四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

**基本信息** 以秦九韶“三斜求积术”传承数学文化，结合世界杯进球数统计、峨眉山旅游满意度调查等真实情境，通过圆锥体积最值、正四棱锥探究性问题等设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，发展空间观念、数据意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、向量、立体几何、统计|第7题融合古代数学文化，第6题以世界杯数据考查百分位数| |填空题|3/15|解三角形、外接球|第14题结合三棱锥外接球，考查空间想象| |解答题|5/77|向量运算、三角函数、统计、立体几何|17题以峨眉山满意度调查体现数据应用，19题设置存在性探究问题发展创新意识|

仁寿一中北校区高2025级高一下学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，的面积．已知面积为，且，则为（     ） A． B． C． D． 8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10．已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 11. 如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 13. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______． 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 16. 已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 17. 峨眉天下秀，峨眉山是我国最著名的风景区之一．为更好地提升旅游品质，风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 18. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①：求的周长； ②：求. 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中北校区高2025级高一下学期第三次月考数学试题答案及解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 2或1 D. 0或1 【答案】A【详解】由是纯虚数，可得，解得. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为向量，，且，则，解得. 3. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D【详解】作长方体，如下图所示： 对于A，设，，平面，显然，但，故A错误； 对于B，设，，平面，显然，但，故B错误； 对于C，设，，平面，显然，但，故B错误； 对于D，因为，所以，因为，所以，， 因为，，所以，因为，所以.故D正确.故选：D. 4. 某学校高一年级由440名男同学和330名女同学组成，现用分层随机抽样的方法从高一年级中随机抽取一个容量为84的样本进行睡眠质量调查，其中应抽取的男同学人数为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 【答案】C【详解】应抽取的男同学人数为：. 5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】因为，为内角，则， 则 6. 年美加墨世界杯开赛前天，每天的进球数如下：，按从小到大的顺序将其排序为：，则这组数据的第百分位数和平均数分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A【详解】样本容量，，第项为，第项为， 所以第百分位数为，平均数为． 7．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，的面积．已知面积为，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：,因为，所以.故选：A. 8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为V的球，则该球的体积V的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【详解】由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径，所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为R，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积V的最大值是．故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BC【详解】对于A，由可得其虚部为，故A错误； 对于B，，故B正确；对于C，由可得其共轭复数为，故C正确； 对于D，由可得其在复平面上的对应点为，易知该点位于第四象限，故D错误.故选：BC. 10．已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 【答案】AD【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确；选项B：若，则 ，解得，B不正确；选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误；选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 11. 如图，在正方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD【详解】对A选项：如图： 连接，，因为，平面，平面，所以平面； 同理平面.又，平面，所以平面平面. 平面，所以平面.故A正确；对选项B：因为平面，所以： ，故B正确； 对选项C：因为三棱锥的外接球就是正方体的外接球，所以三棱锥的外接球半径为：，所以外接球表面积为：，故C错误； 对D选项：如图： 过做平面于，因为平面平面， 且平面平面，所以，再连接， 则在直角中，，就是直线与平面所成角，设为. 因为，且的最小值为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则_________. 【答案】2【详解】由题可知，，所以 13. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______． 【答案】 4π 【详解】由，解得．． 解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π． 14. 已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________. 【答案】【详解】解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，∴，∴， 取的中点，∴为的外接圆圆心， ∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小， ∵， 此时截面圆的半径为，∴截面面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为，故截面面积的取值范围是.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量与的夹角为，且. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【小问1详解】由题意，得， 则. 【小问2详解】因为与垂直，所以， 即，解得. 16. 已知向量． （1）若，求x的值； （2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值． 【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值. 【详解】解：（1）∵向量．由， 可得：，即，∵x∈[0，π]∴． （2） 由，∵x∈[0，π]，∴， 当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时． 17. 峨眉天下秀，峨眉山是我国最著名的风景区之一．为更好地提升旅游品质，风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； （2）景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1）， （2） 【小问1详解】由频率分布直方图，得，解得， 平均数为． 【小问2详解】评分在，的频率分别为0.05，0.1， 则在中抽取人，记为； 在中抽取4人，记为．从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件A， 则，共有8个结果，所以． 18. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】（1） （2）① ② 【小问1详解】由正弦定理得，， 由，得， ，，又，所以. 【小问2详解】①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以， 可得， 计算可得． 19. 如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求： （1）正四棱锥的表面积； （2）若为的中点，求证：平面； （3）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1） （3）在侧棱存在点，使得平面， 【小问1详解】在正四棱锥中，， 则正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的表面积为； 【小问2详解】如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点， 当M为SA的中点时，，又平面平面，所以平面； 【小问3详解】在侧棱上存在点E，使得平面，满足. 理由如下：取的中点Q，由，得， 过Q作的平行线交于E，连接，， 中，有，又平面，平面， 所以平面，由，得. 又，又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，而平面， 所以平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $