精品解析：山东济南市历城第一中学2025-2026学年高二下学期6月巩固练习数学试题

2026年6月历城一中高二数学巩固练习试题 一､单选题（每题5分） 1. 已知，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 3. 庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（ ） （附：随机变量，则， A. 158 B. 164 C. 172 D. 180 4. 某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）． A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 25 B. C. 15 D. 6. 若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 8. 若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则A，B相互独立 C. 若随机变量，则 D. 二项展开式的所有项的系数和为 10. 现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，最大 D. 两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 三､填空题（每题5分） 12. 的展开式中项的系数为______． 13. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 14. 已知，，则__________. 四､解答题 15. 对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间直接定为优秀，评分在区间，，，分别对应为良好、合格、不合格．然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评．在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立． （1）估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1） （2）在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率． 17. 已知函数， （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）若对，恒成立，求的取值范围． 18. 某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． （1）若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； （2）若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； （3）若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年6月历城一中高二数学巩固练习试题 一､单选题（每题5分） 1. 已知，，，则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数,对求导后结合导数与单调性关系分析的单调性，进而可比较函数值大小. 【详解】令,则, 当时,单调递增, 当时,单调递减, 因为, 所以, 所以 故选:C 2. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 3. 庐江某早餐店发现加入网络平台销售后，每天米饺的销售量（单位：个），估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是（ ） （附：随机变量，则， A. 158 B. 164 C. 172 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定，，从而确定，再根据原则求出概率，即可求解. 【详解】由条件可知，，， 则， ， 估计200天内米饺的日销售量约在700到850个的天数大约是. 故选：B 4. 某公司进行招聘，甲、乙、丙被录取的概率分别为，，，且他们是否被录取互不影响，若甲、乙、丙三人中恰有两人被录取，则甲被录取的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出三人中恰有两人被录取的概率以及甲被录取时恰有两人被录取的概率，利用条件概率公式求解. 【详解】设甲，乙，丙被录取分别为事件，三人中恰有两人被录取为事件，则 ， ． 故选：C． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. 25 B. C. 15 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式，结合乘法的运算进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为： 在的展开式中， 的系数为． 故选：B． 6. 若直线既和曲线相切，又和曲线相切，则称为曲线和的公切线.曲线和曲线：的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知公切线的斜率为和，则，分类讨论当曲线与的切点相同与不相同的情况，求出对应的切点，结合直线的点斜式方程即可求解. 【详解】由，得，由得， 设曲线的公切线与曲线的切点为，则切线的斜率为， 与曲线的切点为，则切线的斜率为， 所以. 当曲线与的切点相同时，， 解得，所以切点为，此时公切线的方程为； 当曲线与曲线的切点不同时，，得， 所以，即，解得，此时与矛盾， 故不存在两切点不同的情况， 综上可得：切点的坐标为，公切线的方程为. 故选：A. 7. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 8. 若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】， 当时，，则函数在内单调递减，不满足条件， 当时，令,则． 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， ∴在上有变号零点， 又，故只需． ∴. 二､多选题（每题6分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 已知，则 B. 若，，且，则A，B相互独立 C. 若随机变量，则 D. 二项展开式的所有项的系数和为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由组合数性质或即可求得的值，对于B，使用条件概率公式后可得，即A，B相互独立，对于C，由题意得，根据二项分布概率公式即可求解，对于D，令即可求二项展开式所有系数和. 【详解】对于A，由得或， 解得或，故A错误； 对于B，由题意得， 即，A，B相互独立，故B正确； 对于C，由题意得， 则，故C正确； 对于D，令则有二项展开式的所有项的系数和为，故D错误. 故选：BC. 10. 现采用有放回与不放回两种取球方式，从装有12个不同小球（6个红球，6个黑球）的盒中逐次抽取5个小球．记有放回的取球方式取得黑球的个数为X，不放回的取球方式取得黑球的个数为Y，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 当时，最大 D. 两种取球方式第三次取到黑球的概率均为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据服从二项分布计算，根据服从超几何分布计算即可判断A，B；通过比较各二项式系数得大小关系，确定概率最大对应的值，可以判断C；分别计算有放回时每次取黑球概率和不放回时各次取到黑球的概率，对比判断D. 【详解】由题意，得采用有放回的取球方式，取得黑球的个数； 采用不放回的取球方式，取得黑球的个数Y服从超几何分布． ∴ ， ，故A正确，B错误． ∵ ， ∴当或时，最大，故C错误． 采用有放回的方式取球，每次取到黑球的概率均为． 采用不放回的方式取球，第三次取到黑球的情况有红红黑、红黑黑、黑红黑、黑黑黑，4种． 其中“红红黑”的概率为，“红黑黑”的概率为， “黑红黑”的概率为，“黑黑黑”的概率为， ∴第三次取到黑球的概率为， ∴两种取球方式第三次取到黑球的概率均为，故D正确． 11. 已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（ ） A. B. 过原点且与相切的直线方程为 C. 不等式的解集是 D. 若恰有两个整数解，则k的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件同时乘得出导函数，得出，由得出判断A即可；根据过一点求切线方程即可判断B；对求导，利用单调性求解即可判断C； 根据，要使恰有2个整数解，，计算即可判断D. 【详解】A选项，由，， 可得，即， 故，为常数，由，可得， 故，，故A正确： B选项，设切点为，，设切线斜率为，则， 所以切线方程为，即， 因为切线过原点，所以， 解得，，所以，切线方程为.故B正确； C选项，， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， 又，时，，时，， 且时，，时，； 当时，，当时，， 的解集是，故C错误； D选项，因为，所以要使恰有2个整数解， 则整数解为2和3，所以，即，化简得； 故实数k的取值范围是，故D正确. 三､填空题（每题5分） 12. 的展开式中项的系数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求指定项的系数. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得，故展开式中项的系数为． 故答案为： 13. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据： 患者性别 药效 合计 无效 有效 男 15 35 50 女 6 44 50 合计 21 79 100 设：服用此药的效果与患者的性别无关．则______（精确到小数点后3位），从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______． 【答案】 ①. 4.882 ②. 5％ 【解析】 【分析】计算，再由独立性检验得出结论. 【详解】由公式计算得． 因为，所以我们有的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为． 故答案为：4.882；5％ 14. 已知，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先利用同构，判断的关系，再利用给出的关系求值. 【详解】因为. 设，则在上单调递增， 且，所以， 所以. 四､解答题 15. 对具有线性相关关系的两个变量，，测得一组数据如下表所示： 20 40 60 80 100 2.09 1.89 1.66 1.45 1.31 （1）求关于的经验回归方程； （2）已知数据残差服从正态分布，其中，．若残差在范围内，则数据正常，反之异常．现该组数据中有一对数据为，判断该对数据是否正常． 参考数据：，，． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1） （2）该对数据不正常． 【解析】 【分析】（1）代入公式，计算出 ， ，即可得到线性回归方程； （2）代入公式求出残差范围，结合线性回归方程求解判断即可. 【小问1详解】 由题表得，， 所以， 则 ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 由（1）得时，；时，； 时，；时，；时，． 所以， ， 所以为． 因为时，， 所以， 所以该对数据不正常． 16. 某企业为激发员工的工作热情，年终对职工进行绩效考核，按绩效发放年终奖，将评价结果采用百分制进行了初评，并根据员工得分绘制出下面的频率分布直方图，评分在区间直接定为优秀，评分在区间，，，分别对应为良好、合格、不合格．然后又对良好、合格、不合格的员工再进行一次复评．在复评中，原来评为良好、合格、不合格员工都有的概率提升一级，分别变为优秀、良好、合格，不晋级则保留原等级，每位员工的复评结果相互独立． （1）估计该企业初评成绩的中位数；（结果精确到0.1） （2）在初评中甲、乙、丙三人分别获得良好、合格、合格，记三人复评后为良好等级的人数为，求的分布列和数学期望； （3）从全体员工中任选1人，求在已知该员工是复评后晋级的条件下，初评是合格的概率． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）首先判断中位数位于之间，设中位数为，列出方程，解得即可； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以中位数位于之间，设中位数为，则， 解得. 【小问2详解】 依题意可得的可能取值为，，，， ，， ，， ∴的分布列如下： 0 1 2 3 所以． 【小问3详解】 由频率分布直方图可知员工考核是良好的频率为， 合格的频率为， 不合格的频率为， 记事件为“该员工复评晋级”，事件为“该员工初评是合格”， 则． 17. 已知函数， （1）当时，求在区间上的最大值和最小值； （2）若对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）求出的导数，得f（x）在（，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，由此能求出f（x）在区间[，e]上的最大值和最小值； （2）求出的导数，通过讨论的取值范围，确定函数的单调区间，从而求出的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导（x＞0），令＝0，得x＝1，（负值舍去） ∴x＞0，x、，f（x）的变化如下： x （，1） 1 （1，e） + 0 f（x） ↑ 极大值 ↓ ∴在区间上是增函数，在上为减函数，f（x）最大值为． 又，，∵，∴f（x）最小值为. ∴，. （2）函数，则的定义域为，． ①若，令，得极值点， 当，即时，在上有，在上有， 此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意； 当，即时，在上有，此时在区间上递增，有，也不合题意； ②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数； 要使在上恒成立，只须满足，由此求得的范围是． 综合①②可知，当时，对恒成立． 【点晴】本题考查了利用导数求解函数的极值与最值、利用导数研究函数的单调性以及分类讨论思想，属于中档题． 18. 某平台开展答题比赛，比赛共进行两轮，选手每轮比赛可以从甲、乙两类问题中选择一类问题，平台从该类问题中随机抽取一个问题供选手回答．比赛规定：甲类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中的每个问题回答正确得50分，否则扣10分；选手初始分数为0分．假设某选手正确回答甲类问题的概率为，正确回答乙类问题的概率为． （1）若该选手两轮都选择甲类问题，求该选手累计得分不低于20分的概率； （2）若该选手第一轮选择甲类问题，第二轮选择乙类问题，记该选手累计得分为，求的分布列与数学期望； （3）若该选手每轮等可能地从甲、乙两类问题中选择一类问题，如果两轮的题目类型相同，记该选手的累计得分为；如果两轮的题目类型不同，记该选手的累计得分为．试判断数学期望与的大小. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）利用对立事件简化概率计算即可； （2）首先确定随机变量的所有可能取值，计算每个取值的概率，进而构建分布列并求解数学期望； （3）进行分类讨论，分别分析随机变量的分布与期望即可得出结论. 【小问1详解】 设事件“两轮比赛累计得分不低于20分”， 由已知该选手正确回答甲类问题的概率为， 所以． 所以该选手两轮比赛累计得分不低于20分的概率为． 【小问2详解】 的所有可能取值为． ， ， 的分布列为 10 50 70 的数学期望． 【小问3详解】 ． 每轮选甲、乙的概率均为，因此，两轮都选甲的概率为，两轮都选乙的概率为，先甲后乙的概率为，先乙后甲的概率为. 两轮都选甲： 的可能取值为 . 两轮都选乙： 的可能取值为 故. 先甲后乙： 由（2）可知，， 先乙后甲： 同理可得， 故， 所以. 19. 已知，函数． （I）求曲线在点处的切线方程： （II）证明存在唯一的极值点 （III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（I）； （II）令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，，当时，，画出大致图像如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则，且， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 为的极大值点，故存在唯一的极值点； （III） 【解析】 【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程； （II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【详解】（I），则， 又，则切线方程为； （II）略 （III）由（II）知，此时， 所以， 令， 若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即， ，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故， 所以实数b的取值范围. 【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $