第15讲 等边三角形（3个知识点+7个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第15讲 等边三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ． 【变式1-1】如图，是等边三角形，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数. 【变式1-3】如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数. 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【变式2-1】如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ． 【变式2-2】如图，，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．若，，求的长． 【变式2-3】如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】 【例3】如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【变式3-2】如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例4】如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4-1】如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【变式4-2】如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【变式4-3】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【题型5 等边三角形的判定】 【例5】如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【变式5-1】等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【变式5-2】已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【变式5-3】在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图（1），当时，则_____°； (2)如图（2），当时，连接，判断的形状，并给予证明． 【题型6 等边三角形的判定与性质】 【例6】如图，与都是等边三角形，点E、F分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 【变式6-1】如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【变式6-2】如图，和是等边三角形，、交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点D是的中点，求证：； (2)如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【题型7 等边三角形中多结论问题】 【例7】如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的周长等于的周长 【变式7-1】如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【变式7-2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．如图，在中，，D为的中点，，则的长为 ． 7．如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ． 8．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 9．如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，△POQ是等边三角形．    10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上） 11．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 12．如图，过边长为4的等边三角形的边上一点P，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点． (1)求证：D为中点； (2)的长为 ？ 13．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 14．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 15．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 等边三角形 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【知识点2 等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点3 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 【题型1 利用等边三角形的性质求角度】 【例1】如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由可得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：为等边三角形，点D是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】如图，是等边三角形，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质可得出，由可得出为等腰直角三角形，进而可得出及，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出的度数即可得出结论． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1-2】如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数. 【分析】证明得，由三角形外角性质推出即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 【变式1-3】如图，，分别是等边三角形的边，上的点，且，求的度数. 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 利用等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质得到，再利用三角形的外角定义即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 【例2】如图，是等边三角形，，是的平分线，延长到E，使，则的长为（   ） A．7 B．8 C． D．9 【答案】D 【分析】本题主要查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质，可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-2】如图，，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，从而得到，继而证明，故，从而求出，即的长．利用证明是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【变式2-3】如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可． 【详解】证明： 为等边三角形，是中线， ， 又， ， ， ∵， ， ，为等边三角形， ， ∴， ， ， ． 【题型3 含30°角的直角三角形的性质简单应用】 【例3】如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 故选：D． 【变式3-1】如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，由题意求出，利用直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3-2】如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点、，，的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质证明，再证明，再根据含30度角的直角三角形的边角关系求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 故选：C 【题型4 作垂线构造含30°角的直角三角形】 【例4】如图，在中，，，点在的延长线上，，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式4-1】如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 过作于点，由等腰三角形的性质得，设，则，由等边三角形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过作于点， ， ， 设，则， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】如图，在等腰三角形中，，点E，F在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质．延长交于点G，延长交于点D，可得是等边三角形， ，进而可得，然后利用线段的和差关系可得，再利用等腰三角形的性质可得，，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而在中，利用含30度角直角三角形的性质可得，据此进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点D， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式4-3】如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 【题型5 等边三角形的判定】 【例5】如图，在中，为边上一点，于点，延长、交于点．若，．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟记等边三角形的判定定理是解题的关键．由等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理并结合，证出，则可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 【变式5-1】等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】是等边三角形，见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证，得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形． 证明：∵为等边三角形， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【变式5-2】已知：如图，在中，D是边的中点，，点E、F为垂足，且，． (1)求证；； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，进而求出的度数，进而求出的度数，进而求出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式5-3】在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，． (1)如图（1），当时，则_____°； (2)如图（2），当时，连接，判断的形状，并给予证明． 【答案】(1) (2)是等边三角形，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，即可得出，利用线段的垂直平分线的性质得出，，根据等腰三角形当性质得出，，四边形内角和定理解决问题即可； （2）同（1）可得出，，，即可得出，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵点为线段，，的垂直平分线的交点， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 答案为： （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴， ∴是等边三角形． 【题型6 等边三角形的判定与性质】 【例6】如图，与都是等边三角形，点E、F分别在，上，，与交于点． (1)求的度数； (2)连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题关键． （1）根据等边三角形的性质证得，则，利用三角形外角性质可求，进而可计算出的度数； （2）延长至点，使，证明为等边三角形，得到，，证得，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2）证明：延长至点，使，如图， ， 为等边三角形， ，， 是等边三角形，   ，， ， 在和中， ， ， ， 而， ． 【变式6-1】如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证．得，，再由三角形的外角性质得即可； （2）证是等边三角形，得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分． 【变式6-2】如图，和是等边三角形，、交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，再证明，进而证明，则可证明； （2）过点A分别作的垂线，垂足分别为G、H，设交于M，由全等三角形的性质得到，再证明，得到，进而证明，得到，导角证明，则由平角的定义可证明结论； （3）在上取一点N使得，连接，证明，得到，再证明是等边三角形，得到，据此根据线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点A分别作的垂线，垂足分别为G、H，设交于M， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，在上取一点N使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】如图，是等边三角形，点D在上，点E在的延长线上，且． (1)如图（1），若点D是的中点，求证：； (2)如图（2），若点不的中点，是否成立？证明你的结论； (3)如图（3），若点在线段的延长线上，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】（1）求出，推出，根据等边三角形性质求出，即可得出答案； （2）这仍成立，过D作，交于F，证，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）如图3，过点D作，交的延长线于点P，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵D为中点， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过D作，交于F， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 即； （3）解：． 证明：如图3，过点D作，交的延长线于点P， ∵是等边三角形， ∴也是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型7 等边三角形中多结论问题】 【例7】如图，中，，分别平分和，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．的周长等于的周长 【答案】D 【分析】根据平分，得出，根据，得出，即可判断A；用和A同样的方法，即可判断B；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可判断C，假设为等边三角形，则，推出周长，的周长即可判断D． 【详解】解：A、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； B、∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵，分别平分和， ∴， ∵， 故C正确，不符合题意； D、假设为等边三角形，连接，则， 由A、B可知，为等腰三角形， ∴， ∴周长， ∵，C分别平分和， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴的周长 ∴的周长周长， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】如图，已知等边三角形，，点D在上，点F在延长线上，，于E，于G．交于点P．则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质，利用等边三角形的性质得到，则，则可根据“”判定，所以；于是可对①进行判断；利用可判断，则可对②进行判断；由于只有当时，，则可对③进行判断；利用得到，加上，所以，从而得到，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵于E，于G， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 所以①正确； 在和中， ， ∴， 所以②正确； ∵， ∴只有当时，， 所以③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以④正确． 故选：D． 【变式7-2】如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质的综合运用以及待边三角形的判定与性质，根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴ ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵的对称图形和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故③正确． 在和中，， ∴，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③共3个． 故选：C． 【变式7-3】如图，已知，分别以、为边向外作等边和等边，和交于点，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确作出辅助线是解题的关键．根据等边和的性质，利用可证，由全等三角形的性质可知①正确；由三角形内角和为易求的度数，可知②正确；过分别作于，于，由可得，进而可得平分，所以③正确；在上截取，利用可证，由全等三角形对应边相等可得，故可得④正确，据此即可求解． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴，，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； 过分别作于，于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴平分，故③正确； 如图，在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④，共4个， 故选：A． 1．如图，是等边三角形，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得，由垂线的定义可得，从而得出，由三角形内角和定理结合等边对等角可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形    ②有两个外角相等的等腰三角形 ③腰上的高也是中线的等腰三角形    ④三个外角都相等的三角形 ⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定，熟记等边三角形的定义是解题关键．根据等边三角形的定义判断即可． 【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确； 一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误； 有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确； 一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确； 有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确． 综上，正确的有，共个． 故选：C． 3．如图，与都是等边三角形，点，，在同一直线上，连接，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，，，垂足为点，交于点，过点的直线恰好垂直平分线段，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 直线恰好垂直平分线段，得到，由，，利用三角形的内角和定理求出，再根据含的直角三角形的性质，求出，最后根据即可得解． 【详解】解：直线恰好垂直平分线段，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5．如图，在等边中，，点在上，且，是上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若使点恰好落在上，则线段的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点恰好落在上时，，由等边三角形的性质可得，证明，可得，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，当点恰好落在上时，，   是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 6．如图，在中，，D为的中点，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造出含30度角的直角三角形是解题的关键．延长至E，使，连接，先求出，然后证明得到，，则根据即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至E，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 7．如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由等边三角形的性质得到，则可证明，得到． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，D为等边三角形内一点，，，，则 度． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作的垂直平分线，证明的垂直平分线必过C、D两点，然后证明，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：作的垂直平分线， ∵， ∴为等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∴的垂直平分线必过C、D两点，， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：30． 9．如图，，点C是BO延长线时的一点，，动点从点出发沿射线以的速度移动，动点Q从点O出发沿射线以的速度移动，如果点、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当 时，△POQ是等边三角形．    【答案】6 【分析】由△POQ是等边三角形，，可得运动到了上，且 再建立方程求解即可. 【详解】解： △POQ是等边三角形， 在上，且 由题意得： 解得： 即当s时，△POQ是等边三角形. 故答案为：6 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，掌握“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”是解题的关键. 10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上） 【答案】①②④⑤ 【分析】首先证明，推出，说明①正确；证明，推出，又，可得△CPQ为等边三角形，故④正确；证明，推出，故结论②正确；通过，得出⑤正确；现有条件不足以证明，故③错误． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，，，， ， ，结论①正确； ， ， 又， ， ， 在和中，，，， ， ，， 又， 是等边三角形，结论④正确； ， ，结论②正确； ， ， ， 故结论⑤正确； 现有条件不足以证明，故③错误； 综上，正确的结论有4个，分别是：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 11．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 12．如图，过边长为4的等边三角形的边上一点P，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点． (1)求证：D为中点； (2)的长为 ？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键． （1）过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，即可得到D为中点； （2）由，得到，进而证明，计算求值即可． 【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图， ∴，，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴D为中点； （2）解：∵， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∵， ， 故答案为：2． 13．如图，在中，，在边上取点，连接，使．以为一边作等边，且使点与点位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点在上，连接，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．灵活运用等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用等边三角形的性质求出的度数，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出，从而根据求解即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，然后根据证明是等边三角形即可． 【详解】（1）解：在等边 中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解： 是等边三角形． 理由如下： 由 （1）可得 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 14．如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形； (3)如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则 ，所以，． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； （2）证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． （3）解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的面积为． 15．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1) (2)点M、N运动4秒时，可得到等边； (3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$