精品解析：天津市西青区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则的值可以是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3. 如果一组数据：，4，3，，的众数是3，则这组数据的平均数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 如图，四边形是平行四边形，连接，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象必经过第一、二、三象限 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 当时， 6. 在下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 如果两个实数都是正数，那么它们的和是正数 B. 若，则 C. 全等三角形的面积相等 D. 正方形的四个角都是直角 7. 学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 8. 若直线只经过第二、四象限，则，的值可以是（ ） A. 2， B. ，4 C. 0，0 D. 1，0 9. 如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ） A. B. C. D. 2m 10. 如图，一次函数（，为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ） A B. C. D. 11. 如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（ ） A. 160 B. 120 C. 96 D. 48 12. 如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 14. 直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为_________ 15. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分，9分，8分、若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 16. 将直线向下平移个单位长度后经过点，则的值是_______． 17. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点连接，． （1）线段与的位置关系为_______； （2）若，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________． 18. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1） （2） 20. 如图，在中，，E，F分别是边中点，连接求证：． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． （1）是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 22. 某校为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图． （1）填空：_________，图中的值为_________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数、中位数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，请估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约是多少？ 23. “低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车出行．已知小红家，天塔，鼓楼在一条直线上，天塔离小红家，鼓楼离小红家．小红从家骑自行车出发，先匀速骑行到达天塔，在天塔里游玩了后，又匀速骑行了到达鼓楼，在鼓楼参观了，然后匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中小红离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小红离开家时间/ 1 10 40 90 小红离家的距离 2.4 （2）填空：小红从天塔到鼓楼的骑行速度为________； （3）当时，请直接写出小红离家距离关于时间的函数解析式； （4）当小红骑车离开鼓楼时，小红的爸爸也从天塔出发匀速步行直接回家，如果小红爸爸步行的速度为，那么小红在回家的途中遇到爸爸时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 24. 如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与分别与轴相交于点A，，两直线交于点． （1）求，值． （2）点是轴上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与直线交于点． 当时，求点的坐标； 点是直线上一点，在点运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试卷 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页．试卷满分120分．考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的姓名、考生号等相关信息填写在“答题卡”上．答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题共36分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点． 2．本卷共12题，共36分． 一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数为非负数时，二次根式有意义是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， 解得， 故选：B． 2. 技术员分别从甲、乙两块小麦地中随机抽取1000株苗，测得苗高的平均数相同，方差分别为，，检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐，则的值可以是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，掌握方差越小、数据波动越小、植株长得越整齐成为解题的关键．根据方差的意义解答即可． 【详解】解：∵检测结果是乙地小麦比甲地小麦长得整齐， ∴，即只有A选项9满足条件． 故选A． 3. 如果一组数据：，4，3，，的众数是3，则这组数据的平均数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数和平均数，根据众数的定义，求出的值，再根据平均数的计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵，4，3，，的众数是3， ∴， ∴这组数据的平均数是； 故选B． 4. 如图，四边形是平行四边形，连接，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行四边形的对边平行是解题的关键．根据平行线的性质可求得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D． 5. 关于函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象必经过第一、二、三象限 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质以及图象上的点的坐标特征对各个选项进行判断即可． 本题考查一次函数的性质，熟知“当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大”是解题的关键． 【详解】解：A、函数中，故随的增大而增大，本选项正确． B、，，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，本选项错误． C、令，得，图象与轴交点为，而非，本选项错误． D、时，随增大而增大，时，故时，本选项错误． 故选：A． 6. 在下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ） A. 如果两个实数都是正数，那么它们的和是正数 B. 若，则 C. 全等三角形的面积相等 D. 正方形的四个角都是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断一个命题的逆命题真假，实数的性质、不等式的基本性质、全等三角形的性质、正方形的判定定理．把原命题的结论和条件互换，写出对应的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：A、逆命题：若两实数的和为正数，则它们均为正数，假命题，本选项不符合题意； B、逆命题：若，则，真命题，本选项符合题意； C、逆命题：面积相等的三角形全等，假命题，本选项不符合题意； D、逆命题：四个角都是直角的四边形是正方形，假命题，本选项不符合题意； 故选：B． 7. 学校食堂对全体同学爱吃哪种水果做调查．下面的调查数据最值得关注的是（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的意义进行分析选择，正确理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键． 【详解】解：∵平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，方差是描述一组数据离散程度的统计量， ∴全体同学爱吃哪种水果做调查，最值得关注的是众数， 故选：． 8. 若直线只经过第二、四象限，则，的值可以是（ ） A. 2， B. ，4 C. 0，0 D. 1，0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据直线经过的象限，求参数的范围，根据直线只经过二，四象限，得到，进行求解即可． 【详解】由题意，得：， ∴， ∴，的值可以是0，0； 故选C． 9. 如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ） A. B. C. D. 2m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于， 则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 10. 如图，一次函数（，为常数，且）的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集．观察图象，写出直线在直线的上方，所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与直线都经过点， 故当时，． 故选：D． 11. 如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（ ） A. 160 B. 120 C. 96 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 12. 如图，正方形的边长是5，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据可得，则，．延长至G，使，则G点与A点关于直线对称，连接交于， 此时的长就是的最小值．求出的长即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，以及将军饮马．正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴, ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长至G，使，则G点与A点关于直线对称， 连接交于，连接， 则， 此时，的值最小，最小值为的长， ∵,， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知是整数，则满足条件的最小正整数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，灵活运用二次根式的性质化简二次根式成为解题的关键． 先将进行化简得到，再根据是整数即可解答． 【详解】解：根据题意，化简得：， 又∵是整数， ∴满足条件的最小正整数x为3． 故答案为3． 14. 直角三角形的两边长分别为1和2，则第三边长为_________ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，分类讨论2是斜边和2是直角边两种情况，用勾股定理计算即可． 【详解】当2是斜边时，第三边长； 当2是直角边时，第三边长； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，要熟悉勾股定理的计算同时要注意分类讨论． 15. 小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是9分，9分，8分、若将三项得分依次按比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分． 【答案】8.7 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：小明的最终比赛成绩为分． 故答案为：． 16. 将直线向下平移个单位长度后经过点，则的值是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，掌握平移规律是关键，根据平移得到新的一次函数，再把点代入计算即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位长度后的解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， 解得， 故答案为：1 ． 17. 如图，在边长为的正方形中，，分别是边，的中点连接，． （1）线段与的位置关系为_______； （2）若，分别是，的中点，连接，则线段的长为_________． 【答案】 ①. 垂直 ②. 2 【解析】 【分析】（1）证明得，求出即可得出线段与的位置关系； （2）连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：垂直； （2）解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点，分别是，的中点， ； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 18. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是________； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为________． 【答案】 ①. 10 ②. 1或 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 三、解答题（本大题共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式计算，再算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 20. 如图，在中，，E，F分别是边的中点，连接求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形得出，结合，得出，因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，证明边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是菱形， ∴． 21. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，． （1）是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明； （2）已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米． 【答案】（1）是村庄到河边最近的道路，计算见解析 （2）新路比原路少 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； （2）在中根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路． 小问2详解】 ∵， ∴． 在中，． 由，可知新路比原路少 22. 某校为了解八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图和图． （1）填空：_________，图中值为_________； （2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数、中位数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，请估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约是多少？ 【答案】（1）50，34 （2）平均数为8.36，众数是8，中位数是8 （3）估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150 【解析】 【分析】（1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； （2）根据平均数，中位数，众数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 故答案为：50，34； 【小问2详解】 观察条形统计图， ∵， ∴这组数据平均数为8.36． ∵在这组数据中，8出现了17次，出现的次数最多， ∴本次调查获取的样本数据的众数是8． ∵将这组数据按照从小到大顺序排列，其中处于中间位置的两个数分别是8和8，有， ∴本次调查获取的样本数据的中位数是8． 【小问3详解】 ∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， ∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占30%，有（人）． ∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. “低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车出行．已知小红家，天塔，鼓楼在一条直线上，天塔离小红家，鼓楼离小红家．小红从家骑自行车出发，先匀速骑行到达天塔，在天塔里游玩了后，又匀速骑行了到达鼓楼，在鼓楼参观了，然后匀速骑行了回到家．下面图中表示时间，表示离家的距离，图象反映了这个过程中小红离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 小红离开家的时间/ 1 10 40 90 小红离家的距离 2.4 （2）填空：小红从天塔到鼓楼的骑行速度为________； （3）当时，请直接写出小红离家的距离关于时间的函数解析式； （4）当小红骑车离开鼓楼时，小红的爸爸也从天塔出发匀速步行直接回家，如果小红爸爸步行的速度为，那么小红在回家的途中遇到爸爸时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）0.24，2.4，4 （2）0.16 （3）当时，；当时，；当时， （4） 【解析】 【小问1详解】 解：小红从家到天塔的速度为，则时小红离家的距离为； 由图象可知，当时，；当时，． 故答案为：0.24，2.4，4． 【小问2详解】 小红从天塔到鼓楼的速度为． 故答案为：0.16． 【小问3详解】 当时，设y关于时间x的函数解析式为（、为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ； 当时，； 当时，设y关于时间x的函数解析式为（、为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴； 综上，当时，；当时，；当时，． 【小问4详解】 小红的爸爸回到家所用的时间为， ∴当时从天塔出发，当时到家， ∴小红爸爸离家的距离关于时间的图象如图所示： 设小红爸爸离家的距离y关于时间x的函数解析式为（、为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴， 小红在回家的途中遇到爸爸时，得， 解得， ∴小红在回家的途中遇到爸爸时离家的距离是． 24. 如图，在矩形中，点，在对角线上，点在上，点在上，且四边形为菱形． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可证，由菱形的性质可证，，根据证明，可证结论成立； （2）连接，，与相交于点．先证明，设，在中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴．∴． ∵四边形是菱形， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接，，与相交于点． ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴，即． ∴垂直平分． ∴． 设． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ． 解得，即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与分别与轴相交于点A，，两直线交于点． （1）求，的值． （2）点是轴上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点，与直线交于点． 当时，求点的坐标； 点是直线上一点，在点运动过程中，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点、一次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）分别将代入直线和即可求得k、b的值； （2）①由题意可得：，然后分当P在Q上方和下方两种情况，分别根据列一元一次方程求解即可；②设，然后分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将代入直线可得：，解得：； 将代入直线可得：，解得：． 【小问2详解】 解：①由题意可得：， 如图：当P在Q上方时， ∵， ∴，解得：， ∴； 如图：当P在Q下方时， ∵， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或； ②设， 如图： 由平行线的对角线相互平分可得： ，解得：， ∴； 如图： ，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$