暑期预习讲义（第4讲）——角平分线与垂直平分线（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第4讲）——角平分线与垂直平分线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】角的平分线 1 【知识点二】线段的垂直平分线 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】 角平分线的性质求值证明 2 【题型 2】 角平分线的判定求值证明 5 【题型 3】 尺规作图——角平分线 8 【题型 4】 垂直平分线的性质求值证明 11 【题型 5】 垂直平分线的判定求值证明 14 【题型 6】 尺规作图——垂直平分线 17 三.题型精析（综合提升） 19 【题型 7】 角平分线的性质与判定综合求值证明 19 【题型 8】 垂直平分线的性质与判定综合求值证明 23 【题型 9】 角平分线与线段垂直平分线的性质与判定综合求值证明 27 【题型 10】 尺规作图——角平分线与垂直平分线 32 四.同步自测 35 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 35 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 42 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 48 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】角的平分线 内容 图示 书写格式 性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 如图：OC是 ∠AOB 平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，则PD=PE. 判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 如图：点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则OC是 ∠AOB 平分线. 【知识点二】线段的垂直平分线 1、垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2、垂直平分线性质与判定： 内容 图示 书写格式 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图：直线AB，垂足为C.AC=BC，点P在直线，则PA=PB. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 如图：点P在直线上，且PA=PB，若PCAB则AC=BC。若AC=BC，则PCAB。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】 角平分线的性质求值证明 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 解：（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解． 解：作于点E，如图， ∵平分，，，， ∴， ． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，中，平分，交于点D，于点E，的面积是，则_______． 【答案】 【分析】作，根据角平分线的性质计算即可． 解：作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）证明，可得，即可求解． 解：（1）证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据题意得： ， ∴． 【题型 2】 角平分线的判定求值证明 【例题2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【答案】证明：∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】利用证明，得出，根据角平分线的判定定理即可得出结论． 解：略． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 解：于点，于点，且， 平分， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 解： 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 解：（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【题型 3】 尺规作图——角平分线 【例题3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． （1）画出的角平分线； （2）求的度数． 【答案】（1）图见分析；（2） 【分析】1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可. 解：（1）解：由题意，画图如下： （2）解：∵，，为的角平分线， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 【变式2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【答案】/28度 【分析】如图，连接，证明即可得到答案. 解：如图，连接，通过尺规作图可知， ， 又， ， ∴. 【变式3】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1）；（2）证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 解：（1）略 （2）略 【题型 4】 垂直平分线的性质求值证明 【例题4】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【答案】（1）15；（2）见分析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 解：（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 【变式1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【答案】见分析 【分析】本题考查中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据中垂线的性质，证明两个直角三角形全等，角平分线的判定定理，进行作答即可． 解：证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等） ∵， ∴． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据：到角两边距离相等的点在角的角平分线上） 即平分． 【题型 5】 垂直平分线的判定求值证明 【例题5】（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． （1）求证：． （2）是否垂直平分？请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）垂直平分，证明见分析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定，掌握全等三角形的性质和判定，垂直平分线的判定是解题的关键； （1）根据证明即可； （2）分别证明D，A在线段的垂直平分线上，即可得证． 解：（1）证明：，， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． （2）解：垂直平分，理由如下： ， ∴点D在线段的垂直平分线上． ， ， ∴点A在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 【答案】2 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上得到是的垂直平分线即可求解． 解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】见详解 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 解：证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 【题型 6】 尺规作图——垂直平分线 【例题6】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见分析 【分析】的角平分线与线段的垂直平分线的交点，即为点的位置． 解：以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于点、，射线与直线交于点． 【变式1】（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】根据题意可得，垂直平分，于是可得，再根据的周长等于，即可得解． 解：根据题意可得，垂直平分， ， 的周长， 又，， 的周长． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作线段的垂直平分线，由此可得； （2）先求解的度数，再根据等边对等角可得，再求解出的度数，由此可证明． 解：（1）解：分别以点A，点B为圆心，大于线段的长度的一半为半径画弧， 两弧相交于点E，点F，连接， 直线与的交点即为点D，点D即为所求，如图： （2）证明：∵在中，，， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴，即， ∴平分． 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】 角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 解：略 【变式1】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形外角的性质，正确掌握角平分线的性质和判定是解题的关键． 根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，再根据三角形外角的性质，可求，进而，最后根据角平分线的定义，计算即可求解． 解：如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ，， 同理可得，， ， ，， 是的平分线， ， ， ，即 ， ， ， ， 即． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可； （2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可． 解：（1）证明：过P作于G，如图所示： ∵平分，， ∴， 同理：， ∴； （2）解：如图， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴ ∵平分，平分， ∴，， ∴∴． 【题型 8】 垂直平分线的性质与判定综合求值证明 【例题8】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）；（2）点在边的垂直平分线上，理由见分析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 解：（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 解：（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 【题型 9】 角平分线与线段垂直平分线的性质与判定综合求值证明 【例题9】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 解：（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定逐一判断即可，掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键． 解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， A．在和中， ， ∴， ∴，故原选项结论正确，不符合题意； B．∵，， ∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意； C．∵，， ∴， 而题目没有给出， ∴不一定等于，故原选项错误，符合题意； D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线判定及性质，三角形外角的性质，利用等腰三角形 “三线合一” 及等角对等边，结合三角形外角性质推导边的关系是解题的关键． 由，，得垂直平分，故；结合角的和差与外角性质，得，得出，由即可得出． 解：∵，， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图，在中，平分，于D，于E，． （1）求证：； （2）求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）证明即可； （2）在上取点F，使，连接、，先证明，可得，再证明，即可得结论． 解：（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在上取点F，使，连接、，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 【题型 10】 尺规作图——角平分线与垂直平分线 【例题10】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边、的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图，作的角平分线，的垂直平分线，交点即为所求． 【分析】本题考查的是尺规作图的综合应用，核心是利用角平分线的性质与线段垂直平分线的性质确定点的位置．根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点需在的角平分线上；再根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知点需在线段的垂直平分线上，两条线的交点即为满足条件的点P． 解：略 【变式1】（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出即可． 解：根据尺规作图的痕迹可知，平分，， 在中，，， ， 平分， ， ， ． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质求解． 解：，， ， 由作图得：是的角平分线，是的垂直平分线， ∴， ． 【变式3】（2026·江苏徐州·三模）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； （1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 【答案】（1）如图，点即为所求作的点； （2）如图，点即为所求作的点． 【分析】（1）由题意得，点在的垂直平分线，即作的垂直平分线交于点，点即为所求作的点； （2）延长至点，作的平分线的过点的垂线，延长交于点，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，点即为所求作的点． 解：（1）略 （2）解：图略 理由：于点，于点，平分 ， 在和中， ， ， ， 将沿着直线折叠，点能落在边上的点处． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解：∵平分，，， ∴． 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 【答案】C 解：由作图得，平分 ∵， ∴点到的距离，故C正确； 根据题意无法得到，，，故A，B，D错误． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题． 解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． 故选：C． 6．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】连接，由作图可得，由即可得出结果． 解：如图，连接， 由作图可知是的垂直平分线， ， 的周长为． 7．（2026·广东·一模）观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，由垂线的作图方法即可作出判断． 解：由作图痕迹可知，，所以B是正确的，符合题意． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 9．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，即可得到周长的最小值． 解：如图，设交于，连接， 垂直平分， 、关于对称． ． ∴ ∴， ∴当和重合时，的周长最小． ∴周长的最小值是． 10．（2023·河北石家庄·三模）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：． 对于三人的答案，下列结论正确的是（   ）    A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确 C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确 【答案】D 【分析】分四种情况讨论：当为锐角时，当为钝角时，当为直角时，当时，分别画出图形，求出x与y的关系，即可得出答案． 解：当为锐角时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， 即； 当为钝角时，如图所示：    ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴， 即； 当为直角时，如图所示：    此时直线n与重合， ∴此时直线n与所夹的角为， 即或； 当时，如图所示：    ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 综上分析可知，或或，则甲乙丙的答案合在一起才正确，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了尺规作垂线，三角形内角和定理的应用，三角形外角是性质，解题的关键是理解题意，注意分类讨论． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 【答案】20 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可． 解：∵为边的中垂线 ∴ ∵， ∴的周长． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，从而得到，，再结合周长为19，即可求解． 解：由作法得：垂直平分， ∴，， ∵周长为19， ∴， ∴， ∴的周长是11． 故答案为：11． 14．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________． 【答案】28 【分析】根据角平分线的性质定理，推出点到的距离，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 解：∵的两个外角的平分线，相交于点， ∴点到的距离等于点到的距离，点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离等于点到的距离， ∵点到的距离为7， ∴点到的距离为7， ∵， ∴的面积为. 15．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 【答案】 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______． 【答案】 【分析】作于点，根据尺规作图可得平分，由角平分线的性质可得，直接计算的面积即可． 解：如图，作于点， 由题意可得，平分， ∵，， ∴， ∴． 17．（2026·湖南邵阳·一模）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 【答案】/40度 【分析】由作图可得平分，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可求解． 解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴． 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，延长交于点，过点作，证明，得到，进而得到，证明，得到，再根据等积法，得到，等量代换，即可得出结果． 解：延长交于点，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 【答案】①三角形的内角和定理；②；③；④；⑤；⑥三角形外角的性质；； 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角的性质即可解答． 解：在中，（三角形的内角和定理） 又， 度 平分， 度． （三角形外角的性质）， 度． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见分析 【分析】分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点；过这两点画直线，这条直线就是的垂直平分线；该垂直平分线与边的交点即为点． 解：如图点D即为所求； 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）求证：平分． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，三角形内角和性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三角形的外角等于与他不相邻的两个内角的和，得，，然后根据三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）结合角平分线是性质得，又根据角平分线的判定即可作答． 解：（1）解：∵ 的度数为，，， ∴ 则． （2）证明：作， ∵分别是，的外角平分线， ∴， 则， 即平分． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． （1）求证：； （2）根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 解：（1）略 （2）略 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边1上的一动点（不与点B，C重合），垂直平分，垂直平分． （1）求的度数． （2）嘉嘉说：“四边形的周长为定值．”你同意他的说法吗？若同意，请直接写出这个定值；若不同意，请说明理由． 【答案】（1）；（2）同意，这个定值是13．理由见分析 【分析】（1）由垂直平分线的性质可知，，从而得到，，于是可得； （2）由（1）得，，则可得四边形的周长为，从而得解． 解：（1）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：同意，这个定值是13．理由如下： 由（1）得：，， ∴四边形的周长为：． 即四边形的周长为定值，定值为13． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 （1）【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； （2）【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；②15 【分析】（1）连接，如图1，根据“”可证明，所以，从而得到结论； （2）①先证明，得到，然后根据（1）的结论可判断平分； ②利用三角形面积公式得到，由于，，代入解方程即可． 解：（1）证明：连接，如图1， ∵于点E，于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上； （2）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而，， ∴平分； ②解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 即线段的长为15． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第4讲）——角平分线与垂直平分线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】角的平分线 1 【知识点二】线段的垂直平分线 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】 角平分线的性质求值证明 2 【题型 2】 角平分线的判定求值证明 3 【题型 3】 尺规作图——角平分线 4 【题型 4】 垂直平分线的性质求值证明 5 【题型 5】 垂直平分线的判定求值证明 7 【题型 6】 尺规作图——垂直平分线 8 三.题型精析（综合提升） 9 【题型 7】 角平分线的性质与判定综合求值证明 9 【题型 8】 垂直平分线的性质与判定综合求值证明 10 【题型 9】 角平分线与线段垂直平分线的性质与判定综合求值证明 12 【题型 10】 尺规作图——角平分线与垂直平分线 13 四.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】角的平分线 内容 图示 书写格式 性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 如图：OC是 ∠AOB 平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，则PD=PE. 判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 如图：点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则OC是 ∠AOB 平分线. 【知识点二】线段的垂直平分线 1、垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 2、垂直平分线性质与判定： 内容 图示 书写格式 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 如图：直线AB，垂足为C.AC=BC，点P在直线，则PA=PB. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 如图：点P在直线上，且PA=PB，若PCAB则AC=BC。若AC=BC，则PCAB。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】 角平分线的性质求值证明 【例题1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，中，平分，交于点D，于点E，的面积是，则_______． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 2】 角平分线的判定求值证明 【例题2】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，的延长线于，于，若，，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【变式3】（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，于点，于点F．若，． （1）求证：平分． （2）已知，，求的长． 【题型 3】 尺规作图——角平分线 【例题3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，在中，，． （1）画出的角平分线； （2）求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 【变式2】（25-26七年级下·广东梅州·期中）如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________． 【变式3】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【题型 4】 垂直平分线的性质求值证明 【例题4】（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． （1）连接，，若，求的周长； （2）若，求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【变式2】（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【变式3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，过的边的垂直平分线上的点M，作的另外两边所在直线的垂线，垂足分别为D，E，，作射线，求证：平分． 证明：连接， ∵点M在的垂直平分线上， ∴．（依据： ） ∵， ∴ ． 在和中， ∴（填判定依据，用字母表示）， 又∵， ∴点M在的平分线上，（依据： ） 即平分． 【题型 5】 垂直平分线的判定求值证明 【例题5】（25-26八年级上·云南怒江·阶段检测）如图，在中，D是上一点，过点D作于点E，于点F，，连接，． （1）求证：． （2）是否垂直平分？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【变式2】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，D是上的一点，O是上一点，且，若，则的长是________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【题型 6】 尺规作图——垂直平分线 【例题6】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，某小区内有一个三角形花坛，其内部有一个转角区域，由两条小路和形成一个.小区计划在内部修建一个便民饮水点，要求该饮水点到两个固定休息点和的距离相等且到两条小路和的距离也相等，在图中标出饮水点的位置.（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为_______． 【变式3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，． （1）在边上求作一点D，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：平分． 三.题型精析（综合提升） 【题型 7】 角平分线的性质与判定综合求值证明 【例题7】（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式1】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则的度数是_____________． 【变式3】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【题型 8】 垂直平分线的性质与判定综合求值证明 【例题8】（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． （1）若，的周长为，则的长为______； （2）已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． （1）求证：点P在线段的垂直平分线上． （2）若的周长为，的周长为，求的长． 【题型 9】 角平分线与线段垂直平分线的性质与判定综合求值证明 【例题9】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：垂直平分． 【变式1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，点为边上一点，，连结，交于点，连结，，若，，则的长为______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图，在中，平分，于D，于E，． （1）求证：； （2）求证：点C在的垂直平分线上． 【题型 10】 尺规作图——角平分线与垂直平分线 【例题10】（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在的内部找一点，使得点到边、的距离相等，且点到点和点的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）如图，在中，，，依据尺规作图的痕迹，计算______． 【变式3】（2026·江苏徐州·三模）如图，已知，请用无刻度直尺和圆规（不要求写作法，保留作图痕迹）； （1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合； （2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在中，，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧．两弧在内相交于点，作射线交边于点，若，下列结论正确的是（     ） A． B． C．点到的距离为4 D． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 6．（2026·北京门头沟·二模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，连接交于点，连接，则的周长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（2026·广东·一模）观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 9．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．12 B．6 C．7 D．8 10．（2023·河北石家庄·三模）对于直线L和直线L外的一点O，按下列步骤完成了尺规作图：（1）在直线L的另一侧取点M；（2）以O为圆心，为半径作弧与L交于A，B两点；（3）分别以A，B为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点C；（4）过点O和C作直线m．问题：“在直线m上任取一点P（点P不在L上），连接，，过点A作直线n与直线垂直，设是，直线n与所夹的锐角是，求x与y的数量关系．”下面是三个同学的答案，甲：，乙：，丙：． 对于三人的答案，下列结论正确的是（   ）    A．只有甲的答案正确 B．甲和乙的答案合在一起才正确 C．甲和丙的答案合在一起才正确 D．甲乙丙的答案合在一起才正确 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·暑假作业）如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 14．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________． 15．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 16．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若，，则的面积是_______． 17．（2026·湖南邵阳·一模）如图，直线，点E，F分别在直线，上，连接，以点E为圆心，适当长为半径画弧，交射线于点M，交于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点H，画射线交于点C，若，则的度数为______ 18．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，直线，点A是直线m上一点，点B是直线n上一点，与直线m，n均不垂直，点P为线段的中点，直线l分别与m，n相交于点C，D，若，m，n之间的距离为2，则的值为____________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 解：在中，（①______） 又， ②______度 平分， ③______度． ④______＋⑤______（⑥______）， ______度． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在中，的度数为，分别是、的平分线． （1）求的度数（用含的式子表示）； （2）求证：平分． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． （1）求证：； （2）根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在中，为边1上的一动点（不与点B，C重合），垂直平分，垂直平分． （1）求的度数． （2）嘉嘉说：“四边形的周长为定值．”你同意他的说法吗？若同意，请直接写出这个定值；若不同意，请说明理由． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·江西吉安·期中）解答下列各题 （1）【追本溯源】如图1，P为内部一点，于点E，于点F，且，求证：点P在的平分线上； （2）【结论应用】如图2，在中，，点E在边上，，于点F，． ①求证：平分； ②若，，的面积是54，求线段的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $