精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期6月期末检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二（下）期末检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同的结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 2. 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 3. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是 A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用回归方程的性质，利用相关系数和相关指数分析解答. 详解：从图形中可以看出，两个变量是正相关，所以选项A是正确的；从图形中可以看出，回归直线的纵截距是正数，所以选项B和C是正确的；因为其中=真实值-预报值=残差，值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好.所以选项D是错误的.故答案为D. 点睛：(1)本题主要考查回归方程的性质，考查相关系数和相关指数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 相关系数： ，表示两个变量正相关；，表示两个变量负相关；的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常，的绝对值大于0.75时，表明两个变量的线性相关性很强. 4. 已知在数列中，且，设为的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到数列是以公差为的等差数列，根据，求得的值，然后利用，即可求解． 【详解】因为在数列中，且， 可得且，所以数列是以为公差的等差数列， 又因为为的前项和，且， 所以，解得， 又由，所以． 故选：B． 5. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. -1 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解. 【详解】由导数的几何意义，点处的切线斜率为， 因为时，， 所以， 所以在点处的切线斜率为， 故选：D. 6. 某宾馆安排，，，，五人入住个不同的房间，每个房间至少住人，且，不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】分与两种进行讨论，分别计算出两种不同情况下符合要求的安排方法种数即得. 【详解】依题意，五人可先分成与两种方式， 当按照分组时，有种不同分法， 其中，住同一房间的种数有种， 故符合要求的有种； 当按照分组时，有种不同分法， 其中，住同一房间的种数有种， 故符合要求的有种； 故不同的安排方法共有种. 7. 设单调递增的等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意求出、，即可得到，从而得到，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：由，即，所以，可得，解，得或（舍去），，所以，从而，从而. 故选：C 8. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得的系数. 【详解】的展开式的通项公式为.则 ①出，则出，该项为：； ②出，则出，该项为：； ③出，则出，该项为：； 综上所述：合并后的项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 【答案】AC 【解析】 【分析】利用图象可判断A选项；利用导数的几何意义可判断B选项；利用平均变化率的概念可判断C选项；利用平均变化率的概念可判断D选项. 【详解】选项A，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即选项A正确； 选项B，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等， 说明甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，即选项B错误； 选项C，由平均变化率公式知，甲、乙两人在内， 血管中药物浓度的平均变化率均为，即选项C正确； 选项D，在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为 和，显然不相同，即选项D不正确． 故选：AC. 10. 设随机变量的分布列为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，再根据分布列判断B、C、D即可. 【详解】因为， 所以，所以，故A错误； 所以， 则，故B正确； 因为，，，， 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：BC． 11. 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A：对求导后根据的正负判断单调递增后易得存在唯一零点； 对于选项B：对求导后根据的正负判断的增减性，求出极小值即最小值不在选项范围内；对于选项C：设，再根据形式化简后求导并判断的增减性，求出极小值即最小值为0，即存在唯一零点；对于选项D：讨论的范围后参变分离，构造新函数求导分析即可求得的取值范围. 【详解】对于选项A：由题易得，则在上单调递增， 且当时，，且当时，， 由零点存在定理，在上有且仅有1个零点，故A选项正确； 对于选项B：由题得，令，则， 故在上， ，单调递减，在上，，单调递增， 故在处取极小值，即最小值， 且易得当时，， 则有若在上有唯一解，则或，故B选项错误； 对于选项C：设，， 则， 故，则，令，， 故在上， ，单调递减， 则在上，，单调递增，故在处取极小值即最小值， 则有在上有且仅有1个零点，由选项A易得在上单调递增， 故有且仅有1个解使，即 有且仅有1个零点，故C选项正确； 对于选项D：若有在R上恒成立，讨论的范围后参变分离： ①若，则有，显然成立 ②若，则有，令，则， 令，或（舍），易得当时，在处取极小值即最小值，因此； ③若，则有， 令，则， 令，（舍）或， 易得当时，在处取极大值即最大值，因此； 综上，的取值范围是 故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 【答案】 【解析】 【详解】在数学归纳法的递推性证明中，由到时，增加的项是从到的所有项，即. 13. 已知数列，都是公差为1的等差数列，其首项分别为，，且，，，设，则数列的前项和等于______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式先求，进而得，利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意有，所以，又，所以， 设数列的前项和为，所以. 故答案为：. 14. 有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，列出对应表达式，用求导法求解即可 【详解】 如图所示，则折叠后的长方体长为，宽为，高为，体积，，则， 令解得，舍去，则当时，，单调递增 当时，，单调递减，所以体积在处取到最大值 要使容积最大，则 【点睛】本题考查利用导数求解函数最值问题，属于基础题型，函数的最值一般是在极值点或函数的端点处取到，如果只有一个极值点，则该极值点一定是最值点 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求展开式中的常数项； （2）若，求的值． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式的通项特征，由即可求解，进而可求常数项， （2）求导，由赋值法即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． 所以展开式中的常数项为． 【小问2详解】 对的两边同时求导， 得， 令，得， 因为，所以． 16. 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． （1）若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； （2）若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； （3）以（2）中确定的作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品参赛者获得100元现金；乙：A类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低． 附：若，则． 【答案】（1） （2） （3）选择甲方式成本更低 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的三段区间法求得概率，进而可求解； （2）记，根据二项分布的概率公式求得，求导后判断单调性进而可求得极大值点； （3）由题意知.记分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额，利用均值的性质求解，进而可判断. 【小问1详解】 因为， 则. 所以参赛者年龄在30岁以上的人数约为（人）. 【小问2详解】 记，设， 其中为的极大值点. 依题意可得， 则， 令，因为，故， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点； 【小问3详解】 由题意知. 记分别为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额， 因为. 所以， 所以. 故选择甲方式成本更低. 17. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析，，；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式即可求出首项和公差，进而可得的通项公式；利用等比数列的定义即可证明是等比数列，可得的通项公式，即可得的通项公式； （2）由（1），利用乘公比错位相减即可求出． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则 ， 解得， 所以 ， 为常数， 所以数列是为首项，公比为的等比数列， 所以，可得. （2）由（1）得：， 所以①， ②， ①﹣②得：， ＝， 整理得：． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法 （1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减； （5）并项求和法：一个数列的前项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如类型，可采用两项合并求解. 18. 某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 【答案】（1）w,企业亏损（2）当年广告费投入7万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）先计算售价为，再计算利润为，化简得到答案. （2）化简得到，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由题意，每件售价为150%50%， 则 ， 则当x＝100时，w0，故企业亏损． （2） （当且仅当x＝7时等号成立）． 故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大． 【点睛】本题考查了函数和均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19. 已知函数 ，． （1）当时，求的极值； （2）设，证明：与的图象恰有一个公共点； （3）当时， ，求整数的最大值． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）证明：当时，，定义域为. 要证与的图象恰有一个公共点，即方程有唯一解， 即 有唯一解. 设，， ， 令 ，，，所以， 令 ， ， 所以在上单调递增，， 因此在时恒成立，在单调递增． 又 ， ， 故存在唯一使得， 因此与的图象恰有一个公共点． （3）4 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用函数导数求函数极值即可； （2）由题意可转化为 有唯一解，设，，利用导数及零点存在性定理证明即可； （3）分离参数可得，构造函数，利用导数求出其取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，在处取得极小值， 极小值为，无极大值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， 即 ， 整理得： ， 因，，故，设，， ， 设 ，，则 ， 故在单调递增. 又 ， ， 故存在唯一 使得 ，即 . 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为： ， 因 ，故 ，因此整数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二（下）期末检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 2. 若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学用收集到的6组数据对制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为；经过残差分析确定点为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程：，相关系数为，相关指数为.则以下结论中，不正确的是 A. ， B. ， C. D. 4. 已知在数列中，且，设为的前项和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（ ） A. 2 B. -1 C. 1 D. 6. 某宾馆安排，，，，五人入住个不同的房间，每个房间至少住人，且，不能住同一房间，则不同的安排方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 设单调递增的等比数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中，项的系数为（ ） A. －23 B. 17 C. 20 D. 63 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．已知该药物在人体血管中药物浓度随时间的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如图所示．则下列结论正确的是（ ） A. 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同 B. 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同 C. 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同 D. 在和两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同 10. 设随机变量的分布列为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数存在唯一零点 B. 若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是 C. 存在唯一，使得 D. 关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项是__________． 13. 已知数列，都是公差为1的等差数列，其首项分别为，，且，，，设，则数列的前项和等于______． 14. 有矩形铁板，其长为6，宽为4，现从四个角上剪掉边长为x的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x＝________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，求展开式中的常数项； （2）若，求的值． 16. 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴．现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数． （1）若所有参赛者年龄X服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数； （2）若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为A类，的概率评为B类，每位参赛者作品的评级结果相互独立．记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A类作品的概率为，求的极大值点； （3）以（2）中确定的作为a的值，记上述幸运嘉宾的作品中的A类作品数为Y，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：A类作品参赛者获得1000元现金，B类作品参赛者获得100元现金；乙：A类作品参赛者获得3000元现金，B类作品参赛者不获得现金奖励．根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低． 附：若，则． 17. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，． （1）证明：数列是等比数列，并求数列与数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 某制药厂准备投入适当的广告费，对产品进行宣传，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为Q（x≥0）．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和（注：投入包括“年固定投入”与“后期再投入”）． （1）试将年利润w万元表示为年广告费x万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，企业亏损还是盈利？ （2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 19. 已知函数 ，． （1）当时，求的极值； （2）设，证明：与的图象恰有一个公共点； （3）当时， ，求整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $