暑期预习讲义（第5讲）——等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第5讲）——等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】等腰三角形的性质——等边对等角 2 【知识点二】等腰三角形的性质——三线合一 2 【知识点三】等腰三角形的判定——等角对等边 2 【知识点四】等边三角形的性质 2 【知识点五】等边三角形的判定 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 等边对等角 3 【题型 2】 三线合一 5 【题型 3】 等角对等边 8 【题型 4】 等边三角形的性质 10 【题型 5】 等边三角形的判定 13 三.经典题型精析（综合提升） 16 【题型 6】 等腰三角形性质与判定综合 16 【题型 7】 等边三角形性质与判定综合 21 【题型 8】 等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 25 四.同步自测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 34 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 39 预习方法：读概念→理解定义性质定理→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】等腰三角形的性质——等边对等角 内容 图示 书写格式 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 中 【知识点二】等腰三角形的性质——三线合一 内容 图示 书写格式 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 【知识点三】等腰三角形的判定——等角对等边 内容 图示 书写格式 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 在中 【知识点四】等边三角形的性质 内容 图示 书写格式 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 中， 【知识点五】等边三角形的判定 内容 图示 书写格式 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 等边对等角 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【分析】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 【变式1】（2026·甘肃武威·二模）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理和等边对等角的知识。先求出，即可知的度数． 解：∵， ∴ 由图中尺规作图的痕迹，可知平分， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则_________（用含α的式子表示）． 【答案】 【分析】利用平行得出相等的角，再在中，由三角形内角和为得出． 解：， ，， ， ， 在中，， ． 【变式3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质可得，，可得证明即可求证． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型 2】 三线合一 【例题2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作出的平分线，然后利用三线合一即可得到． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，即为所求作． ∵ ∴ ∵是的平分线 ∴． 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 【变式2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 解：（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 【题型 3】 等角对等边 【例题3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证； （2）由三角形内角和可得，然后根据（1）可进行求解． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知：． 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，根据三线合一得出，，即可判断． 解：∵， ∴， 又D为的中点， ∴，，， 故A、C、D选项正确，但不符合题意； B选项无法证明，故错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，，可得，，即可得的长． 解：∵在中，、的平分线交于点， ∴，， ∵过点，交、于点、， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴． 【变式3】（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【答案】13 【分析】本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出，，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可求得． 解：平分， ； 平分， ； ， ，； ，， ，； ，， ． 【题型 4】 等边三角形的性质 【例题4】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在等边三角形中，于，于，，相交于点．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，30度的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质， 正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合为等边三角形，得，，又因为，，得出，，再证明，则，即可作答． 解：证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，点为中点，为中点， ∴，，平分 ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理等知识，由折叠得，由三角形内角和定理得，结合可得结论． 解：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【答案】证明过程见分析 【分析】由等边三角形的性质，可得，，可得，证明，即可证得结论． 解：证明：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型 5】 等边三角形的判定 【例题5】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 解：（1）证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】 等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 解：（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据等边对等角，求出，角的和差关系推出，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，再根据，进行求解即可. 解：∵，， ∴， ∵于点A， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【变式3】（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作交于，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据三角形的内角和定理和余角性质，结合全等三角形的判定证明； （2）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质证明，再利用余角性质得到即可得求解． 解：（1）证明：如图， ， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， 在和中，， ； （2）由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 又，， ， ． 【题型 7】 等边三角形性质与判定综合 【例题7】（25-26九年级下·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 【答案】（1）证明： （2）平移的距离为6 【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证； （2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解． 解：（1）略 （2）， ， ， ，． ， 为等边三角形， ， ，即平移的距离为6． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式2】（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）5 【分析】（1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 解：（1）略 （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 【题型 8】 等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 【例题8】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）13 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，，， ∴，为等边三角形， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·云南楚雄·期末）下列关于的说法错误的是（　　） A．若，则为等腰三角形 B．若为直角三角形且，，则等于的一半 C．若中，则为直角三角形 D．若中，，则为等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形定义、含角的直角三角形性质、三角形内角和定理以及等边三角形判定，根据相关知识点逐项判断即可． 解：A、等腰三角形定义为：两边相等的三角形是等腰三角形，选项说法正确，不合题意； B、在中，，，故角所对的直角边为，斜边为，根据含角的直角三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半，故选项说法正确，不合题意； C、三角形内角和为，，故最大角，因此不是直角三角形，选项说法错误，符合题意； D、，故是等腰三角形，，即有一个角是的等腰三角形是等边三角形，选项说法正确，不合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则___． 【答案】 【分析】延长交于点，延长交于点，可得是等边三角形，，进而得到，然后利用线段的和差关系，可得，再利用等腰三角形的性质，可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余，可得，进而在中，利用含度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质． 解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接交于点F，若，，求的长度． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，特殊角的直角三角形的应用． （1）利用折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定证明即可． （2）利用等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形性质计算即可． 解：（1）根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故是等腰三角形． （2）∵，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质，得， ∴． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可． 解：该三角形第三个内角的度数为， 最大的内角为， ∴这个三角形为锐角三角形， ∵这个三角形有两个内角相等， ∴这个三角形一定是等腰三角形． 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用“等角对等边”即可直接求出的长． 解：∵在中，， ∴由等角对等边可得， 又∵， ∴． 4．（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等边三角形平行线间的顶点处作m和n的平行线，利用平行线的性质，通过等量代换得到，再计算即可． 解：如图，设等边三角形为，过点作， ∵， ∴， ∴，， 在等边三角形中，， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】证明，结合，，可得． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 7．（25-26八年级上·浙江·期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（    ） A．有两个角相等 B．两个内角互余 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 解：．有两个角相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．两个内角互余，则第三个角是直角，有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则米，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， 米， 米， 米， ∴米， 故选：A． 9．（2025·河南焦作·一模）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，根据题意得出，进而根据平行线的性质即可求解． 解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选：D． 10．（2026·河南新乡·一模）我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，点B、C、D、E在同一直线上，，，，但与不全等，因为，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．若，，则图中与是“伪全等三角形”的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 解：∵，，，但， ∴与是“伪全等三角形”； ∵， ∴， ∵，但， ∴与是“伪全等三角形”； 综上，图中与是“伪全等三角形”的有2个． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，屋顶房梁的钢架是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以确定竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是__________ ． 【答案】三线合一 解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F，若，，则线段的长为________． 【答案】7 【分析】本题主要考查角平分线的定义，等角对等边以及平行线的性质；根据平分，可得，再利用，可证和，然后即可证明． 解：∵平分， ∵， ∴， 同理 ， 故答案为：7． 13．（25-26八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，中，，是高，，若，则_____． 【答案】1 【分析】由题意得出和是含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半解决问题． 解：∵中，，，， ∴，， ∵是高，， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 【答案】8 【分析】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 作于点，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，，则为等腰三角形，可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得． 解：如图，过点作于点， 平分，，， ，， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵在中，， ∴． 故答案为：8． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，则有，再证明是等边三角形，即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 18．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出，故错误；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出于是可得结论正确． 解：∵和的平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故错误，不符合题意； ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∴，故正确，符合题意； 如图，过点作于，作于，连接， ∵和的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴ ，故正确，符合题意； 由，即点到各边的距离相等，故正确，符合题意； 综上可得：正确的是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质． （1）由得到，证明，即可得解； （2）利用全等三角形的性质，得到，利用等边对等角，求出，再利用三角形外角的性质即可得解． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． ∴； （2）解：由（1）知，，则． ∵， ∴． ∴ ∴． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再利用进行求解即可． 解：（1）证明：，是边上的中线， ， 又， ， ， ； （2）解：， ，是边上的中线， ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，与相交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，可得，即可求证； （2）根据题意可得．再由（1）得：，即可求解． 解：（1）证明：， ，即． ， 和是直角三角形． 在和中， ， ， ∴， 是等腰三角形． （2）解：， ． 由（1）得：， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到，则；由得，根据三角形内角和定理求出的度数，即可求解； （2）根据三角形的周长公式可得，推出；根据可得的周长，即可求解． 解：（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∴cm， ∴， 又∵， ∴cm， ∵， ∴的周长． 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：由题意得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【分析】（1）先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 解：（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）已证：，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ， ， ， ， 是等边三角形． （2）4 （3）证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解； （3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵是等边三角形， ， ， ， 又， ． （3）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第5讲）——等腰三角形（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】等腰三角形的性质——等边对等角 2 【知识点二】等腰三角形的性质——三线合一 2 【知识点三】等腰三角形的判定——等角对等边 2 【知识点四】等边三角形的性质 2 【知识点五】等边三角形的判定 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 等边对等角 3 【题型 2】 三线合一 4 【题型 3】 等角对等边 5 【题型 4】 等边三角形的性质 6 【题型 5】 等边三角形的判定 7 三.经典题型精析（综合提升） 8 【题型 6】 等腰三角形性质与判定综合 8 【题型 7】 等边三角形性质与判定综合 9 【题型 8】 等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 10 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 预习方法：读概念→理解定义性质定理→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】等腰三角形的性质——等边对等角 内容 图示 书写格式 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 中 【知识点二】等腰三角形的性质——三线合一 内容 图示 书写格式 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 【知识点三】等腰三角形的判定——等角对等边 内容 图示 书写格式 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）. 在中 【知识点四】等边三角形的性质 内容 图示 书写格式 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 中， 【知识点五】等边三角形的判定 内容 图示 书写格式 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 等边对等角 【例题1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【变式1】（2026·甘肃武威·二模）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·阶段检测）如图，直线，直线l与直线a，b分别交于点A，B，点C在直线b上，且．若，则_________（用含α的式子表示）． 【变式3】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，，，求证：． 【题型 2】 三线合一 【例题2】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）尺规作图：在上作一点F，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【变式1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【题型 3】 等角对等边 【例题3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图所示，在中，平分，． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【变式3】（2024八年级上·吉林·专题练习）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，求线段的长．    【题型 4】 等边三角形的性质 【例题4】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在等边三角形中，于，于，，相交于点．求证：． 【变式1】（2026·山西临汾·三模）三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交于点E，光线交于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在等边纸片中，将沿折叠，点落在点处，则_____________． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，和是等边三角形，点分别在边上．求证：． 【题型 5】 等边三角形的判定 【例题5】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 【变式3】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； （2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 6】 等腰三角形性质与判定综合 【例题6】（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求证：． 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，，，于点A，与边交于点D，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【变式3】（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作交于，过点作交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【题型 7】 等边三角形性质与判定综合 【例题7】（25-26九年级下·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，． （1）求证：； （2）若 ，，求 平移的距离． 【变式1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【变式2】（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，是外一点，且，过点作，分别交，于点E，F． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【题型 8】 等腰三角形与等边三角形性质与判定综合 【例题8】（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·云南楚雄·期末）下列关于的说法错误的是（　　） A．若，则为等腰三角形 B．若为直角三角形且，，则等于的一半 C．若中，则为直角三角形 D．若中，，则为等边三角形 【变式2】（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，，，使，且平分．若，，则___． 【变式3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，是等腰三角形，，点D，E分别在边，上，将沿着折叠，点C的对应点恰好落在上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）连接交于点F，若，，求的长度． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 3．（25-26八年级下·江西新余·阶段检测）在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（2026·陕西西安·一模）将等边三角形按如图所示的方式放置，已知，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．4 D．6 7．（25-26八年级上·浙江·期中）小元学习了《特殊三角形》这一章后，经过复习整理得到以下框图，下列选项分别填入对应的括号内，不适合填入的是（    ） A．有两个角相等 B．两个内角互余 C．有一个角 D．两条直角边相等 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 9．（2025·河南焦作·一模）如图是某超市的购物车装满物品时，抽象成的几何示意图，已知五边形，三点在同一条直线上；连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·河南新乡·一模）我们在探究两个三角形全等的过程中，知道两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等．如图，点B、C、D、E在同一直线上，，，，但与不全等，因为，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”．若，，则图中与是“伪全等三角形”的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，屋顶房梁的钢架是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只需找到的中点，就可以确定竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是__________ ． 12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，和分别平分和，过点D作，分别交于点E，F，若，，则线段的长为________． 13．（25-26八年级上·重庆大足·阶段检测）如图，中，，是高，，若，则_____． 14．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，平分，，，，，垂足为，则_____． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，连接，交于点E．若，，则________． 16．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 17．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 18．（25-26九年级下·广西桂林·自主招生）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论： ； ； 点到各边的距离相等； 设，，则． 其中正确的是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是边上的中线，是上一点且． （1）求证：． （2）若，求的度数． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，与相交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E． （1）若，求的度数； （2）若的周长为，，求的周长． 23．（本小题满分10分）（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，点D是边上一点，连接，先以点A为圆心，长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E，连接、，交于点F，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24．（本小题满分12分）（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长； （3）求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $