第八章 向量的数量积与三角恒等变换 期末复习卷（基础版）-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

**基本信息** 聚焦向量数量积与三角恒等变换基础，通过单选、多选、解答题分层设计，强化运算能力与几何直观，适配高一期末基础复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|向量夹角、投影向量、三角公式|单选夯实基础（如向量数量积计算），多选考查综合辨析（如共线单位向量判断）| |填空题|3题/15分|向量夹角、投影向量、三角函数值|直接应用核心公式（如已知模长求向量夹角）| |解答题|5题/77分|向量数量积综合、三角恒等变换应用|分层设问（如15题先求数量积再求夹角余弦值），结合三角形情境（18题）体现几何直观与模型意识|

2025-2026年高一数学人教B版必修第三册期末复习 第八章向量的数量积与三角恒等变换（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 解得，故． 2．已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知模长等式平方求得与的数量积关系，再计算目标两向量的数量积为0，即可判断夹角为直角. 【详解】已知，则，展开得，整理得. . 由于不共线，因此夹角为. 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，即； 由，得， 所以，即. 两式相减，得， 所以 . 4．已知向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示求解即可. 【详解】由题设，，， 所以. 因为，所以. 5．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】代入投影向量公式求解. 【详解】在上的投影向量为， 所以. 6．（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式可得，利用倍角公式可得，再结合辅助角公式化简即可. 【详解】因为， 且， 所以原式. 7．已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 8．已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式可求出的值，结合为第二象限角，以及同角三角函数的基本关系可得出、的值，即可得出所求代数式的值. 【详解】因为为第二象限角，所以，， 由，即， 整理可得，所以，故， 因为，，所以，， 故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．与向量共线的单位向量是 D．当向量与向量的夹角为锐角时， 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，，若，则， 即，，故不存在，使，故B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误； 对于D，当与的夹角为锐角时，且，不共线， 即且，解得，故D正确. 10．下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两角和的正切公式可判断A和C，根据二倍角公式可判断B，利用两角差的正余弦公式化简可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以 ，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D正确. 11．已知，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A由韦达定理求解；B.由韦达定理求解； C. 转化为表达求解；D转化为表达求解. 【详解】已知 是方程 的两根，由韦达定理 选项 A， ，A 错误； 选项 B，，B 正确； 选项 C， ，C 正确； 选项 D， ， 所以，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知二非零向量满足，，则向量与向量的夹角是___________． 【答案】135° 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解. 【详解】由，得，则， 又，则，， ，而，解得， 所以向量与向量的夹角是. 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 【答案】 【分析】根据投影向量的公式，及数量积的计算公式，直接求解即可. 【详解】由投影向量的公式可得在上的投影向量为， 因为向量，的夹角为，且，，则， 所以， 所以，即在上的投影向量为. 14．已知，，则_____ 【答案】 【分析】先应用两角和余弦及辅助角公式计算得出，结合角的范围得出，最后应用特殊角余弦计算求解. 【详解】因为 ， 所以， 又因为，所以，所以，所以， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且向量与向量的夹角为． (1)求与的值； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由向量数量积定义以及向量的运算法则求解即可； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为，，且向量与向量的夹角为，所以． ． （2）， 所以， ，所以． 向量与向量的夹角的余弦值 16．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接利用坐标计算，再通过先算差向量坐标的方法，再直接计算； （2）利用向量夹角余弦公式，先算出两个向量的模，再代入已得的数量积计算结果； （3）先求出的坐标，再代入向量模长的坐标公式直接计算. 【详解】（1）， 因为，所以. （2）因为，， 所以. （3）因为，所以. 17．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)换元转化已知角，通过二倍角运算得到倍角的三角函数值，再利用差角公式配凑求出； (2)建立目标角与已知角的关系，利用和角公式求出中间角，结合角度范围确定具体值后得到. 【详解】（1）令，由得，，， ，， ，. （2）令，由得，，， ，， 又， 所以，. 18．在中，试解决以下问题： (1)若，求的值； (2)若，求： ①； ②的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正切公式计算得解. （2）①利用和角的正切公式求解；②由给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）在中，由，得， . （2）①在中，由，得， 因此，而， 所以. ②由①知，则， ，得，则， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是. 19．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，用表示的值． 【答案】(1) (2) 【分析】利用正切差角公式、二倍角公式、同角三角函数关系，通过齐次化变形、代数化简求解目标式． 【详解】（1）由正切差角公式：， ， 又， 所以． （2）， 因为，所以， 则， 所以， 由同角三角函数的平方关系得，， 又，所以，则． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年高一数学人教B版必修第三册期末复习 第八章向量的数量积与三角恒等变换（基础版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知不共线的向量满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则与夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．（     ） A． B．2 C． D． 7．已知 ， ， ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．与向量共线的单位向量是 D．当向量与向量的夹角为锐角时， 10．下列值为的式子有（   ） A． B． C． D． 11．已知，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知二非零向量满足，，则向量与向量的夹角是___________． 13．已知平面向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为____________． 14．已知，，则_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，，且向量与向量的夹角为． (1)求与的值； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 16．已知向量，满足，． (1)求向量，的数量积及的值； (2)求向量，夹角θ的余弦值； (3)求的值． 17．已知，，，. (1)求的值； (2)求的值. 18．在中，试解决以下问题： (1)若，求的值； (2)若，求： ①； ②的最大值． 19．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，用表示的值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $