精品解析：山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二下学期第三次段测数学试题

2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学学科试题 2026.06 班级：_____________姓名：_____________考号：_____________ 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 45 D. 72 3. 若的展开式的各项系数和为64，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ） A. B. A与不互斥 C. D. A与相互独立 5. 已知数列满足，，则的前7项和为（ ）． A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A. 是等差数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当或时，取得最大值 D. 时，n的最大值为32 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为65 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数有2个极值点 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案) 13. 设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 14. 已知函数，若，则的最小值为___________，若在上为单调函数，则的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值： （2）求函数的极值. 17. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若对任意，求的取值范围； （3）证明：对任意. 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高二年级第三次段测 数学学科试题 2026.06 班级：_____________姓名：_____________考号：_____________ 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项错误； ，D选项错误. 2. 已知等差数列的前n项和为，，则（ ） A. 27 B. 36 C. 45 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等差数列通项性质求得的值，再结合等差数列前项和公式及性质计算. 【详解】设等差数列的公差为，则， . 3. 若的展开式的各项系数和为64，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】不妨设， 即， 令，则， ∴，则，故. 4. 某校组织学生选报数学建模、物理实验两门选修课，规定每位学生至少选报一门.已知选报数学建模的学生占比，选报物理实验的学生占比.现在等可能的从该校选取一名学生，设事件A为“该学生选报数学建模”，事件为“该学生选报物理实验”，事件为“该学生两门选修课都选报”，则下列结论错误的是（ ） A. B. A与不互斥 C. D. A与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】因为每位学生至少选报一门，所以判断C；根据容斥原理求判断A；通过判断是否为0判断B；通过判断等式是否成立判断两事件是否相互独立. 【详解】因为每位学生至少选报一门，所以，C正确； 由容斥原理，所以， 所以，A正确； 因为，所以A与B不互斥，B正确； 因为，，所以A与C不独立，D错误. 故选：D 5. 已知数列满足，，则的前7项和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据累乘法，可求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 6. 甲、乙、丙、丁4位同学进行数学建模竞赛（无并列名次），赛后甲、乙预估自己成绩，甲说：“我不可能得到冠军”，乙说：“我应该不会是最差的”，假如两人都猜对了，那么乙得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概型去求乙得冠军的概率即可. 【详解】由题意可得，“甲没有得到冠军”，“乙不是最差的” 则可能的竞赛结果共有（种） 其中乙得冠军共有（种）可能的结果 则甲乙都猜对了，乙得冠军的概率为 故选：D 7. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 8. 剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将恰好局时游戏终止的事件分拆成有平局、无平局的两个互斥事件的和，分别求出这两个事件的概率即可得解. 【详解】恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2， 则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方， 于是得，， ， 所以恰好局时游戏终止的概率为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（    ） A. 是等差数列 B. 成等差数列，公差为 C. 当或时，取得最大值 D. 时，n的最大值为32 【答案】AC 【解析】 【分析】利用得到，，即可判断A；根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可判断B；可得，利用二次函数性质可判断C；解不等式可判断D. 【详解】A选项，由题，当时，， 当时，， 显然，即满足上式，从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变． B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为65 D. 对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，若样本数据的中心点为，则实数的值是4 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，设7个数分别为， 由题意可得，， 所以，， 加入的新数据记为，所以这8个数据的平均数， 所以这8个数据的方差为，故A错误. 对于B，若随机变量服从正态分布，则. 因为，则，故B正确. 对于C，根据题意，甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼､东湖､汉口江滩游玩， 且每人只能去一个地方，则每人有3种选择，则4人一共有种情况， 若汉口江滩没人去，即四位同学选择了黄鹤楼､东湖，每人有2种选择方法， 则4人一共有种情况，故汉口江滩一定要有人去有种情况，故C正确. 对于D，若样本数据的中心点为，则，解得，故D错误. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小值为 B. 函数有2个极值点 C. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导，再根据导数与函数的关系验证选项的答案，对于D选项验证与函数y的解有几个交点. 【详解】由题目可知， 令，因为，则，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可得当时，为极小值，，故A选项正确； 有两个零点，故有2个极值点，故B选项正确； 减区间为，故实数的取值范围是，故C选项错误； 对于D选项，令，则 ， ，解得或， 由A知 ，作出的图象和直线，由图可知有5个交点， 则函数有5个零点，故D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中常数项为__________．(有数字填写答案) 【答案】16 【解析】 【详解】因， 对于的展开式中常数项为， 而的展开式中常数项为， 故的展开式中常数项为. 13. 设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【解析】 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 14. 已知函数，若，则的最小值为___________，若在上为单调函数，则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）用求导数的方法，利用函数的单调性求函数最值； （2）根据题意，分函数为增函数和减函数两类情况讨论求解. 【详解】当时，，所以，令，解得， 由有：，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以； 由在上为单调函数，所以在恒成立，或在恒成立， 当在恒成立时，即，令，所以恒成立， 又，又，所以， 所以，所以， 当在恒成立，即，即，又，所以所以，所以， 综上. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的运算得到，，再求通项即可； （2）根据等比数列及等差数列的求和公式，分组求和即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为． 由题意可得，解得，， 则． 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求的值： （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用切点既在曲线上又在切线上及导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出函数，利用导数法求函数的极值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， ， 切线过点， , 由导数的几何意义可知，斜率, . 【小问2详解】 由（1）知，，可得， ， 令，则，解得或， 当或时，， 当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而可知是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为. 所以函数的极大值为，极小值为. 17. 某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） 人数（人） 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响. （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求的分布列和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意计算随机事件的概率. （2）先确定的所有可能取值，然后计算对应的概率，进而得到其分布列. （3）根据二项分布求得的分布列和方差. 【小问1详解】 设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则. 【小问2详解】 样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人）， 其中可以在2小时内完成的有3人，的所有可能取值为0，1，2，3. ，，，， 的分布列为： 【小问3详解】由题意得，，      ，   ，  ，  ， ∴的分布列为： ∴. 18. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时，若对任意，求的取值范围； （3）证明：对任意. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数分和两种情况研究导函数的正负情况即可求解； （2）首先分离常数，再利用导数研究的单调性，进而得到的取值范围，或利用局部保号性也可求参数的取值范围. （3）根据（2）问的结论，以及数列的前n项和公式进行化简证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，. 当时恒成立，函数在上单调递增， 当时，令得， 则当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 法1：当时，对任意，等价于当时，对任意成立，. 令，则大于的最小值或下确界， ， 则对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 又函数在时函数图象是连续的，且， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为，所以. 法2：设，，则，， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故恒成立， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，设，则， 故在上为增函数，故， 故在上为增函数，故， 故在上恒成立，故. 【小问3详解】 左边是首项为、公比为的等比数列前项和， 即 右边是裂项求和结果.​  由（2）结论，时对任意有， 令得变形得， 对累加得，即原不等式得证. 19. 一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. （1）求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3） 记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合分步乘法计算即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式及分步乘法计算对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，得到数列为等比数列，进而证明即可. 【小问1详解】 设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； 【小问2详解】 操作2次后，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 5 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $