2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册期末复习卷第十一章立体几何初步（提升版）

**基本信息** 高一数学人教B版必修四立体几何期末提升复习卷，聚焦体积、空间角、面面垂直等核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化空间想象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|圆台体积、正三棱锥内切球表面积、异面直线成角|结合直观图（如圆台侧面展开图）、多面体动态问题（直三棱柱动点最小值）| |填空题|3题15分|四面体异面直线垂直、线面角、正方体动点体积范围|空间几何量计算（外接球表面积）、轨迹与体积综合| |解答题|5题77分|面面垂直证明、二面角正切值、四棱锥体积、存在性探究|多问递进（证明-计算-体积），结合折叠（菱形折起）、动点轨迹（棱上动点最小值），贴近高考命题趋势|

2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十一章立体几何初步（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 2．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 3．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 6．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 7．在平行四边形中，，，现沿将平行四边形折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 10．在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使得平面平面， B．过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 13．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 14．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值； (3)求四棱锥的体积． 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角. 17．如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 18．如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在直三棱柱中，，D为的中点． (1)求证：平面平面； (2)已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第四册期末复习 第十一章立体几何初步（提升版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由侧面展开图可确定圆台的上下底面半径和母线长，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， 从而圆台的高为，所以圆台的体积. 2．一正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，侧面积为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式求出体积. 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为；设正四棱台的高为，斜高为.   正四棱台的侧面积为，一个侧面积. ，解得. 在正四棱台中，，即，. . . . 3．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以.    4．如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线所成角，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取中点，连接.则， 且，则四边形为平行四边形，则. 由图则异面直线所成角为或其补角， 中，，，. 由余弦定理可知. 异面直线所成角的余弦值为. 故选：D. 5．如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，，M是线段上的动点，当取得最小值时，的周长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把与沿摊平，变成一个平面四边形，连接交于M，此时即为的最小值，由此计算可得结论. 【详解】直三棱柱中，侧棱，又，，平面，所以平面，而平面，所以， 侧面是正方形，是等腰直角三角形，， 把与沿摊平，变成一个平面四边形，如下图，连接交于M， 则， 又，， 由余弦定理得，此为取得的最小值， 又在直三棱柱中，， 所以所求的周长为.    6．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面面平行得到轨迹的长度求解即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，，， 根据长方体的结构特征，易得，， 因为平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，又平面，且面， 所以平面，即点在平面与平面的交线上， 因为，所以， 所以，所以动点的轨迹长度为.    7．在平行四边形中，，，现沿将平行四边形折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，结合直二面角可得平面，进而可得，因此为三棱锥的外接球的直径，由此可求得表面积． 【详解】在平行四边形中，，所以， 沿将平行四边形折成直二面角，则平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理， 取的中点为，则到四个顶点距离相等， 所以三棱锥的外接球的直径为， 且， 所以三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值. 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 【答案】AC 【分析】利用立体几何点线面的位置关系及求体积表面积知识对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    10．在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于，，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使得平面平面， B．过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，证得平面和平面，得到平面平面，可判定A正确；得到过点的截面为平行四边形，结合，可判定B不正确；证得平面，得到点和 到平面的距离相等，结合，可判定C正确；将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A，如图（1）所示，分别连接， 在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，如图（2）所示，过点在平面内，作， 交分别为，则过点的截面为平行四边形， 设，其中，可得，， 当时，即点与重合时，，此时， 所以； 当时，可得且， 所以， 综上可得，截面平行四边形的面积，所以B不正确； 对于C，如图（3）所示，因为，且平面，平面， 所以平面， 又因为，所以点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，且定值为，所以C正确； 对于D，如图（4）所示，将等腰直角展开到与矩形在同一个平面内， 此时点为点，则满足， 当且仅当三点共线时，取得等号， 在中，， 则 ， 所以的最小值为，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，四面体中，，，分别为的中点．若异面直线与互相垂直，则的长为________． 【答案】/ 【分析】取中点，连接，可得，，且，根据勾股定理即可求解. 【详解】取中点，连接， 又分别为的中点，所以，， 又，，异面直线与互相垂直， 所以，，且， 所以，即. 13．在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直找到所求线面角，再利用边长关系计算可得. 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 由平面易得，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 14．已知棱长为1的正方体内有一个动点M，满足，且，则四棱锥体积的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用正方体的空间垂直关系去证明平面内的点都满足，再去证明动点M在以为圆心，以为半径的圆上，从而利用点M在圆上的性质去解决最值问题. 【详解】如图所示，设， 在正方体中，平面，因为平面， 所以，又，平面， 所以平面， 因为是线段的中点，，则， 所以点在平面内，即，    又因为，所以点在以点为球心，1为半径的球面上， 而，则平面， 所以到平面的距离为，由正方体的边长为1，则， 因为平面，所以，则， 所以在平面内，且以H为圆心，为半径的半圆弧上， 则到平面的距离的最小值为，最大值为1， 而正方形的面积为1， 所以四棱锥体积的最小值为， 最大值为， 则四棱锥体积的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值； (3)求四棱锥的体积． 【答案】(1)因为，为的中点，所以， 又因为底面为菱形，，所以是等边三角形， 又为的中点，所以，又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以平面平面； (2) (3) 【分析】（1）利用等腰三角形和等边三角形的性质可证平面，进而可证结论； （2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，进而计算求得二面角的正切值； （3）由题意可得，进而计算即可. 【详解】（1）略. （2）过作于，连接； 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又是等边三角形，，所以， 又因为，所以， 所以，又， 所以，解得， 在中，； （3）因为为的中点，所以， 又底面为菱形，所以， 所以 . 16．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角. 【答案】(1)设，连接，因为底面为菱形，所以， 又因为，所以，且，平面， 所以平面； (2)取PC的中点F，连接OF，EF， 所以，，又因为，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； (3) 【分析】（1）设，连接，根据底面为菱形，得到，再由，得到证明； （2）取PC的中点F，连接OF，EF，结合，，论证四边形是平行四边形，得到证明； （3）由（1）知平面，从而是直线与平面所成的角求解. 【详解】（1）略； （2）略； （3）由（1）知平面， 所以是直线与平面所成的角， 设，因为， 所以,, 因为，所以. 17．如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． (1)求四棱台的体积； (2)求的最小值； (3)在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 【分析】（1）求出台体的高，根据台体体积公式进行求解； （2）将两梯形折到同一平面内，结合余弦定理进行求解； （3）在上取点，使得，证出四边形为平行四边形，即可得出平面. 【详解】（1），故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； （2）将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； （3）略 18．如图1，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，点为的中点，将沿边折起，使平面平面，连接，得到如图2所示的几何体． (1)证明：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如下图，在图2中，连接. 在等边三角形中，为的中点，所以. 在中，，，所以为等边三角形. 因为为的中点，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. (2) (3)存在；. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证明. （2）利用条件可得为二面角的平面角，再求得为等腰直角三角形即可. （3）假设存在，可得平行于平面内直线，在中，可利用平行线之间的比例得到，从而得到. 【详解】（1）略 （2）因为平面，平面，所以. 因为，所以. 因为，所以. 所以为二面角的平面角. 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在等边三角形中，，所以. 在等边三角形中，. 所以为等腰直角三角形，则. 所以二面角的大小为. （3）假设在线段上存在点，使得平面. 如图，连接交于点，连接. 因为，，所以. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 在中，，所以. 所以在线段上存在点，使得平面，且. 19．如图，在直三棱柱中，，D为的中点． (1)求证：平面平面； (2)已知，． （i）求点到平面的距离； （ii）若点在上，且∥平面，求的值． 【答案】(1)因为三棱柱为直三棱柱，所以底面， 平面，所以，又，， 平面，所以平面， 平面，所以平面平面. (2)（i） （ii） 【分析】（1）先证明线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）（i）根据等积变换，利用求解； （ii）证明当为中点时，∥平面，从而得出的值. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）平面平面，交线为，在上， ，故平面， 即到平面的高为. ， . 由（1）平面，所以， 中，， . 设点到平面的距离为，， ，所以. 所以点到平面的距离为. （ii）取的中点，连，因为是的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 当为中点时，连，则，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面，平面， 所以平面，所以. 2 / 22 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $