2025-2026年高一数学人教B版必修第三册期末复习卷第八章向量的数量积与三角恒等变换（提升版）

**基本信息** 高一数学人教B版必修三第八章期末提升卷，全面覆盖向量数量积与三角恒等变换，题型多样，注重能力梯度与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量投影、模长、夹角，三角求值|基础概念与几何情境结合，如第1题投影向量、第5题向量夹角相等求模| |填空题|3题15分|矩形向量运算、三角恒等变换|几何背景下的计算应用，如第12题矩形中点F满足向量条件求长度| |解答题|5题77分|向量夹角、函数周期与恒成立|分层设问，综合考查运算与推理，如第19题函数f(x)的周期、方程有解及恒成立问题|

2025-2026年高一数学人教B版必修第三册期末复习 第八章向量的数量积与三角恒等变换（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，即， 又，， 所以， 则向量在向量上的投影向量为： ． 2．在矩形中，与相交于点，过点作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据题意先求点坐标，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，所以， 且 ，解得， . 3．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，则， 而，， 则，， 所以 . 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 原式= . 5．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 【答案】D 【分析】根据题意可得平面向量，两两夹角为或，结合向量模的公式求解即可. 【详解】 当平面向量，两两夹角为时，，则，所以 当平面向量，两两夹角为时，，则，所以， 所以，故或． 6．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据及得到与同正或同负，进而判断出为第一象限角，即；根据两角和差的余弦公式得到；根据同角的三角函数关系得到，进一步分情况讨论求解即可. 【详解】因为，，所以. 又，，，所以与同正或同负. 当与同负时，为第二象限角，，与矛盾，舍去. 当与同正时，为第一象限角，满足条件，所以，则. 因为， ， 所以. 由，，得. 若，则（舍去，因为）. 若，则. 因为，所以. 7．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合关系及利用两角和正弦公式化简可求，再根据二倍角正切公式及齐次化方法求结论. 【详解】， 又 ， ，即， 当时，，矛盾， ，， . 8．在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，以为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示：     ，， 设，则，，则，. 令，则，. ； 的最小值为，，，解得. . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知非零向量，满足，且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若，，，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】已知，且，则， 设，则，解得， 选项A：，故A正确； 选项B：， 故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：若，则，故 ， 最小值为，故，故D正确． 10．已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】选项A，因为为锐角，所以，得，，A错误； 选项B，因为为锐角，所以，， 则， ，B错误； ， 选项C，由B选项可知，C正确； 选项D，由B选项可知，D正确 11．已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用和、差的正弦公式将转化为，然后利用和、差的正切公式以及二倍角公式依次判断即可. 【详解】已知，，， 由于，， 所以， 化简得，即， 对于A，若，则，， 由于，所以，解得，故A正确； 对于B，由前面的推导可知，故B正确； 对于C，假设存在，使得，代入等式，即， 由于， 所以，解得，由于，，矛盾， 因此不存在，使得，故C错误； 对于D，由于，所以， 由于，，所以， 根据基本不等式，，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 【答案】 【分析】建立如图所示的坐标系，得到点坐标，结合向量的数量积的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】建立如图所示的坐标系，可得，，，， 设， ∴，， ∴，解得，即， ∴，， ∴. 13．若，则__________. 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用和差角的正余弦公式，结合凑特殊角的方法求解. 【详解】由，得， 若，则，与矛盾，因此，， 所以 . 14．在直角梯形中，，，，，直线与直线相交于点.若（，），则____________，____________. 【答案】 / 或 【分析】分与进行讨论，若，以为坐标原点，建立适当平面直角坐标系，再表示出、、、，利用，，结合向量坐标运算求出、，从而得解；若，则可以为坐标原点，建立适当平面直角坐标系，再用同样的方法求解. 【详解】若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则、，设，则，由， 则，故（负值舍去），则、， 则、、、、， 故，， ， 又，则，， 由题意可得，， 则，解得， 则， ， 则； 若，如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则、、，则，由， 则，、、、、 故，， 又、，则， 由题意可得，， 则，解得， 则， ， 则； 综上可得：，或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，满足，且，． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积运算来求夹角即可； （2）利用向量夹角为锐角的充要条件是两数量积大于0且这两向量不同向共线，再利用数量积的运算和共线运算即可． 【详解】（1）因为，所以，即， 又，所以； 因为，所以，即， 所以，则； （2）， 由题意知且向量与不同向共线，所以， 当向量与同向共线时，， 即，，解得（负值舍去）． 所以，且，解得，且， 即实数t的取值范围为． 16．在直角梯形中，已知，，，点是边的中点，点是边上一个动点（含端点）．请建立适当的直角坐标系解决下列问题： (1)若， ①求的大小； ②求向量与向量的夹角的余弦值； (2)求的取值范围． 【答案】(1)①；②. (2) 【分析】（1）①建立平面直角坐标系，利用坐标法求得；②利用坐标法求得向量与向量的夹角的余弦值. （2）利用向量法求得的取值范围． 【详解】（1）①以为原点，、所在的直线为分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 若，则是中点，所以， 则，， 所以. ②； （2）设，， 则，， 所以， 因为，所以. 17．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式、两角差的余弦公式计算即可得； （2）通过角的配凑，结合同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】（1） 由得，故， 则 ； （2），则， 即有， 故，又，则，， 则， 故，即有、， 由，，则， 则， 则 . 18．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开求解即可； （2）利用二倍角公式求出，再由同角三角函数基本关系求出，最后利用商数关系可求tanβ即可； （3）利用两角和公式分别求出，，，，最后利用两角差余弦求解即可. 【详解】（1）由题设，，， ∴，， （2） 因为，则，所以 （3）由， 则， 由， 则， ∴，， 又因为， ∴， 而，故. 19．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数的周期公式求解； （2）令，利用正弦型函数的值域求出的取值范围，将原方程有解转化为在时有解，求解即可； （3）利用换元法化简不等式，求解后得出，转化为为的子集求解即可. 【详解】（1）因为向量，，函数， 因此， 所以的最小正周期为. （2）令，由于，所以，， 则原问题转化为在上有解， 即在时有解， 因为在时单调递减，所以， 所以实数的取值范围为. （3）因为， 所以由对任意恒成立，可得对任意恒成立， 令，则，所以不等式可化为， 可得，解得，解得， 即，解得， 所以， 所以的最大值为. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第三册期末复习 第八章向量的数量积与三角恒等变换（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在矩形中，与相交于点，过点作，则（    ） A． B． C． D． 3．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 5．若平面向量，两两夹角相等，且，则（    ） A．3 B．6 C．3或6 D．6或 6．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则（   ） A． B． C． D． 8．在中，，，为所在平面内的一个动点，若的最小值为，则（    ） A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知非零向量，满足，且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．向量与的夹角为 D．若，，，则的最小值为 10．已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 11．已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B． C．，，使得 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在矩形中，，，点E为中点，点F在边上，若，则__________． 13．若，则__________. 14．在直角梯形中，，，，，直线与直线相交于点.若（，），则____________，____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知向量，满足，且，． (1)求向量与的夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数t的取值范围． 16．在直角梯形中，已知，，，点是边的中点，点是边上一个动点（含端点）．请建立适当的直角坐标系解决下列问题： (1)若， ①求的大小； ②求向量与向量的夹角的余弦值； (2)求的取值范围． 17．已知，，且，． (1)求的值； (2)求的值． 18．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 19．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期； (2)若时，方程有解，求实数的取值范围； (3)若对任意恒成立，求的最大值. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $