山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年下学期高二年级4月月考数学模拟试题

高二下学期阶段检测数学试题 一、单选题 1. 已知等差数列中，，则 （ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 2. 已知数列的前n项和为，且，则（ ） A. 20 B. 28 C. 32 D. 48 3. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ） A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 4. 已知随机变量，若，且，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 5. 中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 里路，则该马第五天走的里程数约为（ ） A. B. C. D. 6. 数列，满足，，则的前100项之和等于（ ） A. B. C. D. 7. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足： ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩，且，，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令，，则（ ） A. ， B. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为 C. 从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为 D. 从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为 10. 已知为等差数列，满足为等比数列，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的首项为4 B. C. D. 数列的公比为 11. 在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ） A. 服从二项分布 B. 服从超几何分布 C. D. 三、填空题 12. 已知，则______. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前 项和，， ，则______. 14. 现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答． （1）已知张同学至少取到1道乙类题，则他取到的题目不是同一类的概率为__________； （2）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用表示张同学答对题的个数，则的数学期望为__________． 四、解答题 15. 已知等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，求的前 项和. 16. 设数列 的前n项和为.已知. （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足，求 的前n项和. 17. “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚物，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量，为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望； （2）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生(有放回试验)，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值． 18. 已知公差不为零的等差数列， ，和的等比中项与和的等比中项相等. （1）若数列满足，求数列的前n项和； （2）若数列满足，（），求数列的通项公式. 19. 为响应“书香校园”建设，某校图书馆引入了一套智慧自助借还系统M，该系统内置个智能识别模块.每个模块在日常使用环境下正常工作的概率为，各模块工作状态相互独立. （1）该图书馆从某批次智能识别模块中随机抽取了100个，在“日常校园环境”和“高温潮湿仓库环境”下测试其工作状态，得到如下列联表： 正常工作 故障 合计 日常校园环境 50 5 55 高温潮湿仓库环境 35 10 45 合计 85 15 100 请根据小概率值独立性检验，能否认为模块工作状态与测试环境有关联？ 附：，. 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 （2）当时，系统M中正常工作的模块个数为随机变量X，回答以下问题： （i）求X的分布列及数学期望； （ii）若有超过一半的模块正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善时系统M的可靠性，能否通过增加一个智能识别模块（即）提高系统M的可靠性？请给出你的结论并证明. 高二下学期阶段检测数学试题 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多选题 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】1或16 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）；（2）． 【16题答案】 【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）. 【17题答案】 【答案】（1）分布列见解析，数学期望 （2）当 时，取得最大值 【18题答案】 【答案】（1） （2）. 【19题答案】 【答案】（1）不能认为有关联 （2）（i） 0 1 2 3 4 3（ii）当 时记系统 中正常工作的模块数为随机变量，则 ， 记时系统 的可靠性为，记 时系统 的可靠性为. 故， ， 故 ， 故增加一个模块即 ，能提高系统 的可靠性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《高二下学期阶段检测数学试题》参考答案 题号 1 2 4 6 6 8 9 10 答案 B A 0 C B ⊙ C BCD BCD 题号 11 答案 BD 1.B【详解】设等差数列{a}的公差为d,则d=马-4=12-4 4 4 =2,故 46=4+5d=4+5×2=14.故选：B 2.A【详解】数列{a}中，Sn=3n2-n+4,a4=S4-S3=3×42-(3×3+1)=20.故选：A 3.D【详解】独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法， 并非检验二者是否是线性相关，故A错误；独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故 B错误；99%是指抽烟和“患肺病'存在关联的可能性大小，并非抽烟人中患肺病的发病率， 故C错误；根据卡方计算的定义可知，在一个2×2列联表中，由计算得x的值，则x2的值 越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，对于D正确故选：D 4.C【详解】因为P(K=2)+P(X=3)=C0-p)3+C0-p)2= 8, 所以p0-p时-石印pa-)-子解得p- 所以DWEx为又y=2x+1,所Dm=2D0=4华故选：0 5.C【详解】设该马第n(neN)天行走的里程数为a, 由腿空可知，数列a}是公比为q-的等比数列， 1 41 所以该马七天所走的里程为 27 1274=700,解得4= 27×350 64 127 2 故该马第五天行走的里程数为4，=4 2×350x1_350×822.05.故选：C. 12724-127 6.B【详解】，4bn=1, 1 1 11 .6=r+3n+20m+10n+2n+1n+2' }+品信)片应货放选：B 7.B【详解】由题意可得4=10,4=5，a4=16,45=8,6=4,4=2,a-1,4=4, 答案第1页，共7页 40=2,，,按照此规律下去，可得4+4=2,4m+5=1,4m6=4,n∈， 令100=3n+4,解得n=32,.4o=2.故选：B. 8.C【详解】依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有C=35(种)， 至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有CC+CC4+C=31(种)， 31 所以至少有1名男医生参加的概率为 35 9.BCD【详解】对A:由E(X)=80,D(X)=400,则u=80,G2=400,故A错误： 对B:由4=80，σ2=400，则~N(30,20),则4-5=80-20=60， +2o=80+2×20=120,故有P(60≤X≤100)=m,P(40≤X≤120)=n, 则P00≤X≤120)-，则P(60≤X≤120)=n-m+m-=u+n 2 2 即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为心+”， 2， 故B正确： 对C:P(X≥120)=1，则从该市高一全休学生中（数金很大)依次抽取两名学生， 这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P=2x”×1 故C正确： 对n:Px:60号分又PK2120 1-n 2 故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生， 该生测试成绩及格的概率为+罗，该生测试成绩优秀的概率为”。则在已知该生测试成 1 m 1-n 绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为m+m 2 1-n ,故D正确故选：BCD 22 10.BCDl详解】对于A项，设{a}的公差为d,由2-4=2可得2(4+d)-4=2,4+2d=2, 不能确定a的值，故A项错误； 对于B项，4=4+2d=2,故B项正确： 对于C,D两项，设{b}的公比为9，由b=1,b4=4,可得：q=4,则q=±2，于是b=b4q4=64, 故C项正确；D项也正确故选：BCD. 答案第2页，共7页 11.BD【详解】依题意，等差数列{a}公差d=4-4=-4-（-8)=4,则通项为 a,=a+(n-2)d=-8+(n-2)×4=4n-16, 由a>0得n>4,，即等差数列{a}前10项中有6个正数， X的可能取值为0,1,2,3，X=k(k∈N,k≤3)的事件表示取出的3个数中有k个正数，(3-k) 个非正数，因此，PX=k)-cC”化eNk≤)X不服从二项分布，X服从超几何分布， C A不正确，B正确；P(X=2)=CC-1 G2C错误， 由思B(-0xcC+1cC+2xcC+3cS18’,DE确，放选：BD C C1051 12.号【详解】由P(A)=P(A0P(A+P④P(lD, 得音P0&+l-兮·解得P国-号放答案为：号手 13.1或16【详解】各项均为正数的等比数列{a}中，公比q>0, 由4·4=16=G,所以4=4，又S3=14, 4+4=10解得8=2或4=8 所以马=16 或 4=84=21 若92 a=8时，可得g=2,则a=4g=8x2=16, 1 若位时，可得05则0=4g=2号1放答案为：1或6 2 14. 24 0.96 2 2【详解】(1)解：由题意知有10道题，其中6道甲类题，4道乙 类题，张同学从中任取3道题解答，设事件A:至少取到1到乙类试题的概率，可得 P④=C4c8+cCg+C10 120 设事件B:至少取到1到甲类试题的概率，可得P(1B)=CC哈+CC_96 120 答案第3页，共7页 所以取到1道乙类题，则取到的题目不是同一类的概率为P(B|A)= P(4B)=0.96. P(A) (2)解：由题意，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， 可为x0)1 (x-=6-)3〔-g器 x2c周1c}阳 所以随机变量X的分布列为： X 0 2 3 4 28 57 P(X) 36 125 125 125 125 所以数学循望为()=0西 +2x57+3x36 28 2.故答案为：0.96；2. 125 125 125 15.(1)a=21-l:(2)8=3”-3 2 【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,则a,=a+(n-1)d 由4=1,4=5可得5=1+2d,解得d=2 从而a,=1+(n-1)×2=2n-1.即数列{a}的通项公式4=2n-1 (2)设等比数列也，}的公比为9，则b,=4q- 由b=a=3,b=4+4+4=1+3+5=9=b9,解得q=3, 所以扬}的前项和公式了-61-g）_30-3)3m-3 1-91-3 2 16Da”1mx-是0 3,n=1, 【详解】(I)因为2Sn=3”+3,所以，24=3+3，故4=3， 当n>1时，2S1=31+3,此时，24=2Sn-2S1=3”-3”-1,即a,=3, 答案第4页，共7页 3,n=1, 所以，a=,n>1 (Ⅲ)因为a6=l加g:a,所以么-专 当n>1时，么=31g,3=0u-小3所以买=么=兮 当n>1时， 工=么+a+8*+6+0g+2x++0-3), 所以3江=1+[1×3°+2×31++(n-1)32-],两式相减，得 2Z=+(6”+3++3）-0-1)-3=2+1-32 3 Γ31-3(0m1)3-a=136m+3 62×3m 所以工-吕架号经检照，=1时也适合，综上可得：工 136m+3 -124×3” 17.0)分布列见解析，数学期望Q当k-10时，P(内取得最大值 【详解】(1)由频率分布直方图得：周平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组的频 率之比为0.05：0.04：0.01=5：4：1， 10人中，周半均岗读时间在214国的人数为100-5人：在041可]的人数为10。=4人： 在(16,18]的人数为10×=1人： 10 则X所有可能的取值为0,1,2,3， ·P(x=0)= g-202PK=1ycC601 C12061 C301202 x=-g品P=3号西0 C41 C3.12010 X的分布列为： 0 2 3 1 、 3 1 6 10 30 数学期望)=0×+1+2 0+3 1 (2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取1名学生，周平均阅读时间在(8,12]内的 答案第5页，共7页 餐率P=o15-0k2=a5=分则P)=c0-)=c子r产. 1 1 若P(k)最大，则C最大，.当k=10时，P(k)取得最大值. 2 18.Tn2 【详解】(1)设数列{a}的公差为d(d≠0)， a1与4，的等比中项与4与44的等比中项相等，即：4·a=44, 所以a4·(4+6d)=(4+d)(4+3d)→2g=3d, 又知a=4+2d=7,解得：4=3，d=2, 所以an=4+(n-1)d=2n+1, (-D0 6、1 1 王=0号号+066知的·m以x 1 1=111=n (2)2。=(2+4)cH→0.=u+2kA→a出” cn n+2' 由累乘法可得：6，=9过929三G=”-1-2n-3.2 1s、2 Cn-1 Cn-2 Cn-3 C2 C1 =n+1nn-1431=nn+d' 2 2 即6，nn+D,故数列c,}的通项公式：6，nm+D 19.(1)不能认为有关联 (2)(i)分布列见解析，3(ii)能，证明见解析 【详解】(1)零假设为H:模块工作状态与测试环境无关联 根据列联表中数据，得x=100x(50x10-35x5)2 3.347<6.635， 55×45×85×15 所以依据小概率值的独立性=0.01检验，我们推断H成立，可以认为模块工作状态与测 试环境无关联 (2)①油题意可知X~B44) 43 xo日sx品高 答案第6页，共7页 (x-2-月用是离x=-c得) P(x--c 则X的分布列如下： X 0 1 3 3 4 1 3 27 81 256 64 128 64 256 E(X)=0x 1+1 3+2x 27 +4× 81 +3× 25 6 =3 128 64 256 ②当=5时记系统ME带工作的块服为随机变量了、则~A号》】 记n=4时系统M的可靠性为？，记n=5时系统M的可靠性为乃. 故=P(K=3列+P(x=4)=1 256 =P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5) -c4+cac④ 270,405,243918459 1024102410241024512 故-月-兴铝器常 故增加一个模块即n=5,能提高系统M的可靠性 答案第7页，共7页