暑期预习讲义（第1讲）——三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第1讲）——三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】三角形三边关系 2 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 2 【知识点三】三角形内角与外角 2 二.经典题型精析 3 第一部分：基础夯实题型 3 【题型 1】 三角形三边关系 3 【题型 2】 画三角形的高 4 【题型 3】 利用三角形中线求线段长或面积 5 【题型 4】 三角形内角和定理的证明 5 【题型 5】 三角形内角和定理求值 7 【题型 6】 三角形外角性质求值 8 第二部分：中档综合题型 9 【题型 7】 三角形角平分线、中线、高线综合 9 【题型 8】 三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 10 【题型 9】 利用三角形内角和定理与外角性质求值证明 11 【题型 10】三角形与折叠问题综合求值证明 12 三.同步自测 14 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 17 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】三角形三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 三边关系列表如下： 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线.如图，线段AE△ABCBC上的中线. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，线段AD是△ABC的一条角平分线. 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AF △ABC的BC边上的高. 【知识点三】三角形内角与外角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图1 如图1：在中， 2、 三角形外角 （1）如图2，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图2 （2）三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图3 如图3：、、是三个外角，则有：、、 二.经典题型精析 第一部分：基础夯实题型 【题型 1】 三角形三边关系 【例题1】（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三角形的三边长分别为、、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． （1）若，试判断的形状．（2）化简：． 【题型 2】 画三角形的高 【例题2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是______．（填序号） 【变式3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线． 【题型 3】 利用三角形中线求线段长或面积 【例题3】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，是的中线，若，则_____． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【题型 4】 三角形内角和定理的证明 【例题4】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． （1）用直尺和三角尺作图：过点A画； （2）在（1）的条件下，求证：． 【题型 5】 三角形内角和定理求值 【例题5】（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【变式3】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【题型 6】 三角形外角性质求值 【例题6】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是斜边上的高， 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求的度数： 解：（1）（已知）， ________ （________________________）． ________________ （2）求的度数． 解：（2）________， ________（等式的性质）． （已知）， ________ 第二部分：中档综合题型 【题型 7】 三角形角平分线、中线、高线综合 【例题7】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【题型 8】 三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 【例题8】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【题型 9】 利用三角形内角和定理与外角性质求值证明 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【题型 10】三角形与折叠问题综合求值证明 【例题10】（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 【变式1】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·阶段检测）在中，，的平分线交于点E，将沿折叠，使点A落在边上的点D处，继续沿直线折叠，若折叠后点C落在上，则的度数为________． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 三.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 3．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江金华·二模）如图，在四边形中，，平分，交于点，延长到点．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·河北保定·二模）已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 12．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 14．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则________． 15．（24-25七年级下·上海青浦·期中）中，，则________． 16．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 17．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上处，则等于_____． （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·天津蓟州·期中）阅读下面的证明，补充理由． 已知：如图，于，于，． 求证：平分． 证明：，． ，（     ） （     ） （     ） （     ） 又 平分（     ） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 （1）图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 （2）请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． （1）如图1 所示，若，，则的度数为 ． （2）如图1 所示，如果，求的度数； （3）如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； （4）如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第1讲）——三角形 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】三角形三边关系 2 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 2 【知识点三】三角形内角与外角 2 二.经典题型精析 3 第一部分：基础夯实题型 3 【题型 1】 三角形三边关系 3 【题型 2】 画三角形的高 5 【题型 3】 利用三角形中线求线段长或面积 7 【题型 4】 三角形内角和定理的证明 9 【题型 5】 三角形内角和定理求值 12 【题型 6】 三角形外角性质求值 15 第二部分：中档综合题型 18 【题型 7】 三角形角平分线、中线、高线综合 18 【题型 8】 三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 22 【题型 9】 利用三角形内角和定理与外角性质求值证明 25 【题型 10】三角形与折叠问题综合求值证明 28 三.同步自测 33 （一） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 33 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三） 解答题（本大题共6小题，共58分） 42 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】三角形三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 三边关系列表如下： 图示 文字语言 符号语言 理论依据 三角形两边之和大于第三边 两点之间，线段最短. 三角形两边之差小于第三边 【知识点二】三角形中线、角平分线、高 分类 定义 示图 三角形的中线 在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫作三角形的中线.如图，线段AE△ABCBC上的中线. 三角形的角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，线段AD是△ABC的一条角平分线. 三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，线段AF △ABC的BC边上的高. 【知识点三】三角形内角与外角 1、 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. 图1 如图1：在中， 2、 三角形外角 （1）如图2，把的一边延长，得到.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角. 图2 （2）三角形外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 图3 如图3：、、是三个外角，则有：、、 二.经典题型精析 第一部分：基础夯实题型 【题型 1】 三角形三边关系 【例题1】（25-26八年级下·北京·期中）已知的三边长均为整数，且和满足． （1）求的值． （2）求满足条件的的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据算术平方根和平方的非负性求解即可； （2）先根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可写出整数的值． 解：（1）解： ∵ ∴ 解得； （2）解：∵的三边长均为整数， ∴ ∴， 可取． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三角形的三边长分别为、、，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角形三边关系定理，即两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，即可求解的取值范围． 解：∵三角形的三边长分别为，， ∴根据三角形三边关系可得 化简得． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，，是的三边长． （1）若，试判断的形状． （2）化简：． 【答案】（1）等边三角形；（2） 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 解：（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴：． 【题型 2】 画三角形的高 【例题2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． （1）在图（1）中画的角平分线，标出点D； （2）在图（2）中，作的边上的高． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了画三角形的高，角平分线的判定定理，熟知角平分线的判定定理和三角形的高的定义是解题的关键． （1）取格点T，连接交于点D，则线段即为所求；根据网格的特点可得点T到直线的距离与点T到直线的距离相等，即点T在的角平分线上； （2）取格点D，连接，则即为所求． 解：（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 【变式1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 【变式2】（24-25八年级上·北京·期中）下面四个图形中，线段是的高的图是______．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点作边上的高，垂足为，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 解：图形①中，与不垂直，线段不是的高； 图形②中，与不垂直，线段不是的高； 图形③中，与垂直，线段是的高； 图形④中，与不垂直，线段不是的高； 故答案为：③． 【变式3】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． 解：（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 【题型 3】 利用三角形中线求线段长或面积 【例题3】（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 【变式1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，是的中线，若，则_____． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线的性质即可求解． 解：∵是的中线，， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【题型 4】 三角形内角和定理的证明 【例题4】（24-25七年级下·安徽宿州·期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整． 解：在边上任取一点E，作交于点D， 作交于点 ，， ______，， ，______ ；______ ______等量代换 ，平角的定义 ______． 【答案】 ；两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相等 ；； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想解决问题．利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 解：在边BC上任取一点E，作交于点D，作交于点， ，， ，， ，两直线平行，同位角相等 ；两直线平行，内错角相等， （等量代换）， ，平角的定义， ． 【变式1】（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 解：∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． （1）用直尺和三角尺作图：过点A画； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）作图见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 解：（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 【题型 5】 三角形内角和定理求值 【例题5】（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 【变式2】（25-26八年级下·广东清远·期中）如图，已知分别平分和， ，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解． 解：∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）如图1，在中，是高，若． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）如图2，若是的角平分线，，相交于点F．求证：． 【答案】（1）是直角三角形，见分析；（2）见分析 【分析】本题考查直角三角形的判定，高的定义，角平分线的性质，对顶角相等； （1）由题意得，即，，得即可解答； （2）由题意得，，，得即可解答． 解：（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）证明：∵是的角平分线， ∴． 由（1）得，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【题型 6】 三角形外角性质求值 【例题6】（25-26七年级下·上海嘉定·期中）如图，已知三角形，点在的延长线上，是的平分线，若，求证： （请把证明过程补充完整） 点在延长线上 ___________ （　　） ___________ ______________________ ___________ 是的平分线 ___________ ___________ （　　） 【答案】见分析 解：证明：点在延长线上 （三角形内角和定理） 是的平分线 （同位角相等，两直线平行） 【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，直线，一副三角板放置在和之间，其中一个三角板的直角边在上，另一个直角三角板的直角顶点在上，两个三角板的斜边在同一直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质得出。 解：如图， ∵， ∴， ∴. 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，若，，，则_________________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质先求解的度数， 再利用三角形内角和定理求解 即可. 解： ，，， ， 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，是斜边上的高， 根据以下问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． （1）求的度数： 解：（1）（已知）， ________ （________________________）． ________________ （2）求的度数． 解：（2）________， ________（等式的性质）． （已知）， ________ 【答案】（1），三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，90，125；（2），，35 【分析】（1）首先由三角形的高的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）利用三角形外角的性质求解． 解：（1）解：（已知）， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ； （2）解：， （等式的性质）． （已知）， ． 第二部分：中档综合题型 【题型 7】 三角形角平分线、中线、高线综合 【例题7】（25-26七年级上·山东青岛·开学考试）如图，是的三等分点，，如果三角形的面积等于6，那么三角形的面积是多少？ 【答案】18 【分析】连接，得，结合是的三等分点，即可解答． 解：连接， ∵， ∴， 又∵是的三等分点， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·上海·阶段检测）已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 【答案】C 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合中点性质逐步计算即可得到结果． 解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵和同高， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的中点，即，且和同高， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）通过课本的例2的学习，我们已经知道三角形的中线将该三角形分成等底同高（面积相等）的两个小三角形，请你接着思考如下问题：如图，点D是边BC上的一点，连接，在线段上任取一点E（不与A、D重合），分别连接、．①是的中线；②的面积与的面积相等，从中选择一个作为条件，剩余的一个作为结论，构成一个真命题，并证明． 解：你选择的条件是________，选择的结论是________．（只填序号） 【答案】见分析 【分析】本题考查了三角形的中线、三角形的面积公式、命题的证明，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 若选择的条件是①，选择的结论是②，根据三角形中线的性质即可证明；若选择的条件是②，选择的结论是①，根据三角形面积公式即可证明． 解：选择的条件是①，选择的结论是②． 证明：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即的面积与的面积相等； 选择的条件是②，选择的结论是①． 证明：如图，过点、作的垂线，垂足分别为、， 设B到的距离为，C到的距离为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即是的中线． 【题型 8】 三角形内角和与三角形角平分线、高线综合 【例题8】（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． （1）如图①，若，，求的度数； （2）如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 解：（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 【变式1】（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据角平分线定义求出，然后根据，代入数据进行计算即可得解． 解：， ， ∵，， ∴， 又是的角平分线， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】在中，求出，再利用角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求得． 解：，， ， ， ， 平分， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【题型 9】 利用三角形内角和定理与外角性质求值证明 【例题9】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证： （1）； （2）． （3）如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？ 【答案】（1）证明：延长交于点E，如图， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点E，如图， ，， ． （3） ，证明如下： 连接，如图， ，， ， ． 【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明． （2）运用三角形外角的性质来进行推理即可． （3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【变式1】（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在中，平分交于点，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形外角性质求出的度数，再结合角平分线定义得出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得解 解：是的外角， ， ， 平分， ， 在中，． 【变式2】（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【答案】/度 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形外角的性质求解即可． 解：（1）解：是的平分线， ． ，则． 在中，， ； （2）解：∵是的平分线， ． ∵， ∴， ， ． 【题型 10】三角形与折叠问题综合求值证明 【例题10】（24-25七年级下·河北保定·期末）发现与探索综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 如图：操作一：若折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕；操作二：若折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上．完成以上操作后把纸片展平，判断是的______（从中线、角平分线、高线中选填），______． （2）深入探究 操作三：过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，如图，判断和是否相等？并说明理由． （3）结论应用 已知，则______． 【答案】（1）角平分线，；（2）相等，理由见分析；（3）． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形外角的性质． （1）根据折叠的性质作答即可； （2）设与交于点G，由折叠的性质可知，即，得到，进而得到，即可证明； （3）由三角形内角和得到，再根据三角形外角的性质作答即可． 解：（1）解：∵折叠三角形纸片，使与边在一条直线上，得到折痕， ∴，即是的角平分线； ∵折叠三角形纸片，得到折痕，使点在一条直线上， ∴， 故答案为：角平分线，； （2）相等，理由如下： 如图，设与交于点G， ∵过点折叠三角形纸片，使点落在折痕上，得到折痕， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴； （3）∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·北京朝阳·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·福建福州·阶段检测）在中，，的平分线交于点E，将沿折叠，使点A落在边上的点D处，继续沿直线折叠，若折叠后点C落在上，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据折叠可得，，根据等边对等角得出，设，，根据三角形内角和和三角形外角的性质可得，，然后解方程组即可． 解：∵由折叠的性质可知：，，    ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 又，即， 又∵， ∴ ∴， 联立方程组， 解得， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些性质． 【变式3】（24-25八年级上·广东汕头·期中）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下： 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，则． ∵（想一想为什么写出理由）， ∴． （1）如图2，在中，如果，能否证明? 同学小雅提供了一种方法：将折叠，使点B落在点C上，折线交于点F，交于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小雅的方法完成证明； （2）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点E作的平行线交于点M，若，求的度数． 【答案】见分析；（1）见分析；（2） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角． （1）先由折叠得出，再利用三边关系，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论． 解：∵， ∴； （1）证明：由折叠知，， 在中，， ∴， ∴； （2）解：由折叠知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三.同步自测 （1） 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边逐项判断即可． 解：A．由，故不能组成三角形； B．，故能组成三角形； C．，故不能组成三角形； D．，故不能组成三角形． 2．（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【分析】设点到边上的高为，根据三角形的面积公式，结合，可得，得，即可选出答案． 解：设点到边上的高为， ， ， ， 则为中线． 3．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直角三角形的两种面积表示方法，通过列等式求出点到的距离． 解：设点到的距离为 ， ． ， ． ． ． 5．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，将沿着折叠，使点与点重合，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， ∵将沿着折叠，使点与点重合， ∴， ∴． 故选：A． 7．（2026·浙江金华·二模）如图，在四边形中，，平分，交于点，延长到点．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质结合角平分线的定义可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）如图，是的角平分线．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得的大小，再由三角形外角定理可得的大小． 解： 平分， ， ． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 10．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·河北保定·二模）已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则可以取的值为________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边求解范围，进一步可得答案． 解：根据三角形三边关系可得：，即， 则可以取的值为（答案不唯一）． 12．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，再根据三角形周长公式表示出和的周长，利用作差法建立等式即可求出的长． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 14．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 15．（24-25七年级下·上海青浦·期中）中，，则________． 【答案】/60度 【分析】本题利用三角形内角和定理，结合题干给出的与的数量关系，列方程求解的度数． 解：根据三角形内角和定理可得. ， 将代入上式得， 整理得， 解得． 16．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 解：∵， ∴ ∵ ∴． 17．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 18．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上处，则等于_____． 【答案】10 【分析】先根据三角形的内角和定理求得 ，再由折叠性质得，然后根据三角形的外角性质求解即可． 解：∵在中，，， ∴， 由折叠性质得， ∵， ∴． （3） 解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·全国·课后作业）下图中，的边上的高画得对吗？边上的高呢？若不对，请改正． 【答案】解：的边上的高画得对，边上的高不对，正确的画法如图所示： ． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·天津蓟州·期中）阅读下面的证明，补充理由． 已知：如图，于，于，． 求证：平分． 证明：，． ，（    ） （    ） （    ） （    ） 又 平分（    ） 【答案】见分析 解：证明：，． ，（垂直的定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等） 又 平分（角平分线的定义） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． （1）求证：； （2）如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据得到，结合三角形的外角的性质计算即可． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知的三边长分别为a，b，c． （1）若，，且c为整数，求周长的最大值． （2）化简：． 【答案】（1）27；（2） 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 解：（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）【阅读材料】为了证明“三角形的内角和是”，老师给出了如图所示的四种作辅助线的方法． 【回答问题】 （1）图①，②在证明三角形内角和的过程中，应用的数学思想是_________． A．转化思想    B．整体思想    C．方程思想    D．数形结合思想 （2）请选用图③或图④证明三角形的内角和为． 【答案】（1）A；（2）选用③证明三角形的内角和为，理由如下： ∵，， ∴，，，， ∴， 由平角的性质可得，， ∴，即三角形的内角和为． 选用④证明三角形的内角和为，理由如下： 如图所示，延长，在延长线上取一点， ∵， ∴，． 又， ∴， 即三角形的内角和为． 【分析】（1）证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． （2）选用③证明三角形的内角和为，根据平行线的性质得到，，，，得到，再根据平角的性质即可求解； 选用④证明三角形的内角和为，延长，在延长线上取一点，根据平行线的性质可求得，，结合，即可证明结论． 解：（1）解：证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角，用到了转化思想，A选项符合题意； （2）略 【点拨】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，利用转化思想将三角形的内角和转化为平角是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． （1）如图1 所示，若，，则的度数为 ． （2）如图1 所示，如果，求的度数； （3）如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； （4）如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 解：（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $