4.3 整式 培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦整式核心概念，通过基础辨析-综合应用-拓展探究三层设计，实现从概念理解到数学思维与语言表达的进阶，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|整式、单项式、多项式的概念与分类（选择1-6题）|以辨析题巩固核心概念，培养抽象能力与符号意识| |综合层|次数、系数计算及不含某项参数问题（填空11-16题、解答17-19题）|通过参数计算深化理解，发展运算能力与推理意识| |拓展层|跨情境应用（数轴结合、整式分类定义）（解答20-25题）|结合实际情境构建模型，提升数学表达与创新意识|

4.3 整式 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列说法正确的有（　　） (1)不是整式；（2）是单项式；（3）是整式；（4）是多项式；（5）是单项式；（6）是多项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．有下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③常数项为2；④在，，，0中，整式有3个，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下列说法正确的是（　　） A．是多项式 B．是单项式 C．是五次单项式 D．是四次多项式 4．若是一个四次单项式，则（　　） A．9 B．-9 C．8 D．-8 5．下列说法中正确的是（　　） A．单项式的系数是，次数是2 B．单项式m的系数是1，次数是0 C．是二次单项式 D．单项式的系数是，次数是2 6．下列对整式说法错误的是（　　） A．单项式的系数为 B．多项式的常数项为 C．多项式的次数为3 D．单项式的次数为2 7．已知的相反数是-5，的倒数是，是多项式的次数，则的值为（　　） A．3 B． C．1 D．-1 8．若关于，的多项式不含二次项，则的值为（　　） A．0 B．-2 C．2 D．-1 9．多项式的次数是四次，那么m不可能是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．多项式是关于的三次二项式，则m的值是（　　） A．1 B．±1 C．-1 D．0 二、填空题（每空4分，共24分） 11．请写出一个只含字母x的整式，满足当x＝2时，它的值等于﹣3．你写的整式是　 　． 12．某单项式的系数为-2，只含字母 x，y，且次数是3次，写出一个符合条件的单项式　 　 13．请你写出一个只含有字母a和b且它的系数为-5，次数为4的单项式　 　. 14．若关于x、y的多项式x5-m+5y2-2x2+3的次数是3，则式子m2-3m的值为　 　. 15．若多项式 (为常数) 不含项， 则　 　. 16．如果关于x的多项式mx4+4x2-2与多项式3xn+5x的次数相同，则-2n2+3n-4的值为　 　。 三、解答题（共9题，共66分） 17．如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨m、n的取值情况. 18．已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值． 19．已知多项式是关于x、y的五次四项式，单项式的次数为b，c是最小的正整数，求的值． 20．已知满足①；②是一个关于a、b三次单项式且系数为-1： （1）求的值； （2）求代数式的值． 21．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式的二次项系数，b是绝对值最小的数，c是单项式的次数.请直接写出a、b、c的值并在数轴上把点A，B，C表示出来. 22． （1）已知 时，多项式 的值是1，当 时，求 的值． （2）如果关于字母 的二次多项式 的值与 的取值无关，求 的值． 23．在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，并且a是多项式﹣2x2﹣4x+1的一次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式- x2y4的次数为c. （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　. （2）请你画出数轴，并把点A，B，C表示在数轴上； （3）请你通过计算说明线段AB与AC之间的数量关系. 24．对多项式按如下的规则确定它们的先后次序：先看次数，次数高的多项式排在次数低的多项式前面；再看项数，项数多的多项式排在项数少的多项式前面；最后看字母的个数，字母个数多的多项式排在字母个数少的多项式前面．现有以下多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤． （1）按如上规则排列以上5个多项式是　 　（写序号） （2）请你写出一个排列后在以上5个多项式最后面的多项式． 25．已知整式p=x2+x﹣1，Q=x2﹣x+1．R=﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a、b、c为常数）．则可以进行如下分类： ①若a≠0，b=c=0，则称该整式为P类整式； ②若a≠0，b≠0，c=0，则称该整式为PQ类整式； ③若a≠0，b≠0，c≠0．则称该整式为PQR类整式． … （1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义． 若怎么样，则称该整式为“R类整式”． 若怎么样，则称该整式为“QR类整式”． （2）例如x2﹣5x+5则称该整式为“PQ类整式”，因为﹣2P+3Q=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x﹣1） =﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3=x2﹣5x+5． 即x2﹣5x+5=﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式” 问题：x2+x+1是哪一类整式？请通过列式计算说明． （3）试说明4x2+11x+2015是“PQR类整式”，并求出相应的a，b，c的值． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】单项式的概念；多项式的概念；整式的概念与分类 【解析】【解答】解：（1）是整式，故（1）不正确，不符合题意； （2）是多项式，故（2）不正确，不符合题意； （3）是整式，故（3）正确，符合题意； （4）不是整式，不是多项式，故（4）不正确，不符合题意； （5）是单项式，故（5）正确，符合题意； （6）是等式，故（6）不正确，不符合题意； 故正确的只有(3)(5)， 故答案为：B. 【分析】由若干个单项式的和组成的代数式叫做多项式，据此判断（4）（6）；由数字与字母的乘积组成的式子为单项式，单独的数或字母也是单项式，据此判断（2）（5）；单项式与多项式统称为整式，据此判断（1）（3）. 2．【答案】C 【知识点】整式的概念与分类；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：①的系数是2，原说法正确； ②多项式是三次三项式，原说法错误； ③的常数项为，原说法错误； ④在，a2b，，0中，整式有3个，原说法正确. 综上，正确的只有2个. 故答案为：C. 【分析】①根据单项式中的数字因数是单项式的系数可得2x的系数是2；②根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数可知多项式2x2+xy2+3的次数是3，于是这个多项式是三次三项式；③根据“几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项”可知多项式x2-x-2的常数项是-2；④根据“单项式和多项式统称为整式”并结合题意可知：整式有3个. 3．【答案】D 【知识点】单项式的概念；多项式的概念；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：A、是分式，故+1是分式，故本选项错误； B、分子3x+y是多项式，是多项式，故本选项错误； C、-mn5字母的指数和为6，故为6次单项式，故本选项错误； D、-x2y是3次单项式，-2x3y是4次单项式，故-x2y-2x3y是四次多项式，故本选项正确. 故答案为：D. 【分析】由数字与字母的乘积组成的式子叫做单项式，据此判断A；几个单项式的和，叫做多项式，组成多项式的每一项为多项式的项，多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，据此判断B、C、D. 4．【答案】D 【知识点】单项式的次数与系数 【解析】【解答】解：∵是一个四次单项式， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：D. 【分析】数和字母的乘积就是单项式，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，据此列出方程组-b+2=0，a+1=4，求解得出a、b的值，进而根据有理数的乘方运算法则算出答案. 5．【答案】D 【知识点】单项式的次数与系数 【解析】【解答】解：A、单项式的系数是，次数是3，故A不符合题意； B、单项式的系数是，次数是1，故B不符合题意； C、是二次多项式，故C不符合题意； D、单项式的系数是，次数是2，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，据此可判断A、B、D；数和字母的乘积就是单项式，据此可判断C. 6．【答案】C 【知识点】单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：A、单项式的系数为-5，该选项不合题意； B、多项式的常数项为-1，该选项不合题意； C、多项式的次数为2，该选项符合题意； D、单项式的次数为2，该选项不合题意； 故答案为：C． 【分析】根据单项式的次数和系数的定义及多项式的常数项的定义逐项判断即可。 7．【答案】C 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：由相反数、倒数、多项式次数的定义可知：，，， 因此， 故答案为：C． 【分析】先利用相反数、倒数、多项式次数的定义求出x、y、z的值，再将其代入计算即可。 8．【答案】D 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解： = = ∵关于x，y的多项式不含二次项， ∴，， 解得，，， ， 故答案为：D. 【分析】先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简，根据合并的结果不含二次项，可得二次项的系数都等于0，从而求出a、b的值，最后求差即可. 9．【答案】D 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：多项式的次数是四次， ∴m是小于或等于4的非负整数， 故答案为：D 【分析】根据多项式次数的定义求解即可。 10．【答案】C 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：∵多项式x2y|m| -（m+1）y+是关于x、y的三次二项式， ∴ |m| =1且m+1=0， ∴m=-1. 故答案为：C. 【分析】由多项式x2y|m| -（m+1）y+是关于x、y的三次二项式，可得|m| =1且m+1=0，解之即可求得m的值. 11．【答案】﹣ x2（答案不唯一）． 【知识点】整式的概念与分类 【解析】【解答】解：由题意可得：﹣ x2（答案不唯一），当x＝2时，﹣ x2＝﹣3． 故答案为：﹣ x2（答案不唯一）． 【分析】直接利用已知结合整式的定义得出答案． 12．【答案】（答案不唯一） 【知识点】单项式的次数与系数 【解析】【解答】解：系数为-2，只含字母 x，y，且次数是 3次的单项式可以为 ， 故答案为：（答案不唯一）. 【分析】数和字母的乘积就是单项式，单项式中的数字因数就是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，据此结合题目要求解答即可. 13．【答案】-5a3b（答案不唯一） 【知识点】单项式的次数与系数 【解析】【解答】解：根据单项式系数和次数的定义，一个含有字母a、b且系数为-5，次数为4的单项式可以写为-5a3b. 故答案为：-5a3b（答案不唯一） 【分析】单项式中的数字因数是单项式的系数；单项式中所有字母指数的和是单项式的次数；根据定义并结合题意可求解. 14．【答案】-2 【知识点】代数式求值；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：若关于x、y的多项式x5-m+5y2-2x2+3的次数是3， ∴5-m=3， 解之：m=2 ∴m2-3m=4-2×3=-2. 故答案为：-2 【分析】利用多项式的次数的确定方法，可得到5-m=3，解方程求出m的值，再将m的值代入代数式进行计算. 15．【答案】3 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：∵ (为常数) 不含项， ，解得：. 故答案为3. 【分析】对多项式合并同类项可得x2-y2+(-m+3)xy-1，根据多项式中不含xy项可得-m+3=0，求解可得m的值. 16．【答案】-24 【知识点】代数式求值；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：∵ 关于x的多项式mx4+4x2-2与多项式3xn+5x的次数相同， ∴n=4， ∴ -2n2+3n-4=-2×42+3×4-4=-32+12-4=-24. 故答案为：-24 【分析】利用多项式的次数的确定方法，可得到n的值，再将n的值代入代数式进行计算，可求出结果. 17．【答案】解：由题意可知： ， 解得或 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 综上所述，当且或者且时多项式为三次三项式 故答案为： 或者 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【分析】根据多项式的次数的概念结合题意可得|m|+2=3，求出m的值，然后代入多项式中并结合多项式为三项可确定出m、n的值. 18．【答案】解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式， 所以2+m+1=6， 所以m=3， 因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次， 所以2n+5-m=6， 所以n=2， 所以m-n=3-2=1． 【知识点】有理数的减法法则；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【分析】多项式中每一项都有次数，次数最高的项的次数就是多项式的次数，单项式中所有字母的指数和就是单项式的次数，据此结合题意可得2+m+1=2n+5-m=6，求出m、n的值，然后根据有理数的减法法则进行计算. 19．【答案】解：∵多项式是五次四项式， ∴，． ∵单项式的次数为b，c是最小的正整数， ∴，， ∴． ∴的值为16． 【知识点】代数式求值；多项式的概念；单项式的次数与系数 【解析】【分析】先利用多项式和单项式的次数的定义求出a、b的值，再求出c的值，最后将a、b、c的值代入计算即可。 20．【答案】（1）解：由题意可得： ∴， ； （2）解：由（1）由可得： ， 即， ∴， ∴原式=． 【知识点】代数式求值；偶次方的非负性；绝对值的非负性；单项式的次数与系数 【解析】【分析】（1）根据绝对值的非负性可得m-2=0，根据单项式系数的概念可得n3=-1，求解可得m、n的值； （2）根据偶次幂的非负性可得x-y+3=0，根据单项式次数的概念可得2-y+5+z=3，求出x-y、y-z的值，然后代入计算即可. 21．【答案】解：∵a是多项式的二次项系数， ∴a=-1， ∵b是绝对值最小的数， ∴b=0， ∵c是单项式的次数. ∴c=2+1=3， 将各数在数轴上表示如下： 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【分析】根据多项式与单项式的次数的概念可得a=-1，c=3，由b是绝对值最小的数可得b=0，将各数在数轴上表示出来即可. 22．【答案】（1）解：依题意得：当 时， ， 即 ， 而当 时， ； （2）∵ ， 依题意得 ， ，即 ， ， ． 【知识点】代数式求值；多项式的项、系数与次数 【解析】【分析】（1）将x=3代入可得，再将代入可得，再将整体代入计算即可； （2）先利用合并同类项的计算方法化简可得，再根据“ 二次多项式 的值与 的取值无关 ”可得 ， ，求出m、n的值，最后代入计算即可。 23．【答案】（1）﹣4；1；6 （2）解：如图所示， ， 点A，B，C即为所求. （3）解：AB=b-a=1-（-4）=5，AC=c-a=6-（-4）=10. ∵10÷5=2， ∴AC=2AB. 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；单项式的次数与系数；多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】解：(1)多项式-2x2-4x+1的一次项系数是-4，则a=-4， 数轴上最小的正整数是1，则b=1， 单项式 x2y4的次数为6，则c=6， 故答案为：-4，1，6； 【分析】（1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）根据数轴的三要素，规范的画出数轴，然后根据数轴上的点所表示的数的特点，在数轴上找出表示各个数的点，并用实心的小黑点做好标注，进而根据数轴上的点所表示的数即可； （3）首先结合数轴得到AB、AC的长，进而可得答案. 24．【答案】（1）③②①④⑤ （2）解：∵⑤为二次三项式，且只有一个字母， ∴按如上规则排列，后一个多项式可为二次二项式或一次二项式， ∴排列后在以上5个多项式最后面的多项式可以是： ． 【知识点】多项式的项、系数与次数 【解析】【解答】（1）解：①为四次三项式，②为四次五项式，③为五次三项式，④为二次三项式，⑤为二次三项式，其中④有两个字母，⑤只有一个字母， ∴按如上规则排列以上5个多项式是：③②①④⑤， 故答案为：③②①④⑤． 【分析】（1）几个单项式的和就是多项式，其中每一个多项式叫做多项式的项，多项式中每一项都有次数，次数最高的项的次数就是多项式的次数，据此分别找出各个多项式的次数和项数，再按题干的要求进行排列即可； （2）开放性命题，根据第⑤个多项式的次数、项数及字母的个数，结合题干的要求，写出的多项式可为二次二项式或一次二项式，据此即可得出答案. 25．【答案】解：（1）若a=b=0，c≠0，则称该整式为“R类整式”． 若a=0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”． （2）∵x2+x+1=（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）， ∴该整式为PQR类整式． （3）∵4x2+11x+2015是“PQR类整式”， ∴设4x2+11x+2015=a（x2+x﹣1）+b（x2﹣x+1）+c（﹣x2+x+1）， ∴a+b﹣c=4，a﹣b+c=11，﹣a+b+c=2015， 解得：a=7.5，b=1009.5，c=1013． 【知识点】整式的概念与分类 【解析】【分析】（1）类比的出R类整式和QR类整式的定义即可； （2）类比方法拆开表示得出答案即可； （3）利用给出的PQR类整式得意义待定得出a、b、c的数值即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $