∥AB ∴.∠APM=∠PAN,∠APN=∠PAM, ∴.∠APM=∠APN,∴.PA平分∠MPN. 12.解：(1).AD是中线，∴.BD=CD. :△ABD的周长=AB+BD+AD,△ACD的周长=AC+ CD +AD. .△ABD的周长与△ACD的周长的差即为AB与AC 的差 AB-AC=4cm,△ABD的周长为25cm, ∴.△ACD的周长为21cm. (2)①BE+BD比AE+AC+CD大2cm时， 即BE-(AE+AC)=2cm. AB =10 cm,AC =6 cm,.'.AE =1 cm; ②AE+AC+CD比BE+BD大2cm时， 即AE+AC-BE=2cm. AB =10 cm,AC =6 cm,.'.AE =3 cm. 综上所述，线段AE的长为1cm或3cm. 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 1.A2.A3.B4.A5.A6.D 7.锐角8.50°9.55°10.44° 11.解：：C岛在A岛的北偏东50方向，∴.∠DAC=50°， ,C岛在B岛的北偏西40°方向，∴.∠CBE=40°， ∴.∠DAC+∠CBE=90°. B岛在A岛的北偏东80°方向，∴.∠DAB=80°， ∴.∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°-50°=30°. ,·DA∥EB,∴.∠DAB+∠EBA=180°， 即∠DAC+∠CAB+∠CBA+∠CBE=180°， ∴.∠CAB+∠CBA=90°， .∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA)=90°， ∠ABC=90°-30°=60°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛 看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 12.(1)解：∠C=40,∠B=2∠C,.∠B=80°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. :AE平分∠BAC,∠BAC=7∠BAC=309 AD⊥BC,.∠ADC=90°， .∠DAC=180°-∠ADC-∠C=50° ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=50°-30°=20°. (2)证明：.∠B=2∠C,∴.∠BAC=180°-3∠C :ME平分∠MAC.LEAG=90-号LC AE⊥EF,∴.∠AEF=90°， LAE=180-∠AEF-∠EAC=2∠C, 参考 ∠BFC=180-LAFE=180-号∠C, ∠FEC=180-∠Efc-LG=3∠C, ∴.∠C=2∠FEC. 第2课时直角三角形的两个锐角互余 1.C2.B3.C4.A5.C6.C 图1 图2 7.628.1349.50°10.60°或30° (2)解：如图2，记AD与BP的交点为F,PD与BC的 11.解：BE⊥CD,CD是∠ACB的平分线， 交点为G, ∠CFPE=90,∠4ACD=7∠ACB=28, ∴.∠AFP=∠A+∠ABP=∠P+∠ADP,∠PCC=∠C+ ∠PDC=∠P+∠PBC, .∠CEB=90°-∠ACD=62°， ∴.2∠P+∠ADP+∠PBC=∠A+∠ABP+∠C+∠PDC. .∠AEB=180°-∠CEB=118°， BP,DP分别平分∠ABC和∠ADC, .∠ABE=180°-∠AEB-∠A=180°-118°- .∠ABP=∠PBC,∠ADP=∠PDC, 50°=12°. .2∠P=∠A+∠C. 12.证明：设∠A=x,则∠B=2x,∠ACB=3x, ∠A+∠C=50°， 则x+2x+3x=180°，解得x=30°， ∴.∠P=25°. ∴.∠A=30°，∠B=60°，∠ACB=90° 第十三章测试 .CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD=45°， 1.C2.D3.B4.B5.B6.D .∴.∠CDE=180°-∠B-∠BCD=75° CE⊥AB,.∠CED=90°， 7.3&三角形具有稳定性9号10.90°1.30 ∴.∠DCE=90°-∠CDE=15. 12.解：：已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长 :∠CFD=75°， 为a, .∴.∠CDF=180°-∠CFD-∠DCE=90°， ∴.6-3<a<6+3,∴.3<a<9. .△CDF是直角三角形 当a为整数，且周长最大时，则a=8,此时周长为3+ 13.解：(1)1409050 6+8=17. (2)由(1)知∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB- 13.解：△EPF是直角三角形. (∠DBC+∠DCB),∠DBC+∠DCB=90°. 理由：：AB∥CD,∴.∠BEF+∠DFE=180°. ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， :EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE, .∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ∴.∠ABD+∠ACD=180°-∠A-90°=90°-∠A, ∠PEF=∠BEP,∠PFE=∠DFE, .当∠A=55时，∠ABD+∠ACD=90°-55°=35. (3)∠ABD+∠ACD=90°-∠A. LPEF+ZPFE=(∠BEF+∠DFE)=3×1-90, 13.3.2三角形的外角 ∴.△EPF是直角三角形. 1.C2.B3.C4.B5.B6.C 7.12°8.30°9.40°10.50 14.解：(1)①当6cm长的边为底边时，腰长=24-6 2 11.(1)证明：CE平分∠ACD,∴.∠ECD=∠ACE. 9(cm); :∠BAC=∠E+∠ACE,∴.∠BAC=∠E+∠ECD. ②当6cm长的边为腰时，底边长=24-6-6=12(cm). :∠ECD=∠B+∠E,∴.∠BAC=∠E+∠B+LE, 6+6=12,∴.不能构成三角形，故舍去； ∴.∠BAC=2∠E+∠B. ∴能围成有一边的长为6cm的等腰三角形，另两边 (2)解：CE平分∠ACD,∴.∠ACE=∠DCE. 长为9cm,9cm. ,∠ACB=40°， (2)由题意，得+a>24-2a, 1 124-2a>0, ∠ACE=∠ECD=2×(180°-40)=70°， 解得6<a<12. .∴∠E=∠ECD-∠B=70°-30°=40°. 15.解：(1)：CE平分∠ACD,∴.∠DCA=2∠DCE. 12.(1)证明：如图1，记AD与BC的交点为E,则∠AEC :∠DCE=35°，∴.DCA=2∠DCE=2×35°=70°. 为△ABE与△CDE的外角， AD为BC边上的高，.∠ADB=90°， ∴.∠AEC=∠A+∠B,∠AEC=∠C+∠D, .∠CAD=90°-∠DCA=20°. .∴.∠A+∠B=∠C+∠D. (2).∠BAC:∠CAD=3:2,∠CAD=20°， 答案