精品解析：安徽省滁州市2024-2025学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

姓名______ 座位号______ （在此卷上答题无效） 2025年滁州市高二教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求集合B，再结合集合，再进行并集运算求解. 【详解】因为，, 所以. 故选：C. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据其复平面内对应的点判断即可. 【详解】 在复平面内对应的点为，在第二象限. 故选：B. 3. 圆上的点到直线距离的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 4. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意写出平移后解析式且关于轴对称，则，，从而可求解. 【详解】由题意得将向右平移个单位后 得，且关于轴对称， 所以，，得，， 又因为，所以当时，有最小值. 故选：A. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 6. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 7. 已知空间三点，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据空间两点间距离公式得出的三边长；再根据三角形面积公式即可求解. 【详解】由空间三点可得： ； ； ， 所以是等边三角形， 所以的面积为. 故选：B. 8. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用赋值法，令即可求解. 【详解】由可得：. 因为为正实数， 所以由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当取最小值时，. 令，得， 所以当取最小值时，的展开式中各项系数的和为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 与具有负线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg D. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg 【答案】BC 【解析】 【分析】根据回归直线方程一一判断即可. 【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A错误； 又回归直线必过样本点的中心，故B正确； 因为回归直线方程中，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg，故C正确； 当时，，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为44.29kg，故D错误. 故选：BC. 10. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据数列的递推关系，通过构造，求出数列通项公式，即可判断A，B；理解数列的前项积的概念，并通过运算即可判断C；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断D． 【详解】，，， 又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.， 即，， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：所以，故B正确； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数， 因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ） A. 当时， B. 当时，二面角大小为 C. 当异面直线与所成角为时， D. 当点到平面的距离为时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，通过计算即可证，对于B，根据题意可得，就是二面角的平面角，计算即可得到二面角，对于C，设，作出异面直线夹角，再利用余弦定理结合条件列方程可得；对于D，根据锥体外接球球心的作法，可作球心，且即可判断. 【详解】 对于A，连接，平面，平面， ，即， 又，所以， 则，为的中点，所以，故A正确； 对于B，设中点为，连接， 平面，平面， ，又，，， 又为中点，所以， 又，所以，， 平面平面，就是二面角的平面角， ，即二面角的为，故B错误； 对于C，设中点为，连接，， 设时，， 中，，， ， ， 解得，即，故C正确； 对于D，设的外心为，过作平面的垂线，球心在垂线上， 又平面，所以， 又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得. 故答案为：. 13. 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将三名女生全排列，再三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有种不同的排法， 从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有种不同的排法， 由分步计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 14. 不等式对任意恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】不等式变形为，只需函数在函数的上方即可，即大于等于函数过切线的斜率即可. 【详解】由，得 令，则，所以是单调增函数. 设是过点与相切的直线，设切点为， 则直线的方程为：，把带入切线方程得：， 解得，所以切线斜率. 不等式对任意恒成立，只需函数在函数的上方即可， 即大于等于函数过切线的斜率即可，所以.即实数的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为6. 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 17. 某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． （1）若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； （2）设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 【答案】（1）分布列见详解； （2）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望； （2）根据独立事件概率乘法公式可得，，且，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式. 【小问1详解】 由题意可知：最终得分的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量的分布列为 2 3 4 期望为. 【小问2详解】 由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则，，，， 相加可得， 则， 且时，符合上式，所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点． （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由底面，根据线面垂直的性质得到，再结合利用线面垂直的判定证得平面即可得证; （2）建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求解； （3）当点与或重合时，可直接求的方向向量与平面的法向量的夹角余弦值； 若点与点均不重合时，根据点在上，可设，求得，从而得到平面的法向量，再用表示出与平面所成角的正弦值，利用换元法转化成二次函数的值域求解即可得到的取值范围. 【小问1详解】 因为底面平面，所以 又平面, 所以平面. 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面平面，所以， 如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， ∵， ∴，，，. 所以，，，，， ∵是线段的中点，∴， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 设平面的法向量为, ，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量. 所以. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知，,， 所以,，，， 若点与重合，则平面即为平面，则为平面的一个法向量. 则， 若点与重合，则平面即为平面,则为平面的一个法向量. 则 若点与点均不重合， 由与共线，设，且. 则. 设平面的法向量为，则， 即， 取，则， 所以，（）是平面的一个法向量. 因为 所以 . 令，则，. ， 因为，所以. 综上，. 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程． （2）过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设点是所求曲线上的一点，且，由，得到，将其代入圆的方程，即可求得曲线的标准方程； （2）（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，联立方程组，求得，由直线的方程为，联立方程组，求得，求得直线的方程，得到过定点；当直线的斜率不存在时，求得直线过定点，即可求解； （ii）由（i），结合得到，令，结合的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：设点是所求曲线上的一点，且， 由轴于，则，因为，可得， 因为点是圆上任意一点，则，即， 即曲线的标准方程为. 【小问2详解】 解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则， 直线的方程为，可得，则，直线过定点， 综上可得，直线过定点. （ii）由（i）知，直线过定点，且， 可得，则 ， 令，则，则， 令在上为单调递增函数，当时，， 即时，面积取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名______ 座位号______ （在此卷上答题无效） 2025年滁州市高二教学质量监测 数学 注意事项： 1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 圆上的点到直线距离的最小值是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知空间三点，则的面积为（ ） A. B. C. 7 D. 8. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 与具有负线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 C. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg D. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg 10. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ） A. 当时， B. 当时，二面角大小为 C. 当异面直线与所成角为时， D. 当点到平面的距离为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答） 14. 不等式对任意恒成立，则实数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 16. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的最小值为2，求实数的值． 17. 某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分． （1）若投篮2次，最终得分为，求随机变量的分布列和期望； （2）设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点． （1）证明：； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）设直线与平面所成角为，求的取值范围． 19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的标准方程． （2）过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $