广东广州市黄埔区2025-2026学年第二学期期末教学质量监测高一数学

**基本信息** 结合《九章算术》“米谷粒分”、秦九韶“三斜求积”等古代数学文化与快递取件码、竞赛成绩统计等现实情境，覆盖复数、概率、向量、立体几何、统计、解三角形等高一核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、概率、向量、立体几何|4题以《九章算术》为背景，8题结合秦九韶公式考查面积最值，渗透文化传承| |多选|3/18|向量、统计、立体几何|10题考查标准差、百分位数等统计概念，培养数据意识与推理能力| |填空|3/15|向量、复数、立体几何折叠|14题矩形折叠体积范围，考查空间想象与动态思维| |解答|5/77|圆柱表面积、统计、解三角形、立体几何证明与二面角|16题通过频率分布直方图分析成绩，18题直三棱柱二面角计算，注重逻辑推理与实际应用|

2025学年第二学骐期末教学质量监测答题卡一高一数学 学校： 姓名： 考生号： 试室号： 班级： 注意事项： 1.选择题作答必须用2B铅笔，修改时用橡皮擦干净。解答 题作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答题不得超出 答题框。 2.保持卡面整洁，不要折叠，不要弄破。 3.在每页考生信息框中填写姓名及考生号。 贴条形码区 正确填涂：mm (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 错误填涂：mBmm 缺考标记：□ 、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 闪回回回 3 囚回回回 5 囚回回回 7 囚回回回 2 因同同同 因同同 6 同局同 因同同同 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 囚回回回 10 囚回回回 1囚回回回 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13. 14 高一数学答题卡第1面（共8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15(13分) D B E 高一数学答题卡第2面（共8 口1回4 16(15分) H出 0.045 0.020 --- at--r 0455565758595分数 高一数学答题卡第3面（共8 17.（15分) 高一数学答题卡第4面（共8面） 高一数学答题卡第3面（共8 高一数学答题卡第4面（共8面) 12■4 2025学年第二学期期末教学质量监测答题卡一， 高数 学校： 姓名： 考生号： 试室号： 班级： 贴条形码区 (正面朝上，切勿贴出虚线方框) 请勿在此区域内作答或做任何标记 高一数学答题卡第5面（共8 18(17分) By A C 招 高一数学答题卡第6面（共8面） 1134. 19.(17分) 中刻 D 高一数学答题卡第7面（共8 请勿在此区域内作答或做任何标记 高一数学答题卡第8面（共8面） 2025学年第二学期期末教学质量监测 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知复数，则的虚部是 A. B. C. D. 2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与的关系为 A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 3.某快递公司的取件码由位数字组成，每一位置的数字随机选自，，...，，则取件码末位数字是偶数的概率是 A. B. C. D. 4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石（石为古代质量单位），检验出米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，假设一粒谷和一粒米的质量近似相同，则这批米内夹谷约为 A．石 B．石 C．石 D．石 5.已知复数，，且是非零复数，则下列结论正确的是 A． B．若，则 C．若，则 D． 6.在中,为的中点，为的中点，设， ，则 A. + B. C. D. 7.在棱长为的正方体中，,分别是,的中点，则与平面所成的角为 A. B. C. D. 8.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了从三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式，设的三个内角，，的对边分别为，，，面积为，则“三斜 求积”公式为.若，且，则面积的最大值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知向量，，则下列说法正确的是 A．若，则 B．若 ，则 C．若，则向量在上的投影向量为 D．“向量与的夹角为钝角”的充要条件是“” 10.下列说法中正确的是 A．若样本数据，，...，的标准差为，则数据，，...，的标准差为 B．数据，，，，，，，的第百分位数是 C．若样本数据，，...，的方差，则这组样本数据的总和为 D．已知一组样本的样本容量为，样本平均数为，方差为，现在该样本中加入一个新数据，则得到新样本的平均数为，新样本的方差小于 11.正方体的棱长为，是的中点，则 A．若是的中点，则 B．平面截正方体所得截面的周长为 C．与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若向量，，且，则 . 13.已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为 ． 14.已知矩形，，，沿将折起成，若点在平面上的射影在的内部（不含边界），则四面体的体积的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分） 如图，矩形是圆柱的轴截面，，，为弧上异于点，的一点，为的中点． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：平面． 16. （15分） 某学校高一年级筛选部分学生参加知识竞赛，现随机抽取名学生的考试成绩，分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同. （1）求，的值； （2）根据频率分布直方图估计这名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在第四、第五两组学生中，按组别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取人，再从这人中选出人，求选出的人来自同一组的概率. 17.（15分） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，求的取值范围. 18.（17分） 如图，在直三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 19.（17分） 如图，在中，，，，且，延长，，分别交，，于，，. （1）求的余弦值； （2）求的长； （3）若，其中，， 求满足条件的动点所覆盖区域的面积. 第 页，共4页1 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期期末综合练习 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 题号 P 3 4 5 6 7 8 答案 D O 不 A W y 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.AC 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 25 12.5 13.V13-1 615 14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)解：(1)因为AB=2,AD=3 所以圆柱的母线长1=3，底面半径r=1,则圆柱00的侧面积S侧=2m1=2π×1×3=6π 3 分 所以圆柱00的表面积S=2π+6π=8π5分 (2)证明：证法一：取AE的中点Q,连接D2,MQ .6分 因为M为BE的中点， 所以M0W1B.M0=)B 7分 D 0 -AB 又DO∥AB D0= 11 ，8分 所以Oll MO, DO-IMO ，9分 所以四边形DOM0为平行四边形. 10分 E 第页，共7页 所以DQ∥OM 111分 又DQC平面ADE,OMt平面ADE,12分 所以OM∥平面ADE 13分 证法二：连接OM, 因为M为BE的中点，O为AB的中点， 所以OM为△MBE的中位线，所以OM∥E,…7分 因为AEC平面ADE.O,M文平面ADE …8分 所以OM∥平面ADE …9分 D 0 又因为OO∥DA,OO￠平面ADE,DAc平面ADE. 所以OO∥平面ADE. .10分 因为0Mn00=0,11分 A O,Mc平面O,OM 00平面O,OM E 所以平面OOM∥平面ADE .12分 又OMc平面OOM 所以OM∥平面ADE .13分 16.(15分)解：(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7， A频率 组距 0.045 所以(0.045+0.020+a)x10=0.7 0.020 解得a=0.005, .2分 a-- 0455565758595分数 第页，共7页 所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3， 即(a+b)x10=0.3,所以b=0.025.…4分 (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数为 50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5:…6分 (3)第四、第五两组志愿者分别有20人、5人，…7分 按照分层抽样，抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a,b,C,d，…8分 第五组志愿者人数为1，设为A, …9分 从这5人中选出2人，所有可能结果有8种，即 a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(b,c),(b,d),(b,Al,(c,d),(c,A),(d,Al,........ (完整列出所有可能结果得2分，不完整列出得1分) 其中选出的2人来自同一组的有共包含6个可能结果，即 a,b,a,c,a,d,b,c,b,d,c,d 13分 (完整列出所有可能结果得2分，不完整列出得1分) 63 故选出的2人来自同一组的概率为105.15分 (若无前面论述，也没有列出所有可能结果，只给结论分) 17.(15分)解：(1)在△4BC中，因为acosC-+V3 asinC=b+2c, 由正弦定理，可得sinAcosC+V3 sin AsinC=sinB+2sinC, 1分 B=π-(A+C) 因为 所以sin AcosC+V3 sinAsinC=sin(A+C)+2sinC 2分 sin AcosC+3 sin Asin C=sin AcosC+cos AsinC+2sin C. 3分 3sin Asin C=cos AsinC+2sinC, 4分 3 第页，共7页 因为sinC≠0，所以V3sinA-cosA=2, 5分 sin(4-)=1 化简得 6 6分 -严<A-严<5r 因为A∈(0，π)，所以6466， 7分 A-刀、π 2π A= 所以62，即3： 8分 A-2n (2)解法一：由(1)知3，且a=V3, abcV3 sin A sin B sinC sin =2 2π 根据正弦定理可得 3 ，.9分 b+c=2sin B+2sinC=2sin B+2sin(-B) 所以 3 10分 h+c=2sinB+2 3 cos B-Isin B)=sin B+3cosB ，12分 b+c=2sin B+ 所以 3 13分 0<B< <B+<2n 因 3,所以3 3.3，… 14分 所以b+c的取值范围为W,2 15分 解法二：由(1)知1=3，且a=V5,根据余弦定理Q2=b2+c2-2bcc0sA,…9分 3=b2+c2-2bccos 2π=b2+c2+bc 得 3 10分 第页，共7页 所以3=b2+c2+bc=6+c-bc,…l1分 a6ey-ez3 化简得亿+c≤4,12分 解得b+c≤2，当且仅当b=c=1时取等号， .13分 又b+c>a,即b+c>V3 14分 所以b+c的取值范围为(W3,2 .15分 18.(17分) (1)证明：在直三棱柱ABC-AB,C中， B1 A,A⊥平面ABC 1分 C 所以AA⊥BC .2分 因为底面是边长为2的正三角形，O为BC的中点， B 所以A01BC,4分 因为A0∩AA=A 所以BC⊥平面4AO 5分 (2)过点A作AE1BC,垂足为E,连接OE,6分 在直三棱柱ABC-AB,C中，BB⊥平面ABC,AOc平面ABC, 所以BB⊥AO 7分 又因为AO⊥BC,且BC∩B,B=B, 第页，共7页 所以A0L平面BBCC,8分 所以AO⊥BC, 9分 又AE⊥BC,AEAO=A, 所以BC⊥平面AEO ,10分 所以BC1B0,11分 所以LAE0是二面角A-BC-C的平面角，12分 因为底面是边长为2的正三角形，所以A0=V5 13分 因为Rt ABEO、Rt△BCC, OE BO 所以CCBC,得 2,14分 F=4 所以 2 ’15分 7 Rt cos∠AEO=OE 2= 在△AOE中， 2 ,16分 (16分点给的是公式的分，即第一个等号写对就给分) 7 故二面角A-BC-C的余弦值为7· 17分 19.(17分)解：(1)如图，在△1BC中，AB=5,AC=4W5,BC=7, 由余弦定理可有0s∠BAC=1B+C_BC-25+32-49V2 2AB·AC 40W210…2分 6 第页，共7页 (2)因为AHB=HB.Hc=HCHA 所以B瓦-HC)-H店AC=0. 即HB⊥AC,.3分 同理可得HC⊥AB,HA⊥BC,.4分 又BH,CH,AH分别交AC,AB,BC于E,F,D, 在Rt△AFC中， AF-ACCOs4=4x2 105,5分 在Rt△AEB中， AE-4Bcos4=5x 102,6分 所以在△AEF中，由余弦定理可 EF-AP+4E-2AF AEcOs4=7 10..7分 装-于mm版，共时引 当y=0 0时，点P与H重合： 当术y 1 2时，点P在BC是中点： 当x=0,y= 1 2时，点P在HC是中点； 1 当2'y=0 .X= 时，点P在HB是中点： 故点P能够取到的集合，恰为由点H和△HBC的三边中点构成的平行四边形的内部及边界，9 分 由(1)知cos∠BAC=V2 ,所以sin∠BAC=7V2 10,.10分 第页，共7页 由(2)可得A,E,H,F四点共圆，则∠AFE=∠AHE,11分 由正弦定理， AE EF 在△AFE中，sin∠4FE sin∠FAE, AE AH =AH 在△AHE中，sin∠HE sin90° EF 因为∠AFE=∠AHE,所以 Sin∠FAE,.12分 7W2 即AH=10=1 7V2 .13分 10 商Sc-号484CsmR4C-5x4x2沿-片， 10 ，14分 所以4D-2g-28 =4 BC 7 从而HD=AD-AH=4-1=3,15分 所以点P能够覆盖的区域的面积 CsixCsinnc 2 2×7x3=21 1.11 16分 21 故满足条件的动点P所覆盖区域的面积4.17分 解鞋二台于m-丽+派，中小吲 第页，共7页 当术y=0 时，点P与H重合 当术=y= 2时，点P在BC是中点： 当x=0,y=} 1 2时，点P在HC是中点： 1 当x=2y=0时 时，点P在HB是中点； 故点P能够取到的集合，恰为由点H和△HBC的三边中点构成的平行四边形的内部及边界，9 分 由()知cos∠BAC= 10,所以sin∠BAC=7V2 10,10分 ,S=1 ADx BC=云ABX AC×sin∠BAC 2 .11分 可得AD=4BxAC×sin∠BAC5x42x72 BC > 10=4,12分 又因为在R△1DE巾，4C=42,所CD=AD=4,故D1C=45 ，所以 13分 所以4H=AEcos45°=1 14分 则HD=3, .15分 所以点P能够覆盖的区域的面积为： S-B*HCxsin∠Bic-HCxsin∠Bmc 2 11 SAHBC x1×3=4 21 2 22 .16分 9 第页，共7页 21 故满足条件的动点P所覆盖区域的面积4.… 17分 10 第页，共7页