精品解析：广东省梅州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

梅州市高中期末考试试卷 高一数学 2025.7 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 3. 的值是 A. B. C. D. 4. 某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 5. 若三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（ ） A. B. C. D. 8. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（ ）米． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则、是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的一个可能值是 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 D. 11. 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用. 群的定义如下：设是一个非空集合，“*”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①封闭性：对任意的，，有； ②结合律成立：对任意的，，，有； ③单位元存在：存在，使得对任意的，有，称为单位元； ④逆元存在：对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（ ） A. 自然数集关于数的加法构成群 B. 某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群 C. （为虚数单位）关于复数的乘法构成群 D. 关于数的乘法构成群 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________. 13. 在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 14. 已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，. （1）求、的值； （2）在复数范围内，求该方程的另一根. 16. 某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. （1）求的值； （2）估计样本的中位数与平均数； （3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 17. 在中，，，. （1）求的值； （2）取一点，使得，求点到直线的距离. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）当为线段的中点时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，圆的半径为2. （1）设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； （2）设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市高中期末考试试卷 高一数学 2025.7 注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数，其中为虚数单位，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的模的计算公式求解即可. 【详解】若复数，其中为虚数单位，则. 故选：D. 2. 如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形，则原图形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助原图形的面积为直观图面积的倍计算即可得. 【详解】，则. 故选：C. 3. 的值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，利用两角和余弦公式展开得结果 【详解】，选B. 【点睛】本题考查两角和余弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 4. 某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】求出原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较后可得出结论. 【详解】原数据由小到大依次为：、、、、、、， 其平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 将原数据中去掉一个最高分与一个最低分，剩余的数据由小到大依次为：、、、、， 新数据的平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变， 故选：C. 5. 若三点，，在同一条直线上，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由三点，，，可得， 因为三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，以及对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】由甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，且甲乙两人相互独立， 设密码被成功破译为事件，则. 故选：B. 7. 如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出，结合计算即可. 【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 8. 某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若小明同学在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数可得，利用，求解即可得所求． 【详解】如图，设球心为，连接，则 设球的半径为，则， ， ， ，则该球体建筑物的高度为米． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，，则、是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系可判断ABD选项；利用面面平行的性质可判断C选项. 【详解】对于A选项，若，，则、平行、相交或异面，A错； 对于B选项，若，，，则、没有公共点，即、平行或异面，B错； 对于C选项，若，，则，C对； 对于D选项，若，，则或或与相交（不一定垂直），D错. 故选：ABD. 10. 下图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 的一个可能值是 C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点与之间的距离为，求出点的坐标，即可判断A；将点代入求出的表达式，即可判断B；将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的表达式，再判断的奇偶性，即可判断C；由B得到的表达式，再分别判断的正负，即可判断D. 【详解】因为函数的周期，所以， 因为点在的右侧，解得，即点的坐标为，故A错误； 函数过点，所以， 即，解得， 所以当时，，故B正确； 由B可知， 所以将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数 ， 因为，所以为奇函数，故C正确； 由B可知， 所以 ， 而 ， 所以，故D错误. 故选：BC 11. 群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用. 群的定义如下：设是一个非空集合，“*”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①封闭性：对任意的，，有； ②结合律成立：对任意的，，，有； ③单位元存在：存在，使得对任意的，有，称为单位元； ④逆元存在：对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（ ） A. 自然数集关于数的加法构成群 B. 某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群 C. （为虚数单位）关于复数的乘法构成群 D. 关于数的乘法构成群 【答案】BC 【解析】 【分析】依据群的定义，对每个选项中的集合和相应运算进行逐一分析，判断是否满足群的四个条件，进而确定该集合关于给定运算是否构成群. 【详解】对A：由且对任意的，都有， 但，不存在，使，故A错误； 对B：对任意向量，，， 封闭性：，则也是向量； 结合律：， ， 故； 单位元：存在零向量，使得； 逆元：当时，有；故B正确； 对C： 、、、 、、，故满足封闭性； 因为复数的乘法满足结合律，故结合律成立； 存在，对于，当时，， 当时，；当时，， 当时，；故单位元存在； 当时，；当时，， 当时，；当时，， 故对任意的，逆元存在；故C正确； 对D：取、，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可. 【详解】, 故答案为： 13. 在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】作出示意图，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示： 则，即，即， 因此，边的长的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求出上、下底面外接圆的半径，再求出棱台的高，然后分球心在两平面之间和球心在两平面同侧两种情况讨论，求出球的半径，即可求出三棱台的外接球的表面积. 【详解】 如图所示，设球心为，半径为， 由正三角形的外接圆半径公式， 可知上底面的外接圆半径， 下底面的外接圆半径. 所以三棱台的高， 若球心在两平面之间，设球心到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， ， 解得，不符合题意； 若球心在两平面同侧，设球心到上底面的距离， 则到下底面的距离为， 由球心到各顶点的距离相等可得， ， ，解得， 所以球的半径的平方， 所以该三棱台的外接球的表面积为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中，. （1）求、的值； （2）在复数范围内，求该方程的另一根. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根. 【小问1详解】 解：因为为方程的一个根，可得， 整理得，所以， 解得. 【小问2详解】 解：由（1）得，原方程为， 配方得，于是， 解得或，所以原方程的另一根为. 16. 某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按，，，，分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”. （1）求的值； （2）估计样本的中位数与平均数； （3）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？ 【答案】（1） （2）中位数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解； （2）设样本的中位数为，得到，结合中位数的计算方法，求得样本中位数，在频率分布直方图的平均数的计算公式，求得样本数据的平均数. （3）根据题意，利用采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质，可得，解得. 【小问2详解】 设样本的中位数为， 因为小于85的概率为，大于90的概率为，所以， 则，解得， 所以样本中位数的估计值为； 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得. 【小问3详解】 由题意，测试成绩良好的人数为人， 优秀的人数为人， 成绩优秀与良好的人数比为，采用分层抽样的方法抽取的5人中优秀3人，良好2人， 记“从这5人中选2人恰有1人是优秀”为事件， 将优秀的三名学生记为，考试成绩良好的两名学生记为， 从这5人中任选2人的所有基本事件包括：，，，，，，，，，，共10个基本事件， 事件包含的情况是：，，，，，，共有6个， 所以恰有一人是“优秀”的概率. 17. 在中，，，. （1）求的值； （2）取一点，使得，求点到直线的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，在和中，分别由勾股定理及直角三角形中正弦和余弦的定义求解即可； （2）过作，交的延长线于,即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理先求出，再利用，即可求出. 【小问1详解】 过点作，垂足为. 在中，因为，， 所以. 因为，所以， 在中，由勾股定理可得， ， 因此. 【小问2详解】 因为，所以点为靠近点的三等分点， 因此，. 过作，交的延长线于, 所以即为点到直线的距离. 在中，由余弦定理可得 ， 发现，因此， 又，因此，于是， 所以，即点到直线的距离为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点. （1）当为线段的中点时， （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求二面角的余弦值： （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由底面得到，又由，即可根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，又由，再次利用线面垂直的判定定理即可证明平面； （ⅱ）取的中点，过点作于点，首先证明平面，即可得到二面角的平面角为，直角中，利用求解即可； （2）假设在线段上存在点，使得平面，根据线面平行的性质定理可知，即，又由，可得，从而得出结论. 【小问1详解】 （ⅰ）底面，平面，， 又底面为正方形，， 又，平面， 平面， 平面，， 又，为线段的中点，， 又，平面， 平面； （ⅱ） 如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接， 为的中位线，， 底面，平面， 平面，， ，，平面，平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则，， 由可得，即，解得， 在直角中，， . 二面角的余弦值为； 【小问2详解】 如图，连接，交于点，连接， 假设在线段上存在点，使得平面， 平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可知， 在中，有， ，，则， 假设成立，即在上存在点，使得平面，此时. 19. 如图，圆的半径为2. （1）设为圆的一条弦，如图①，当时， （i）当取何值时，取得最小值，并求出此最小值； （ii）设是圆上的一动点，求的最大值； （2）设、为圆的两条弦，如图②，已知，求的最大值. 【答案】（1）（ⅰ）当时，取得最小值，最小值为；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）设，即有为直线上某一点，则，从而可得时，使取得最小值；（ⅱ）点作于点，则，从而可求解； （2）过点作于点，则得，则当，共线时，取得最大值，从而可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）设，即有为直线上某一点， ， 要使取得最小值，即最小，则此时只需， 过点作于点，有，即， 而因为，因此， 故当时，取得最小值，其最小值为. （ⅱ）因为，， 过点作于点， ， 而或， 要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切， 平移的垂线至，使圆相切， 此时有，，所以， . 【小问2详解】 过点作于点， ，，而， 所以 ， 因为，所以，，，， 所以， 因此，当，共线时，取得最大值，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $