精品解析：福建省泉州市晋江市晋江一中教育集团 2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2026年春季八年级期末质量检测数学试题 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 使分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵ 分式有意义的条件是分母不等于0 ∴ 对于分式，需满足 解得． 2. 2026年新一代量子计算机核心元件为超导纳米线，其绝缘层厚度仅为米，该厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】解：米用科学记数法表示为米． 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 4. 在平面直角坐标系中，如果点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，求出a的值，再计算横坐标即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，即， 解得， 将代入横坐标得：， ∴点的坐标为． 5. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（ ） A. 83分 B. 80分 C. 75分 D. 70分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是掌握加权平均数的计算公式． 根据加权平均数的计算方法，用初赛成绩乘以其权重加上复赛成绩乘以其权重，即可得出总成绩． 【详解】（分） 小颖同学的总成绩为83分． 故选：A． 6. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题思路为将自变量替换为代入各选项，计算函数值的变化量，判断是否满足每增加1，减少2的条件． 【详解】解：∵题目要求自变量每增加1，函数值减少2，即当自变量为时，新函数值． A、把代入，得，增加2，不符合要求； B、把代入，得，增加2，不符合要求； C、把代入，得，减少1，不符合要求； D、把代入，得，减少2，符合要求． 7. 如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，分别是，的中点，， ∴， ∴. 8. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 9. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 在上，， ∵， ∴． 10. 已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知两点关于原点对称，则为线段的中点，故的面积等于的面积，都等于 1 ，然后由反比例函数的比例系数的几何意义，可知的面积等于，从而求出的值． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于两点， ∴两点关于原点对称， ， ∴的面积的面积， 又 ∵是反比例函数图象上的点，且轴于点， ∴的面积， ， ， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同分母分式的减法法则计算． 先对分子因式分解，再约分得到结果． 【详解】解：原式． 12. 若点在一次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，当斜率小于0时，函数值随自变量的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由一次函数可知：， ∴y随x的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为>． 13. 数据组2，4，6，8，10，12的中位数是___________，上四分位数是___________． 【答案】 ①. 7 ②. 10 【解析】 【分析】本题考查中位数和四分位数的计算，对于已排序的数据集，中位数是中间位置的数，上四分位数是数据上半部分的中位数，根据计算方法求解即可． 【详解】解：数据已按从小到大排序，为 ，数据个数 ， 中位数：由于为偶数，中位数为第个数据和第个数据的平均值，即， 上四分位数： 解法一：数据上半部分包括后个数据 ，其中位数为； 解法二：，所以上四分位数为第个数，为． 14. 如图，在中，对角线与相交于点，点在上，直线交于点．若，，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质推得，，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，最后由即可得解． 【详解】解：中，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 15. 如图，以 的斜边 为边，在△ 的同侧作正方形 ，对角线 、 交于点 ，连接 ．若 ，，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作，先证，求出的长，再用勾股定理解答即可． 【详解】解：如下图所示，过点O作，交于点G， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 16. 如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，直角梯形，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H．首先证明四边形是正方形，证明，推出，求出正方形的边长，设，利用勾股定理求出x，再利用面积法求出可得结论． 【详解】解：如图，过点A作交的延长线于点T，过点F作于点H． ∵，， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设， 在中，， ∴， ∴， ∴．，， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算，是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键． 20. 已知：反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值． 【小问1详解】 ∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， 所以反比例函数解析式为； 【小问2详解】 ∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 所以的值为4． 【点睛】此题考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的性质． 21. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 【答案】（1），，，统计图见解析 （2）128 （3）女生组更优秀，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位数，众数以及部分数据百分比进行求解，然后补全条形统计图； （2）利用样本频数估计总体频数即可； （3）利用平均数，中位数，众数进行决策． 【小问1详解】 解：∵被抽取男同学跳绳个数在C组的数据有6个， ∴被抽取男同学跳绳个数在A组的数据有（个）， ∴中位数取第10位和第11位数据的平均数， ∴； ∵被抽取女同学跳绳个数在C组的数据有8个， 在A组的数据有个， 在D组的数据有个， 在E组的数据有个， 在B组的数据有个， 其中136出现了5次，出现的次数最多， ∴； ∵， ∴； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：男同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； 女同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； ∴（人） ∴估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有128人； 【小问3详解】 解：女生组更优秀，理由如下： 我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀， 所以，整体来说女生组更优秀． 22. 如图，在矩形中，对角线和交于点． （1）在图中求作点，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在的右侧作，即可； （2）根据矩形的性质可得，再由菱形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：如图，在的右侧作，，则点E即为所求； ∴， ∵四边形是矩形，对角线和交于点， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴． 23. 综合与实践 请根据以下素材，完成探究任务． 生活中的不等式 素材1 一杯糖水，如果再向其中加入一些糖，糖水变得更甜．小明想用数学知识解释“更甜”，他整理如下： 设原来的糖水总质量是克，其中含糖克（），则糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，即；再向糖水中加糖克（），则糖水的浓度变为，则只要比较与的大小，就可以解释“更甜”． 素材2 某商店有甲、乙两种糖果，单价分别为14元/千克和10元/千克．现有甲种糖果10千克，小明想通过加入乙种糖果来调控混合后糖果的平均单价． 素材3 科学表明，健康饮水的适宜温度是． 如图是某品牌饮水机的相关信息： 注：开水和温水混合后的温度为： （开水体积+温水体积）混合后的总体积 探究任务 （1）任务1：请帮助小明完成说理过程． （2）任务2：请判断混合后的平均单价是否一定低于14元/千克？并说明理由． （3）任务3：小明有一个容量为的水杯．他先打开温水出口接水秒，再打开开水出口接水秒，恰好接满杯子，使得水温在健康饮水的适宜温度内．请你设计分配接水时间的方案（即或的取值范围），并说明理由． 【答案】（1）－ ＝ ＝ ＝ ＝ ∵，， ∴，， ∴＝， ∴， 答：向糖水中加糖克（）糖水“更甜”； （2）是，理由：设加入乙种糖果千克， 则混合后的平均单价为：（元/千克） ∵， ∴，， ∴ ，即 ， 答：混合后的平均单价一定低于14元/千克； （3），或． 理由：温水体积是毫升，开水体积毫升，， 则混合后水温为， 由题意得 ∴， 或者混合后水温为， 由题意得 ∴， 综上所述，，或． 【解析】 【分析】（1）糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，计算出加糖前和加糖后的糖水浓度，二者作差，然后比较哪一个“更甜”； （2）甲、乙两种糖果的总价÷甲、乙两种糖果的总重量=混合糖果的单价，计算出加入乙种糖果前和加入乙种糖果后的混合糖果单价，二者作差，然后比较哪一个单价高； （3）由开水和温水混合后的温度为：（开水体积+温水体积）混合后的总体积，计算出混合后水温并化简整理，健康饮水的适宜温度是，则有，或，即可计算出，的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 25. 【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），； （2），； （3），，理由如下： ， ， ， 四边形和四边形为菱形， ，， 在和中， （）， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 直线与的夹角度数为； （4） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的边、角相等证得，进而得出，结合三角形内角和推出两线段夹角； （2）将旋转前后的角同减公共角得到一组等角，然后根据证得全等三角形，得到，再结合对顶角相等、三角形内角和求出夹角； （3）将，同减公共角推出，根据证得，进而得到，再利用三角形内角和、对顶角相等求出夹角； （4）在以为圆心、为半径的圆上，求出菱形对角线长，用圆外一点到圆最短距离得最小值． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为． 【小问2详解】 解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，交于点， ∵，且， ∴， ∴， 即直线与直线的夹角度数为． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交于， 根据题意可知，点在以为圆心、为半径的圆上运动，当点在上时，线段取得最小值， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季八年级期末质量检测数学试题 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 使分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年新一代量子计算机核心元件为超导纳米线，其绝缘层厚度仅为米，该厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，如果点在x轴上，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分．若总成绩按初赛成绩占，复赛成绩占来计算，则小颖同学的总成绩为（ ） A. 83分 B. 80分 C. 75分 D. 70分 6. 若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形的对角线，相交于点，，分别是，的中点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是菱形，，于点，则的值为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 8 10. 已知如图，一直线经过原点O，且与反比例函数图象相交于A、B， 过点A作轴，垂足为点C，连接．若，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算的结果是______． 12. 若点在一次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”） 13. 数据组2，4，6，8，10，12的中位数是___________，上四分位数是___________． 14. 如图，在中，对角线与相交于点，点在上，直线交于点．若，，，则的周长为______． 15. 如图，以 的斜边 为边，在△ 的同侧作正方形 ，对角线 、 交于点 ，连接 ．若 ，，则 ________． 16. 如图，在直角梯形中，，，，E是上一点，连接，将沿翻折，使得点B的对应点刚好落在上，作的角平分线交于点F，若，且，则____________________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 20. 已知：反比例函数的图象过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点在该函数图象上，求m的值． 21. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 22. 如图，在矩形中，对角线和交于点． （1）在图中求作点，使得四边形是菱形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接交于点，若，，求菱形的面积． 23. 综合与实践 请根据以下素材，完成探究任务． 生活中的不等式 素材1 一杯糖水，如果再向其中加入一些糖，糖水变得更甜．小明想用数学知识解释“更甜”，他整理如下： 设原来的糖水总质量是克，其中含糖克（），则糖水的浓度可以用糖的质量比上糖水的总质量，即；再向糖水中加糖克（），则糖水的浓度变为，则只要比较与的大小，就可以解释“更甜”． 素材2 某商店有甲、乙两种糖果，单价分别为14元/千克和10元/千克．现有甲种糖果10千克，小明想通过加入乙种糖果来调控混合后糖果的平均单价． 素材3 科学表明，健康饮水的适宜温度是． 如图是某品牌饮水机的相关信息： 注：开水和温水混合后的温度为： （开水体积+温水体积）混合后的总体积 探究任务 （1）任务1：请帮助小明完成说理过程． （2）任务2：请判断混合后的平均单价是否一定低于14元/千克？并说明理由． （3）任务3：小明有一个容量为的水杯．他先打开温水出口接水秒，再打开开水出口接水秒，恰好接满杯子，使得水温在健康饮水的适宜温度内．请你设计分配接水时间的方案（即或的取值范围），并说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 25. 【问题情境】同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是___________；直线与直线的夹角度数为___________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $