2025-2026学年第二学期高二数学期末冲刺模拟卷 （人教A版）

**基本信息** 高二数学期末冲刺模拟卷，涵盖集合、复数、立体几何等模块，解答题突出综合性，如函数导数应用、圆锥曲线综合等，有效考查数学思维与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、立体几何线面关系|基础巩固，聚焦核心概念| |多选题|3/18|向量平行垂直、数列前n项和|能力区分，考查知识关联性| |填空题|3/15|解三角形、椭圆弦长、摸球概率|情境应用，体现数学语言表达| |解答题|5/77|数列证明与求和、立体几何面面垂直及夹角、抛物线定点问题、函数单调性与恒成立|梯度设计，融合推理运算与创新应用，契合期末综合能力考查需求|

2025-2026学年第二学期高二数学期末冲刺模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以． 2．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 故的虚部为. 3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】若，，只有直线垂直于两个平面交线时，才有， 故仅面面垂直无法推出平面内任意直线垂直于另一平面，故A错误； 若，，，两条异面直线垂直不能判定两个平面垂直， 两个平面可以平行或相交，故B错误； ，，，，但题目未明确相交，故C错误； ，，则， 又，过直线作平面与相交，交线与平行， 故交线也垂直于， 内存在直线垂直于，满足面面垂直判定定理， 故，命题成立，故D正确． 4．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以. ，，过点， 所以切线方程为. 5．已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 【答案】B 【分析】通过构造等比数列求出的通项公式，再由分组求和即可求得. 【详解】由题意得，两边同时加得，又， 则，即是以为公比，为首项的等比数列， 即，则， 则. 6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模的计算及向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以． 7．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线与椭圆方程求出点坐标，利用向量垂直数量积为0建立关系式，结合转化为离心率方程，即可求出离心率. 【详解】由题意得，则，直线的斜率为， 所以直线的方程为. 由得， 所以，故， 代入直线的方程得，故， 可得. 因为，所以， 得，即， 又，所以，等号两边同时除以得， 又因为，所以. 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，根据函数的周期性，结合正弦函数的零点，列出相关的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】由题意可得，，则的最小正周期是. 若函数在上没有零点，则，所以. 当时，. 所以. 所以或. 若，则； 若，则. 所以的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A．向量与互相平行 B．与互相垂直 C．，可以作为平面内的一组基底 D．向量在上的投影向量为 【答案】ABC 【详解】A：满足数乘关系，两向量平行，正确； B：，故，正确； C：不共线的两个非零向量才可作为平面内的一组基底，因为，垂直，故不共线，所以可作为一组基底，正确； D：投影向量公式：因为，所以向量在上的投影向量为，不是，错误. 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若数列，则数列的前n项和 【答案】BCD 【分析】根据与的关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求即可判断D. 【详解】当时，， 当时，，两式相减得：， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，是首项为8，公比为2的等比数列，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 11．如图，已知正方体的棱长为，则下列结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的正弦值为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ACD 【分析】由异面直线判定定理可判断A，由等体积法可判断B，由异面直线夹角的定义可判断C，将平面与平面间的距离转换成点到平面的距离，即可判断. 【详解】对选项A，因为平面，平面，，平面， 所以直线与为异面直线，故A正确； 对选项B，因为， 又由正方体的性质可得为等腰直角三角形， 所以的面积为2，到平面的距离为2， 故三棱锥的体积为，故B错误； 对选项C，因为在正方体中，， 所以（或补角）为异面直线与所成的角， 在直角中，，，， ，故C正确； 对选项D，因为在正方体中，，不在平面内，平面， 所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面， 故平面与平面间的距离为点到平面的距离， 由选项B得，得， 即平面与平面间的距离为，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则__________． 【答案】 【详解】由余弦定理， 则. 13．椭圆的左焦点为F，过F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长__________. 【答案】 【分析】求出直线方程，与椭圆方程联立表示出，代入弦长公式求解. 【详解】由椭圆方程可得，所以， 所以左焦点为，则过且斜率为的直线方程为， 由可得，即， 设，则， 所以， 故答案为：. 14．有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球．不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数至多为5次的概率为___________． 【答案】 【分析】记为游戏结束时取球次数，随机变量的可能取值有、、、，先计算出随机变量的概率，再由间接法求游戏结束时取球次数至多为5次的概率. 【详解】的可能取值有、、、， 由间接法求取球次数至多为5次的概率 当时，有两种情况： ①最后盒子里剩余的是白球，则第六次摸出的是红球，前五次有三次摸出的是红球，有两次摸出的是白球； ②最后盒子里剩余的是红球，则第六次摸出的是白球，前五次有两次摸出的是白球，有三次摸出的是红球， 所以， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 【答案】(1) 因为，所以， 又，所以，， 所以，即是首项为2，公比为2的等比数列． (2)，2036 【分析】（1）利用递推证明等比数列即可； （2）利用等比数列通项公式和求和公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，即， 设数列的前项和为， 所以． 16．袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球． (1)分别求第一次、第二次取到白球的概率； (2)用表示摸出的个球中白球的个数，求的分布列和期望． 【答案】(1)第一次取到白球的概率为，第二次取到白球的概率为； (2) 数学期望. 【分析】（1）应用全概率公式结合条件概率计算求解； （2）的可能取值为1,2,3，求得其相应概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）设事件“第一次取到白球”，则“第一次取到黑球”，事件“第二次取到白球”. 依题意，，，，， 因此， 所以第一次取到白球的概率为、第二次取到白球的概率为. （2）的可能取值为1,2,3， 则，， ， 的分布列为： X 1 2 3 P . 17．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)思路一： 由BC是直径可知，则是等腰直角三角形，故， 由圆柱的特征可知平面ABC，又平面ABC，所以， 因为，，平面，则平面， 而平面，则， 因为，则，所以， ， 所以， 所以，即， 因为，，，，平面， 所以平面， 又平面，故平面平面. 思路二：因为，则，，， 所以， 所以，即， 同理可证， 在二面角中且， 所以为二面角的平面角， 由思路一知，所以二面角为直二面角，即平面平面 (2) 【分析】（1）根据图形特征结合勾股逆定理先证，，再由线线垂直得线面垂直，进而根据线面垂直的性质可得面面垂直；或根据定义证得为二面角是直二面角，进而得面面垂直. （2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）易知，AB，AC两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 由（1）知平面，故平面的一个法向量是， 设是平面的一个法向量， 则有，取，可得 设平面与平面夹角为， 所以， 则平面与平面夹角的大小为. 18．已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)因为过点作两条相互垂直的直线与抛物线有2个交点， 则直线的斜率一定存在且不为0， 设其方程为， 联立，得，且有， ， 根据题意，由于过的两条直线垂直，则， 且有，即， 即 即，化简整理得到，所以， 将其代入，整理得， 若对任意等式都成立，则有，即， 故直线恒过定点. 【分析】（1）由题意可得，当时，，结合的面积，即可求得的值，进而可求得抛物线E的方程； （2）由题意可得，则直线的斜率一定存在且不为0，设其方程为，联立后结合韦达定理，可得，因为过的两条直线垂直，则，结合抛物线方程，可得，代回直线方程即可求得定点. 【详解】（1）当时，，，所以 由题意可知， 所以，所以抛物线的方程为 （2）略 19．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义及初等函数的导数求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合含参数一元二次不等式的求解方法求解即可. （3）通过分离参数，结合导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】（1）当时，. 求导得，. 所以曲线在点处的切线的斜率为. （2）的定义域为. 求导得. 令，则，即. 令，因为，则. 当，即时，恒成立，故， 所以在上单调递增. 当，即时，的两根为，，且. 因为，，所以，. 所以当或时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减，其中，，. （3）不等式对任意恒成立等价于对任意恒成立. 令，则. 则. 令，则. 因为，所以，则在上单调递增， 即在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 所以实数的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末冲刺模拟卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 3．设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 4．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，满足，则（    ） A．108 B．109 C．110 D．111 6．已知向量，满足，，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 7．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆离心率为（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（    ） A．向量与互相平行 B．与互相垂直 C．，可以作为平面内的一组基底 D．向量在上的投影向量为 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若数列，则数列的前n项和 11．如图，已知正方体的棱长为，则下列结论正确的是（    ） A．直线与为异面直线 B．三棱锥的体积为 C．异面直线与所成角的正弦值为 D．平面与平面间的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则__________． 13．椭圆的左焦点为F，过F且斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长__________. 14．有一个摸球游戏，规则如下：在盒子里放入大小、质地完全相同的4个红球和3个白球．不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，则游戏结束时取球次数至多为5次的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列的首项，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式及前10项的和． 16．袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中个黑球，个白球，从中不放回地依次随机摸出个球． (1)分别求第一次、第二次取到白球的概率； (2)用表示摸出的个球中白球的个数，求的分布列和期望． 17．如图所示，圆柱的一个轴截面为矩形，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为圆柱的一条母线，为的中点，且. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的大小. 18．已知过点的直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，当直线垂直于x轴时，的面积为． (1)求抛物线E的方程； (2)过曲线E上一点作两条互相垂直的直线，分别交曲线E于S，T（异于点P）两点，求证：直线恒过定点． 19．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线的斜率； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $