2025-2026年高一下学期数学人教B版期末复习卷必修第三册（提升版）

**基本信息** 以水车文化传承与生活实践为情境，梯度设计覆盖三角函数图像性质、向量运算等核心知识，提升版适配高一期末综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|三角函数求值、图像解析式、向量模长|第5题结合水车旋转考查函数性质，体现文化传承| |填空题|3/15|函数零点、三角函数图像交点、梯形向量|第13题通过图像交点与单调性综合考查参数| |解答题|5/77|五点法作图、梯形向量计算、含参函数综合|19题三问递进设计，考查恒成立与根的分布，适配高考命题趋势|

2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，可得，切化弦可得，继而化简，即可求得答案. 【详解】设，则， 由，得， 即，则， 故. 2．已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象最高点确定，利用周期求出，最后代入最低点坐标求出. 【详解】由 ，，，的图象可知， . 因函数图象过最高点，且随后经过点， 所以函数的最小正周期满足，解得，因为，所以 . 即函数表达式为 . 将点 代入上式，得，化简得. 所以，因为，可得. 所以该函数的表达式是 . 3．已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的对称中心，通过整体结构一致，即可求解. 【详解】对于正切函数，其对称中心满足， 因为是的对称中心， 因此将代入得： ， 整理得​， 因为，要求的最小值，则取最小的正整数， 代入得： ，​ 因此的最小值为. 4．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 5．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件得的值，从而得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质逐一判断，即可得. 【详解】由题意，，，所以， 点代入，可得，解得， 又，所以，故①正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故②错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故③正确； 当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误； 6．已知为锐角，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】由同角三角函数关系及两角和的正切公式求出，再联立两角和的余弦公式求得与的值，最后由两角差的余弦公式求得. 【详解】因为为锐角，所以， 由，得 ， 所以， 即， 又，所以 ， 解得，即， 故. 又， 得，所以. 所以 . 7．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用同角三角函数的平方关系与两角和与差的正余弦公式计算. 【详解】由，，得， 由，得， ，由，得， 因 而， ， . 8．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数在上单调递增及，结合正弦函数单调性与零点性质，得到的取值范围和的含参表达式；再由推出为对称轴，建立的另一含参表达式；联立两式解出，回代并结合的条件，最终确定． 【详解】因为，在上单调递增，，， 所以且， 所以，， 又，则，故， 所以，解得， 因，则，所以， 又，则当，时，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据结合题干式子可求出，根据同角三角关系可求出，可判断A；利用可判断B；根据齐次式转换可判断C；利用同角三角关系求出，结合辅助角公式可判断D. 【详解】由，得，解得， 因为为锐角，所以，所以， 所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，又为锐角，解得， ， 故D错误. 10．已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A．是函数的一个周期 B． C．不等式的解集为， D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【分析】由，得，由，得，所以再依次判断选项即可． 【详解】对于A，由题意及函数的图象可知，.设函数的最小正周期为， 则阴影部分的面积为，则.因为的最小正周期为， 所以也是的一个周期，故A正确. 对于B，因为，所以.因为，即， 所以.因为， 所以，所以，故B正确. 不等式，即，所以，， 解得，，故C错误. 将的图象向右平移个单位长度后， 所得图象的函数解析式为，为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 11．已知点是的外心，，记，，设，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】A应用向量数量积的定义求值判断；B、C取线段的中点，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出判断；D取线段的中点，连接，应用向量垂直关系及数量级的运算律求值判断. 【详解】A：如图，，故不正确； B：因为，，所以是等边三角形， 如图，取线段的中点，则， 所以，故正确； C：因为， 所以，则，，，故正确； D：取线段的中点，连接， 因为，所以是等腰三角形， 所以，， ，故正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，由可得，由可求出的取值范围，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】， 由可得， 因为，，则， 因为函数在区间上恰有两个零点，则，解得. 故的最大值为. 13．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 14．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______ 【答案】16 【分析】取中点，计算可得，再结合图形可得，即可得解. 【详解】取中点，连接、， 则， 由点为梯形四条边上的一个动点， 由图可得， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）结合“五点法”的对应取值，列关于和的方程组求解即可. （2）将看作整体，代入正弦函数的单调递减区间求解不等式即可. （3）先求得内层函数在给定区间的取值范围，再结合正弦函数的图象性质求值域即可. 【详解】（1）∵ 由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时，. ∴ 列方程组得 ，两式相减得，解得. 将代入，解得，满足. 故，. （2）由（1）得. ∵ 正弦函数的单调递减区间为. ∴ 令. 解左边不等式：，即. 解右边不等式：，即. 故函数的单调递减区间为. （3）当时，∵ . 令，则. ∵ 当时，取得最小值；当时，取得最大值. ∴ ，即在区间上的值域为. 16．如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且． (1)若，求的值； (2)若是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立适当平面直角坐标系后，可表示出各点坐标，再表示出各向量计算即可得； （2）设，表示出两向量后利用数量积公式计算即可得. 【详解】（1）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系如图所示： 则，，，，，，， ，则， 又因为， 所以，解得，，则； （2）设，则，， 所以， 函数的对称轴为， 所以时，的最小值为. 17．已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若方程在上的根从小到大依次为，，，，求的值； (3)设，记在上的最小值为，求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换将化为正弦型函数，再求单调区间. （2）先求出方程在上的所有根，再求的值. （3）根据的单调性对分三种情况讨论：、和. 【详解】（1）. 令，，解得，， 所以的单调递增区间为，. （2）作出的图象和直线，如图. 因为，所以，即， 所以，或，， 解得或，.         由图可知，的图象与直线在内有5个交点， 则所有根从小到大依次为，，，，.     所以，，，， 所以 . （3）当时，有，在上单调递增， 所以在上单调递增，得；       当时，有， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，且左端点值小于右端点值，得； 当时，有，且， 在上单调递增，在上单调递减，且右端点值小于或等于左端点值， 此时的最小值为.     综上， 19．设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，，则，，其中，当时，利用二次函数的基本性质求出函数在上的值域，即为函数的值域； （2）当时，，函数变为，，所求问题变为恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性求出的最小值，可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围； （3）分析可知在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根，    令，则有，解得， 即的范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版期末复习 必修第三册（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 5．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知为锐角，，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 8．若函数在区间上单调递增，且，，则的取值是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A．是函数的一个周期 B． C．不等式的解集为， D．将的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 11．已知点是的外心，，记，，设，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若函数在区间上恰有两个零点，则的最大值是______． 13．已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 14．在直角梯形中，，，，点为梯形四条边上的一个动点，则的最大值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 0 1 0 0 (1)根据上表中数据，求出，的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)求函数在区间上的值域． 16．如图，在直角梯形中，，，，为上一点，且． (1)若，求的值； (2)若是上一点，求的最小值． 17．已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 18．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若方程在上的根从小到大依次为，，，，求的值； (3)设，记在上的最小值为，求. 19．设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $