四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

仁寿一中南校区2025级高一下学期4月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． （ ） A. B. 2.为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 4.的内角所对的边分别为，已知，（ ） A. B. C. D. 5.是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 7. 记函数的最小正周期为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，边上的中线的长度为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ） A. B. C. D. 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为120° 11.已知函数，则　　 A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．的值域为， D．若时，在区间，上单调，则的取值范围是， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（教材例题）求值：_______. 13. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 14.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）(教材必修二P60T7改编)已知三个顶点的坐标分别为. (1)求的值. (2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围. 16.（本小题满分15分）（教材改编） 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 17.（本小题满分15分）.如图，在中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F. （1）若，求x和y的值； （2）若，，求的最小值. 18.（教材P54T22改编）已知，，分别为△三个内角，，的对边 (1)从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： （2），，△的面积为，求，. 19.在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 答案第1页，共2页 数学周考一试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区2025级高一下学期4月月考（数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． （ ） A. B. 【答案】B 【解析】原式=. 故答案为： 2.为了得到函数的图象，只需将函数上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】选项A：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项A正确； 选项B：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项B错误； 选项C：把函数上所有的点向左平移个单位长度可得的图象，选项C错误； 选项D：把函数上所有的点向右平移个单位长度可得的图象，选项D错误； 故选：A. 3.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得：，所以 4.的内角所对的边分别为，已知，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】， 由正弦定理得. 故选：A 5.是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】如图所示， 连接，，由对称性可知，， 取的中点，则，， 又因为正六边形的边长为1，所以， 所以，故选：B． 6.沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】．A 【详解】在中，，则， 在中，，， 解得，所以主塔. 故选：A 7. 记函数的最小正周期为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】函数的最小正周期，则，解得； 又，即是函数的一条对称轴， 所以，解得. 又，当时，.故选：C. 8. 在中，，，边上的中线的长度为，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】设， 由为边上的中线，则 在中，由余弦定理得 在中，由余弦定理得 因为，可得，即 在中，由余弦定理得 代入可得，解得或（舍），即 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知两点、，与平行，且方向相反的向量可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】由题意可得. A选项，，故满足题意； D选项，，故满足题意； BC选项中的不与平行. 故选：AD. 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 与共线的单位向量为 B. C. 若，则为钝角三角形 D. 若是等边三角形，则，的夹角为120° 【答案】ACD 【解析】对于A：与共线的单位向量为，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，所以，所以为钝角，则为钝角三角形，故C正确； 对于D：若是等边三角形，则，的夹角为，故D正确； 故选：ACD 11.已知函数，则　　 A．函数的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．的值域为， D．若时，在区间，上单调，则的取值范围是， 【答案】BC 【解析】的周期是，由图形的变换知函数的最小正周期为，故不正确， ：当时，则，正确， ， 设，则，，， 则，，， ，，函数的值域为，，正确， ：当时，， ，，，，单调递减，错误． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.（教材例题）求值：_______. 【答案】 . 13. 若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【解析】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 14.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，，，，则______. 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， 即，∵，∴，即. ∵，∴，又，， ∴， 整理可得，∴. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）(教材必修二P60T7改编)已知三个顶点的坐标分别为. (1)求的值. (2)若点E在x轴上,使为钝角三角形,且为钝角,求点E的横坐标的取值范围. 【解析】（1）的顶点坐标分别为， ，， （2）设,则, 由为钝角,得,解得, 由与不能共线,得,解得. 故点E的横坐标的取值范围是. 16.（本小题满分15分）（教材改编） 已知函数． （1）求的对称轴方程； （2）当时，求的最小值以及取得最小值时的集合． 【答案】（1），（2），时 【解析】（1）， ， ， ， 故的对称轴方程； （2）由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 17.（本小题满分15分）.如图，在中，点P满足，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F. （1）若，求x和y的值； （2）若，，求的最小值. 解析：（1）因为，所以，所以 又O是线段AP的中点，所以， 又，且不共线， 所以，. （2）因为. ， 由（1）可知，，所以. 因为E，O，F三点共线，所以，即. 又，，所以， 当且仅当即，时取等号，所以的最小值为. 18.（教材P54T22改编）已知，，分别为△三个内角，，的对边 (1)从下列中选择一个证明： ①证明：；②证明： （2），，△的面积为，求，. 【解析】（1）若选择①，由条件可知，角都是锐角，过点作与垂直的单位向量，则与垂直的夹角为，则与垂直的夹角为， 因为，所以, ， , 即； 若选择②，如图，设，，， 则，两边平方后， 则，即 （2）由正弦定理知：，而， ∴，即，又， ∴，即，又， ∴，则. , ，即， 将代入，整理得：，则，即，故. 19.在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长的范围； (3)设是边上一点，为角平分线且，求的值. 【详解】（1）由和正弦定理， 可得， 因， 代入可得， 因,则，故， 又因,故； （2）由余弦定理，， 因，，代入整理得：， 由， 当且仅当时等号成立，又 而的周长. （3） 如图，因平分,且，则,即， 在中，由余弦定理，， 即得，则， 故. 答案第1页，共2页 数学周考一试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $