四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期6月教学质量检测数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦高一下数学核心内容，融合秦九韶“三斜求积术”文化素材、灯塔测距实际情境及“仿射坐标系”创新探究，全面考查复数、立体几何、向量、解三角形等知识，凸显数学文化传承与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、棱台体积、线面关系|基础概念辨析，如复数几何意义| |多选题|3/18|向量夹角、解三角形多解问题|多角度考查，如向量投影与垂直判定| |填空题|3/15|复数运算、实际距离、圆锥轨迹|实际应用，如两轮船距离计算| |解答题|5/77|向量证明、四棱锥体积、仿射坐标系|分层设计，如仿射坐标系下向量运算创新探究|

三台中学2025级高一下 6月 教学质量检测 数 学 试 卷 考试时间：2026.06 120分钟 总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，高为6，则该正四棱台的体积为（    ） A．60 B．20 C．40 D．56 3．已知两条不同直线，，两个不同平面，，下列命题中正确的是（ ） A．若，，则； B．若，，，，则； C．若，，则； D．若，，，则或与异面 4．若平面内的两个向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在中，，，，是边上靠近点的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，若，则的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．不含的直角三角形 7．在正方体中，点为棱的中点，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对的边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，，，则（    ） A．的夹角为锐角 B．若，则 C．若与垂直，则 D．在上的投影向量是 10．在中，角所对的边分别是且，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 的外接圆半径为6 C．若，且有一解，则的取值范围为 D．若，且为锐角三角形，则的取值范围为 11．如图，在正方体中，M是BD的中点，N是线段上一动点，则下列说法正确的有（ ） A．三棱锥的体积随着点N的位置的改变而随之变化． B．无论点N在何处，始终有平面成立． C．直线MN与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为． D．平面BDN截得正方体的截面可能是三角形或四边形． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12．i是虚数单位，若复数满足，则______． 13．如图，海岸线上有相距的两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处；乙船位于灯塔的北偏西方向，与相距的处．则两艘轮船之间的距离为_________． 14．已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知在中，为中点，，，． (1)用和表示； (2)若，求； (3)设和的夹角为，若，求证：． 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点. (1)若为线段上的动点，证明：平面平面； (2)若是上靠近的四等分点，求点到平面的距离. 17．函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)的内角所对的边分别为,若,，面积为，求的周长． 18．如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． (1)求证：平面； (2)已知． 若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； 若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 19．如图1，若平面内两条射线，相交成角，，分别为与，同向的单位向量，则称平面坐标系为“仿射坐标系”．在“仿射坐标系”中，若，则记． (1)在“仿射坐标系”中，，，求； (2)在“仿射坐标系”中，若，且与的夹角为，求； (3)如图2，在“仿射坐标系”中，点，分别在射线，射线上（均与点不重合），，，，分别为，的中点，求的最大值． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 三台中学2025级高一下 6月 教学质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D B B B B A ABD ACD BCD 4．B【详解】因为，所以 所以，所以. 5．B【详解】因为是边上靠近点的三等分点， 所以，又因为， 所以. 6．B【详解】由和正弦定理，可得， 因，代入上式，化简得：， 即，故得或， 当时，，所以，此时是直角三角形； 当时，，又，， 则或（舍去），此时为等腰三角形.综上：可得的形状一定是等腰或直角三角形.故选：B. 7．B【详解】连接. 因为平面，所以平面. 因为，所以平面.因为平面，所以，故与的夹角为.    8．A【详解】根据题意得， 将代入得：，化简可得：， 由余弦定理可得：,因为，所以.故选：A. 9．ABD【详解】选项A：易知 ，且 ， 说明与不共线，因此两向量夹角为锐角，A正确； 选项B：若，则 ，解得，B正确； 选项C：因为 ，所以 ， 解得 ，C错误； 选项D：投影向量公式为，代入 ， 得 ，D正确. 10．ACD【详解】对于A，由可得，即，因为，所以，且，所以，故A正确； 对于B， 根据正弦定理得则得 对于C， 由正弦定理得即，要使有一解，则则的取值范围为 对于D，由正弦定理可得， ，即, 因为为锐角三角形，所以，，解得， 所以，故C正确；故选：ACD. 11．BCD【详解】A选项，在点N的位置移动时，点N到平面的距离为定值， 等于正方体的棱长，且直角面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，不会随着点N的位置的改变而变化，A错误； B选项，平面ACN即为平面AC ，而正方体中必有平面；得到B正确； C选项，取的中点，连接，则⊥，过点作⊥于点， 则，故⊥平面，所以即为直线MN与平面所成角，设大小为，设正方体的棱长为2，则，设，， 若，则， 由勾股定理得， 则， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为1，故， 若，此时平面，此时夹角为0，， 若，则， 由勾股定理得， 则，显然，，，此时，综上，， 直线MN与平面所成角的正切值的取值范围为，C正确； D选项，当为的中点时，平面截得正方体的截面为正， 当时，延长交于点，连接， 则即为平面BDN截得正方体的截面， 当时，延长交于点，在平面上，过点作平行于，交于点，连接，则四边形即为平面BDN截得正方体的截面， 故平面截得正方体的截面可能是三角形或四边形，D正确. 12． 13． 14． 13．如图所示：连接，由题可知，，，所以为正三角形，在中，，，所以，，即．故答案为：． 14．【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为，所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为，由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 15．【详解】（1），， 整理得，.…………………………………… ……3分 （2），，，. ， 代入数值计算得：，.……………7分 （3）N为中点，，. 与的夹角为，，. 计算得：， ，即.…………………………………………………………………13分 16．【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面．平面 平面平面………………………………………………………………………7分 （2）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故．因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得．…………15分 17．【详解】（1）由图可知，，…………………………………………………………1分 函数的最小正周期为，，…………………………2分 ，可得， ，则，，则，……………………………4分 所以.………………………………………………………………… …6分 （2）由(1)知得，，又，，……………………………… ……9分 结合面积公式， 得，………………… ……10分 再由余弦定理，得，… … …11分 由完全平方公式，，故………………… ……14分 因此，的周长为.… ………………………………… …………15分 18．【详解】（1）连接交于点，连接， ，，由相似三角形的性质，可得， 又，所以， 平面，平面，平面．………………………… …5分 （2）①取的中点，取的中点，连接，，， 则，，，，∵是边长为6的等边三角形，则，，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．………… ……6分 又，平面，平面， 平面，，……………………………………………………… …7分 所以为二面角的平面角．……………… ………………………………8分 在中，．在中，，， ．……………………………………………10分 过作交于，连接，由于平面， 所以平面，则为与平面所成角，即，．点在棱上，且． 由，，，……………………………………12分 由余弦定理得 ，，，，，……………………………………………………… …15分 故的取值范围为．…………………17分 19．【详解】（1）仿射坐标系即为直角坐标系，所以， 所以 ；………………………………………………………………… …3分 （2）在直角坐标系中，记，则， 在仿射坐标系中，，………5分 ，……………7分 整理得.…………………………………………………………… …8分 解得（舍去）或，所以；………………………………………10分 （3）在直角坐标系中，，， 设，，，，，即， ，则，所以，…11分 ，分别为，的中点， 则，          …………………………………………………………………… …13分 中，由正弦定理， 设，则，所以，， .………………………………… …15分 其中为锐角，且，因为，则 ， 故当时，取得最大值， 则．…………………… …17分 答案第4页，共8页 答案第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $