第36讲 平面向量的数量积及运算·分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以“考点-考法”分层架构系统整合平面向量数量积运算，覆盖投影、模长、夹角等核心模块，通过典型例题培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |投影与投影向量|3考法|坐标求解、参数计算、综合应用|从投影概念切入，构建数量积几何意义基础| |数量积运算|5考法|定义坐标运算、基底表示、几何性质、最值范围、新定义|核心运算模块，衔接坐标法与几何法| |模长|3考法|坐标运算、平方法、最值范围|基于数量积延伸，体现代数化处理思想| |夹角|4考法|坐标求解、公式应用、平方化简、范围综合|数量积与模长的直接应用，强化逻辑推理| |垂直问题|2考法|坐标运算、数量积性质|数量积为零的特殊应用，突出转化思想| |实际应用与综合|2考法|坐标系构建、创新应用|知识整合与迁移，体现模型意识与应用能力|

第36讲 平面向量的数量积及运算 · 分类练习 考点一：平面向量的投影、投影向量 1 考法1：求解投影向量的坐标及模长 1 考法2：已知投影（向量）求参数或模长 1 考法3：投影与投影向量的综合应用 1 考点二：平面向量的数量积运算 1 考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 1 考法5：利用基底与线性表示计算数量积 2 考法6：利用几何性质与投影计算数量积 2 考法7：求解向量数量积的最值与范围 2 考法8：数量积的综合应用与新定义 3 考点三：平面向量的模长 3 考法9：利用坐标运算求解向量模长 3 考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 3 考法11：求解向量模长的最值与范围 3 考点四：平面向量的夹角 3 考法12：利用坐标运算求解向量夹角 3 考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 4 考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 4 考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 4 考点五：平面向量的垂直问题 4 考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 4 考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 5 考点六：平面向量的实际应用与综合 5 考法18：建立坐标系解决向量问题 5 考法19：向量的综合与创新应用 5 考点一：平面向量的投影、投影向量 考法1：求解投影向量的坐标及模长 1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ） A. B. 2 C. D. 4 2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量 ， ，则 在 上的投影向量坐标为＿＿＿＿＿＿. 考法2：已知投影（向量）求参数或模长 3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法3：投影与投影向量的综合应用 4.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ） A. B. C. D. 考点二：平面向量的数量积运算 考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （　　 ） A. B. C. 1 D. 3 6.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法5：利用基底与线性表示计算数量积 7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为 2， ， 是 的中点，则 （　　 ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 8.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ） A. B. 7 C. D. 25 9.（2025·浙江杭州二中·检测）在 中，内角 ， ， 满足 ． （1）求 ； （2）若 为 边上一点， ， ， ，求 的面积． 考法6：利用几何性质与投影计算数量积 10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　 ） A. B. C. D. 11.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿. 考法7：求解向量数量积的最值与范围 12.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 13.（2026·山东枣庄·检测）在 中， 在 上， ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 考法8：数量积的综合应用与新定义 14.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点三：平面向量的模长 考法9：利用坐标运算求解向量模长 15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ） A. B. C. 0 D. 1 考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 16.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ） A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36 考法11：求解向量模长的最值与范围 17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ） A. B. C. 当实数 变化时， 的最小值为 D. 若 ，则 考点四：平面向量的夹角 考法12：利用坐标运算求解向量夹角 18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量 ，则 （　　 ） A. B. C. D. 19.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿. 考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 20.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ） A. B. C. D. 考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（　　 ） A. B. C. D. 22.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ） A. B. C. D. 考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 23.（2025·广东上进联考·联考）在 中，“ 且 ”是“ 为锐角三角形”的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ） A. B. C. D. 考点五：平面向量的垂直问题 考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ） A. B. C. D. 7 26.（2026·河北沧州八校·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 27.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ） A. B. C. 3 D. 6 考点六：平面向量的实际应用与综合 考法18：建立坐标系解决向量问题 28.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ） A. B. C. D. 考法19：向量的综合与创新应用 29.（2026·江苏·检测）等腰直角 中， ， ，点 在 外接圆上运动，若 ，则 的最大值为（　　 ） A. B. 2 C. D. 3 30.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ） A. 2 B. 4 C. D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第36讲 平面向量的数量积及运算 · 分类练习（解析卷） 考点一：平面向量的投影、投影向量 1 考法1：求解投影向量的坐标及模长 1 考法2：已知投影（向量）求参数或模长 2 考法3：投影与投影向量的综合应用 2 考点二：平面向量的数量积运算 3 考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 3 考法5：利用基底与线性表示计算数量积 3 考法6：利用几何性质与投影计算数量积 4 考法7：求解向量数量积的最值与范围 5 考法8：数量积的综合应用与新定义 6 考点三：平面向量的模长 6 考法9：利用坐标运算求解向量模长 6 考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 6 考法11：求解向量模长的最值与范围 7 考点四：平面向量的夹角 7 考法12：利用坐标运算求解向量夹角 7 考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 8 考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 8 考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 9 考点五：平面向量的垂直问题 10 考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 10 考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 10 考点六：平面向量的实际应用与综合 11 考法18：建立坐标系解决向量问题 11 考法19：向量的综合与创新应用 11 答案速查表 1 2 3 4 5 B D D 6 7 8 9 10 C A （1） （2） D 11 12 13 14 15 2 D B D 16 17 18 19 20 C ACD D 1 C 21 22 23 24 25 C C B A D 26 27 28 29 30 A A B D 考点一：平面向量的投影、投影向量 考法1：求解投影向量的坐标及模长 1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知 ， 在 上的投影向量是 ，则 （　　 ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】由题意得 在 上的投影向量为 ，则 ，则 ，则 .故选：B. 【点拨】本题考查投影向量的计算公式以及向量模长的求法，掌握投影向量的定义是解题关键. 2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量 ， ，则 在 上的投影向量坐标为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由题意得 ，.所以 在 上的投影向量为 . 【点拨】本题考查投影向量的坐标表示，直接代入投影向量公式即可. 考法2：已知投影（向量）求参数或模长 3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量 在向量 上的投影向量为 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 在 上的投影向量为 ，所以 与 共线.设 ， .则 在 上的投影向量为 .由题意得 ，解得 .所以 ， . 【点拨】本题考查投影向量的坐标表示及模长计算，利用共线向量设出 的坐标是解题关键. 考法3：投影与投影向量的综合应用 4.（2026·山东泰安·模拟）已知在 中， ，，，M 为 BE 与 CD 的交点，则向量 在 上的投影向量的模的最小值为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设 ，，则 .因为 ，，设 ，则 .又设 ，则 .由平面向量基本定理得 ，，解得 ，.所以 .向量 在 上的投影向量的模为 .由基本不等式得 ，当且仅当 即 时等号成立.所以向量 在 上的投影向量的模的最小值为 . 【点拨】本题考查平面向量基本定理、数量积的运算以及投影向量的模，利用基本不等式求最值是解题关键. 考点二：平面向量的数量积运算 考法4：利用定义与坐标公式计算数量积 5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 （　　 ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】因为向量 ，所以 ，又 ， 与 的夹角为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选：D. 【点拨】本题考查平面向量的数量积运算，利用数量积的定义和性质是解题关键. 6.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】依题意，. 【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的基本关系，将表达式齐次化是解题关键. 考法5：利用基底与线性表示计算数量积 7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形 的边长为 2， ， 是 的中点，则 （　　 ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 ， .故选：C. 【点拨】本题考查平面向量的线性运算与数量积，选取合适的基底表示目标向量是解题关键. 8.（2026·湖北云学联盟·模拟） 中， ， ， 是 的中点，则 （　　 ） A. B. 7 C. D. 25 【答案】A 【解析】因为 是 的中点，所以 .又 .所以 .故选 A. 【点拨】本题考查平面向量的数量积运算，利用向量的线性运算将目标向量用已知边长对应的向量表示是解题关键. 9.（2025·浙江杭州二中·检测）在 中，内角 ， ， 满足 ． （1）求 ； （2）若 为 边上一点， ， ， ，求 的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由 ，所以 ，所以 ，又 为三角形内角，所以 ，所以 ． （2）因为 ，所以 ，所以 ，又 ，所以， ，所以面积 ． 【点拨】本题考查正弦定理及三角恒等变换求角，以及利用平面向量数量积求解三角形面积，将向量关系转化为边长关系是解题关键. 考法6：利用几何性质与投影计算数量积 10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量 ，将向量 绕坐标原点 逆时针旋转 角得到向量 ，则下列说法正确的是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，对于 A， ，所以 ，当 时，即 时， ，故 A 错误；对于 B，由 A 可知 ，又 ，当 时， ，可得 ，故 B 错误；对于 C，当 ， ，可得 ，所以 ，故 C 错误；对于 D，因为 ，所以 ，故 D 正确.故选：D. 【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用向量数量积的定义及性质逐项分析是解题关键. 11.（2026·广东汕头·一模） 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】2 【解析】取弦 的中点 ，连接 ，根据圆的垂径定理，可得 ，如图.因为 ,所以 .根据向量数量积的几何意义： . 【点拨】本题考查平面向量数量积的几何意义，利用垂径定理将数量积转化为投影与模长的乘积是解题关键. 考法7：求解向量数量积的最值与范围 12.（2026·山东聊城·模拟）已知 ， ，且满足 ，则 的最大值为（　　 ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】D 【解析】由 知 .所以点 在以 为直径的圆上.设 的中点为 ，则 为圆心，，所以圆 的半径 .因为 是 的中点，所以 .要求 的最大值，即求 的最大值.已知 ，且 在圆 上，半径为 1.根据三角形不等式，.当 三点共线且 在 之间时， 取得最大值 5.所以 的最大值为 . 【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，利用极化恒等式或向量的线性运算将数量积转化为距离的最值是解题关键. 13.（2026·山东枣庄·检测）在 中， 在 上， ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设 ，.已知 ， 与 夹角为 .因为 ，.设 .这是一个关于 的二次函数，开口向下，当 时取得最大值.最大值为 . 【点拨】本题考查平面向量数量积的最值问题，选取合适的基底将目标数量积表示为关于某个模长的二次函数是解题关键. 考法8：数量积的综合应用与新定义 14.（2026·山东九五协作体·检测）已知 为向量，则“ ”是“ 或 ”的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若 ，则 ，所以 成立；若 ，则 成立.即必要性成立.若 ，则可能 且 且 ，此时 且 ，即充分性不成立.所以“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.故选 B. 【点拨】本题考查平面向量数量积的性质以及充分必要条件的判定，明确数量积为零的几何意义是解题关键. 考点三：平面向量的模长 考法9：利用坐标运算求解向量模长 15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量 满足 ， ，则 （　　 ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】由 ， 可得 ， ，故 ，故选：D. 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及模长的求法，先求出两向量的坐标是解题关键. 考法10：利用数量积与平方法求解向量模长 16.（2026·山东德州·一模）若平面向量 两两夹角相等，且 ， ， ，则 （　　 ） A. B. 36 C. 或 6 D. 3 或 36 【答案】C 【解析】因为平面向量 ， ， 两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即 ， ， 两两夹角为 或 ，当夹角为 时， ；当夹角为 时， ， ， ，则 ；综上所述： 或 . 【点拨】本题考查平面向量模长的求解，根据题意分情况讨论两两夹角是解题关键. 考法11：求解向量模长的最值与范围 17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知 均为单位向量，且 ，则（　　 ） A. B. C. 当实数 变化时， 的最小值为 D. 若 ，则 【答案】ACD 【解析】由 得 ，解得 （舍去）或 ，因为 均为单位向量，则 ，故 A 正确； ，故 B 错误； ，当且仅当 时取等号，故 C 正确；由 ，则 ，所以 ，整理得 ，即 ，故 D 正确.故选 ACD. 【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用平方法求出数量积是解题关键. 考点四：平面向量的夹角 考法12：利用坐标运算求解向量夹角 18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量 ，则 （　　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意，，所以 ，故选 D. 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及夹角公式，先求出两向量的坐标是解题关键. 19.（2026·山东临沂·模拟）已知向量 ，则向量 与 的夹角正切值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】1 【解析】由 ， 得 ，即 .所以 ，，.设向量 与 的夹角为 ，则 .因为 ，所以 ，则 . 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及夹角公式，先求出向量 的坐标是解题关键. 考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角 20.（2026·广东东莞·模拟）已知 ， ， 与 互相垂直，则 与 的夹角为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，因为 与 互相垂直，所以 ，解得 ，所以 ，即 与 的夹角为 .故选：C. 【点拨】本题考查平面向量垂直的性质以及数量积的运算，利用向量垂直数量积为零求出 是解题关键. 考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角 21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ，得 ，而 ，则 ， ，而 ，所以 与 的夹角 .故选 C. 【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，将模长等式两边平方是解题关键. 22.（2026·安徽安庆·二模）已知向量 ， ，且 ， ，则向量 ， 夹角的余弦值为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设向量 ， 夹角为 ，由条件知 ，即 ，得 ，解得 ，故选 C. 【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用向量数量积的定义及平方法化简是解题关键. 考法15：求解向量夹角的范围及综合问题 23.（2025·广东上进联考·联考）在 中，“ 且 ”是“ 为锐角三角形”的（　　 ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 且 可得 与 为锐角，但 不一定为锐角，故 不一定为锐角三角形；反之，若 为锐角三角形， 与 都为锐角，所以 且 成立.故选 B. 【点拨】本题考查平面向量数量积的符号与夹角的关系，以及充分必要条件的判定，明确数量积大于零等价于夹角为锐角是解题关键. 24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量 ，且 ，则 与 夹角的最大值为（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，解得 ，故 ，设 ， ，则 ，设 ，则 ，则 ，即 ，设 ，设 夹角为 ，则 ，令 ，则 ，则 ，令 ，则 ，则 ，其中 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， 取得最小值，最小值为 ，当 或 3 时， 取得最大值，最大值为 1，故 ，由于 在 上单调递减，故 ， 与 夹角的最大值为 .故选 A. 【点拨】本题考查平面向量的数量积与夹角的最值问题，利用坐标法将问题转化为三角函数的最值问题是解题关键. 考点五：平面向量的垂直问题 考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题 25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形 为平行四边形， 、 、 ， ，若 ，则 的值为（　　 ） A. B. C. D. 7 【答案】D 【解析】设 ，则 ，，，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，而 ，，所以 ，选 D. 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的充要条件，先求出点 的坐标是解题关键. 26.（2026·河北沧州八校·二模）已知向量 ， ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为向量 ， ，则 ，因为 ，则 ，解得 . 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的坐标表示，直接代入数量积坐标公式即可. 考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题 27.（2025·江西稳派上进·联考）已知向量 ， ，若 ，则 （　　 ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】依题意， ，解得 ，故 .故选 A. 【点拨】本题考查平面向量垂直的坐标表示及模长的求法，利用数量积为零求出参数是解题关键. 考点六：平面向量的实际应用与综合 考法18：建立坐标系解决向量问题 28.（2026·广东广州·一模）已知向量 ， ，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设 .已知 ， ，所以 .则 ，即 .因 表示点 到原点的距离，而点 是直线 上的点，故 的最小值即为原点到直线 的距离 ，因为点 在直线 上，所以 可无限大，所以 的取值范围是 . 【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及模长的几何意义，将向量模长转化为点到直线的距离是解题关键. 考法19：向量的综合与创新应用 29.（2026·江苏·检测）等腰直角 中， ， ，点 在 外接圆上运动，若 ，则 的最大值为（　　 ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】以直角顶点 为原点， 为 轴， 为 轴，建立平面直角坐标系，则：， ， ，外接圆圆心为斜边 的中点 ，坐标为 ，半径为 ，故外接圆方程为： ．又因为 ，其中 ， ，则 ．将 代入圆的方程得 ，即 ， ，∴ ，解得 ，当且仅当 时取得 的最大值 2． 【点拨】本题考查平面向量基本定理以及圆的方程，建立平面直角坐标系将向量关系转化为代数关系是解题关键. 30.（2026·河南新未来·检测）已知向量 满足 ，定义 ，若 ，则 的最大值为（　　 ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】设 ，.由 得 .即 .所以 .设 ，则 ，即 .所以 .因为 ，所以 .所以 .所以 的最大值为 . 【点拨】本题考查平面向量数量积的新定义问题，将目标式转化为三角函数最值问题是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $