精品解析：天津市西青区2025-2026学年八年级下学期期末 数学试卷

2025～2026学年度第二学期__________学校学业质量期末监测 八年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ 　 ） A. B. C. D. 2. 为了筹备新年联欢会，班长想买一些水果，购买前对全班同学进行了调查，以此决定最终买什么水果．你认为班长最应该关注的统计量是（ 　 ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 3. 小张参加招考公务员考试，报名参考人数是1280名，按考试成绩从高到低排列，前640名通过笔试．小张得知自己的成绩后，想知道自己是否通过笔考，他最应该了解的考试成绩统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 标准差 D. 众数 4. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量，计算样本方差为，，则对比样本方差可以估计甲、乙两种甜玉米产量的波动情况是（ 　 ） A. 甲种甜玉米产量波动较小 B. 乙种甜玉米产量波动较小 C. 甲、乙两种甜玉米产量波动情况相同 D. 无法作出估计 5. 汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（ 　 ） A. B. C. D. 6. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 正比例函数（）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点，于点，且，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 14 D. 16 9. 声音在空气中传播的速度与气温的关系如下表，根据表格数据分析，下列说法错误的是（ 　 ） 气温 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A. 在这个变化过程中，气温是自变量，声速是的函数 B. 声速随气温的升高而增大 C. 声速与气温的关系式为 D. 气温每升高，声速增加 10. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好有，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 12. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边，边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积是； ②当时，四边形是平行四边形； ③当时，面积随值的增大而减小． 其中，正确结论的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则正整数的最小值为____________． 14. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 15. 在学校举行的“幸福长丰，美丽家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为88分，80分，85分，最后再按照5∶3∶2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是_________分． 16. 将直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值是____________． 17. 如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 （Ⅰ）线段的长等于________； （Ⅱ）线段的长等于________． 18. 如图，正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点． （1）的度数是__________； （2）若正方形的边长为，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 21. 小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 22. 【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】将，两名选手八轮射击成绩整理成如下统计图表，分别计算两组数据的四分位数，画出箱线图． 选手成绩（单位：环） 6 7 8 9 9 9 10 10 选手成绩（单位：环） 8 8 8 9 9 10 10 10 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最大值 6 9.5 10 8 8 9 10 （1）填空：①小明计算平均数和方差．通过计算，两位选手射击成绩的平均数分别是：， ；通过计算，两位选手射击成绩的方差分别是：， ； ②小颖利用四分位数、箱线图进行计算和分析．表格中 ， ， ，选手射击成绩最大值与最小值的差是 ；观察箱线图可以发现，选手 （填“”或“”）的箱体和须线比较长． 【作出决策】 （2）请你根据小明或小颖的计算结果分析：如果从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，派谁去比较合适？并请说明理由． 23. 已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 李明离开宿舍的时间 5 10 30 50 李明离宿舍的距离 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为 ； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 如图在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点．已知点的横坐标为，点的坐标为． （1）求点，的坐标和直线的解析式； （2）若是直线上的点，且的面积为，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，若此时在平面内存在点，使得以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点，的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期__________学校学业质量期末监测 八年级数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2. 为了筹备新年联欢会，班长想买一些水果，购买前对全班同学进行了调查，以此决定最终买什么水果．你认为班长最应该关注的统计量是（ 　 ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵班长筹备联欢会买水果，需要优先满足多数同学的喜好，众数的定义是一组数据中出现次数最多的数，正好对应这一需求， ∴班长最应该关注的统计量是众数． 3. 小张参加招考公务员考试，报名参考人数是1280名，按考试成绩从高到低排列，前640名通过笔试．小张得知自己的成绩后，想知道自己是否通过笔考，他最应该了解的考试成绩统计量是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 标准差 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，先把数据排序后，再取在数据的中间位置的数为中位数（如果中间位置的数有两个，那么它们的平均数为数据的中位数），据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵报名参考人数是1280名，前640名通过笔试， ∴如果自己的分数大于这组考试分数的中位数，就能通过笔考， 故小张得知自己的成绩后，想知道自己是否通过笔考，他最应该了解的考试成绩统计量是中位数， 故选：A． 4. 为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量，计算样本方差为，，则对比样本方差可以估计甲、乙两种甜玉米产量的波动情况是（ 　 ） A. 甲种甜玉米产量波动较小 B. 乙种甜玉米产量波动较小 C. 甲、乙两种甜玉米产量波动情况相同 D. 无法作出估计 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方差越大，对应数据的波动越大，方差越小，对应数据的波动越小， 又，， ∴， ∴乙种甜玉米产量波动较小． 5. 汽车匀速通过隧道（隧道长度大于汽车长度）时，汽车在隧道内的长度与汽车从进入隧道到离开隧道所用的时间之间的关系可以用下图近似的刻画的是（ 　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：当汽车进入时逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内不变，当汽车出来时逐渐变小， 因此与之间的关系可以用下图近似的刻画： 6. 利用勾股定理可以作出长为无理数的线段．如图，，过点作直线，在上取点，使，以点为圆心，的长为半径作弧，与数轴正半轴交于点，那么点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，，再根据勾股定理求出，从而求出，即可得出点表示的数． 【详解】解：由题意可知， 直线， ， 由勾股定理得， 由题意可知， 点C表示的数是． 7. 正比例函数（）的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象：一次函数（k、b为常数，）的图象为直线，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的减小而减小；当，图象与y轴的正半轴相交；当，图象过原点；当，图象与y轴的负半轴相交．先根据正比例函数的函数值y随x的增大而增大判断出k的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 8. 如图，在中，于点，于点，且，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设， ，根据平行四边形的周长为，以及面积法构建方程组求解.解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 【详解】解：设， ， 则有， 解得， ∴． 9. 声音在空气中传播的速度与气温的关系如下表，根据表格数据分析，下列说法错误的是（ 　 ） 气温 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 A. 在这个变化过程中，气温是自变量，声速是的函数 B. 声速随气温的升高而增大 C. 声速与气温的关系式为 D. 气温每升高，声速增加 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵变化过程中气温主动变化，声速随的变化而变化， 是自变量，是的函数，A说法正确，不符合题意； B．由表格数据可知，声速随气温的升高而增大，B说法正确，不符合题意； C．将代入关系式，得，与表格中不符， ∴该关系式错误，C说法错误，符合题意； D．由表格可知，相邻两次气温差，声速差分别为，，…，均为， 因此气温每升高，声速增加，D说法正确，不符合题意． 10. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 11. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好有，则的长是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，容易判断是线段的垂直平分线，因此．在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意可得，是线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴在直角中，， ∴， 解得， ∴． 12. 四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边，边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积是； ②当时，四边形是平行四边形； ③当时，面积随值的增大而减小． 其中，正确结论的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①当时，点M在上，求出，可判断①；②当时，点M在上，求出，可判断②；③当时，点M在上，求出的面积关于t的关系式，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ③当时，点M在上， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴面积随值的增大而减小，故③正确． 综上可知，正确结论有：①②③，共3个． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则正整数的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【详解】解：是正整数，是整数， 是完全平方数， ∵大于的最小完全平方数是， ∴， 解得． 14. 直角三角形的两边长分别为3和2，则第三边长为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】分3是直角边和斜边两种情况讨论求解． 【详解】解：当3是直角边时，第三边长为：， 当3是斜边时，第三边长为：， 所以，第三边长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，是基础题，注意要分情况讨论． 15. 在学校举行的“幸福长丰，美丽家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为88分，80分，85分，最后再按照5∶3∶2的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是_________分． 【答案】85 【解析】 【分析】根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求出小华的最终得分． 【详解】解：根据题意得：（分）， ∴小华的最终得分是85分． 故答案为：85． 【点睛】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法． 16. 将直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值是____________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：直线向下平移个单位长度后的解析式为， 因为平移后的直线经过点， ∴代入得，， 解得． 17. 如图，正方形的对角线与交于点O，点E在延长线上，且，连接，过点A作，垂足为F，与延长线交于点G，若，则 （Ⅰ）线段的长等于________； （Ⅱ）线段的长等于________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形的性质． （Ⅰ）根据正方形的性质得，根据勾股定理求得，即可求得； （Ⅱ）根据垂直的定义和正方形的性质求得，结合三角形的外角求得，利用可证明，有，结合（Ⅰ）可知和，在中根据勾股定理求得即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵正方形的对角线与交于点O， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； （Ⅱ）∵，正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（Ⅰ）可知，， 在中，， ∴， 故答案为：，． 18. 如图，正方形中，点，分别是边，上的动点，且满足，与交于点． （1）的度数是__________； （2）若正方形的边长为，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是__________． 【答案】 ①. ##度 ②. 5 【解析】 【分析】先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，在延长线上截取，连接，则有，然后可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， （2）∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 21. 小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点到点有两条路线，分别是和．已知，，点在点的正东方处，点在点的正北方处． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如果小亮沿着的路线跑，爸爸沿着的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短． 【答案】（1）． 理由：由题意得，， ，， ， ， ． （2）小亮跑的路线更短 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，进而利用勾股定理的逆定理即可得，即可求解； （2）先求出的长，根据路线计算出两人的路线长度，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在点的正东方，点在点的正北方， ， 在中，，， ， ∴小亮的晨跑路线的总长为：， 爸爸的晨跑路线的总长为：． ， ， ∴小亮跑的路线更短． 22. 【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】将，两名选手八轮射击成绩整理成如下统计图表，分别计算两组数据的四分位数，画出箱线图． 选手成绩（单位：环） 6 7 8 9 9 9 10 10 选手成绩（单位：环） 8 8 8 9 9 10 10 10 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 第一四分位数 中位数 第三四分位数 最大值 6 9.5 10 8 8 9 10 （1）填空：①小明计算平均数和方差．通过计算，两位选手射击成绩的平均数分别是：， ；通过计算，两位选手射击成绩的方差分别是：， ； ②小颖利用四分位数、箱线图进行计算和分析．表格中 ， ， ，选手射击成绩最大值与最小值的差是 ；观察箱线图可以发现，选手 （填“”或“”）的箱体和须线比较长． 【作出决策】 （2）请你根据小明或小颖的计算结果分析：如果从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，派谁去比较合适？并请说明理由． 【答案】（1）①9，0.75；②7.5，9，10，4， （2）派选手参加青少年射击比赛． 理由：选手平均成绩更高，说明选手的整体水平较好； 选手的方差较小，说明选手射击成绩更稳定， 因此派选手参加青少年射击比赛． 【解析】 【分析】（1）①根据平均数和方差的定义计算即可； ②根据第一四分位数，中位数和第三四分位数的定义求解m，n，p，然后结合箱线图求解即可； （2）根据平均数和方差判断即可． 【小问1详解】 解：①； ； ②方法一：将选手成绩8个数据从小到大排列后， 第一四分位数为前半部分的中位数，即； 方法二：由，可知第一四分位数为第2个数和第3个数的平均数，即； 方法一：将选手成绩8个数据从小到大排列后， 第三四分位数为后半部分的中位数，即； 方法二：由，可知第三四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即； 选手成绩的中位数为； 选手射击成绩最大值与最小值的差是； 观察箱线图可以发现，选手的箱体和须线比较长； 【小问2详解】 略 23. 已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍，书店离宿舍．李明从宿舍出发，先匀速骑行了到书店买书，在书店停留了，之后匀速骑行到超市购买生活用品，在超市停留了后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中表示时间，表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）①填表： 李明离开宿舍的时间 5 10 30 50 李明离宿舍的距离 2 ②填空：李明从超市返回宿舍的速度为 ； ③当时，请直接写出李明离宿舍的距离关于时间的函数解析式； （2）当李明离开宿舍时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①填表如下： 李明离开宿舍的时间 5 10 30 50 李明离宿舍的距离 1 2 2 0.8 ②0.05；③ （2） 【解析】 【分析】（1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由李明从超市到宿舍的距离除以时间即可解答； ③分三种情况讨论，分别结合图象求解即可； （2）首先求出张杰的速度为，当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①李明从宿舍到书店的速度为， 时李明离宿舍的距离为； 由图象可得，李明离开宿舍时，李明离宿舍的距离为； 时李明离宿舍的距离为， 填表略； ②李明从超市返回宿舍的速度为； ③当时，李明从宿舍到书店的速度为， ∴； 当时，由函数图象可得； 当时，设y与x的函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴； 综上，当时，； 【小问2详解】 解：当李明离开宿舍时，即时，同宿舍的张杰从宿舍出发，匀速步行直接到达书店的速度为， 当李明在回宿舍的途中遇到张杰时，他俩离宿舍的距离是相等的，设相遇时间为x， 当时，，他们没有相遇； 当时，，解得：（符合题意）， 当时，． 所以，那么他在前往书店的途中遇到李明时离宿舍的距离是． 24. 如图在中，，分别为，的中点，，垂足为，点在的延长线上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求和的长． 【答案】（1）证明：，分别为，的中点， 是的中位线． ．即． 又， ∴四边形是平行四边形． ， ． 是矩形 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可得出平行四边形是矩形； （2）根据是等腰直角三角形可得，进而求得．再根据中位线定理可得，求出，在中，求出，即可得出长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ， ． ． ． 由（1）知四边形是矩形，得，，． ． 由（1）知是的中位线，得，． ． 在中，． ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点．已知点的横坐标为，点的坐标为． （1）求点，的坐标和直线的解析式； （2）若是直线上的点，且的面积为，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，且当点在第一象限时，设是射线上的点，若此时在平面内存在点，使得以为对角线的四边形是菱形，请直接写出点，的坐标． 【答案】（1）的坐标是；点的坐标是；直线的解析式为 （2）或 （3）； 【解析】 【分析】（1）求出；用待定系数法可得直线的解析式是；再令可得； （2）设，由的面积为12，有，即可解得或，故点的坐标为或； （3）当点在第一象限时，点的坐标为，可得直线解析式为，设，其中，由四边形是菱形，可得，根据坐标系中两点距离公式列方程可求点P坐标，再根据平移可得点坐标． 【小问1详解】 解：在中，令得， ； 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式是； 令得， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设， ， ， 的面积为12， ， 解得或， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：当点在第一象限时，点的坐标为， 由，可得直线解析式为， 设，其中， 由四边形是菱形，可得， 如图： ， 解得（舍去）或， ， 四边形是以为对角线的菱形，， 将向下平移6个单位即得， ， 综上所述，的坐标为，的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $