第06讲 有理数的大小比较小升初衔接 2026-2027学年人教版七年级数学上册

1.2.5 有理数的大小比较 —— 导 学 案 —— 【 学生版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 通过探究得出有理数大小的比较方法。 1. 会用绝对值法比较两个负数的大小——两个负数比较，绝对值大的反而小。 1. 能对任意一组有理数进行分类、比较、排序，写出不等式串（如 -3<-1<0<+2）。 【过程与方法】 1. 经历“同一条数轴 → 三类数 → 组内比较” 的思考过程，进一步发展数形结合 与分类思想。 1. 通过“两负数比较” 的辨析（|-5|>|-3| 但 -5<-3），培养辩证与逆向思维。 【情感态度与价值观】 1. 感受生活中的“比较”——气温高低、海拔升降、盈亏对比——都可以用有理数表达。 二、学习重难点 重 点 ① 数轴法与绝对值法 两种比较工具；② “正数 > 0 > 负数” 的三类关系；③ 会写不等式串。 难 点 两个负数比较大小时——“绝对值大的反而小” 的辩证理解（学生的“顺推”直觉正好是错的）。 易错点 ① 顺推 “|-7|>|-2| ⇒ -7>-2”；② 分数比较不通分（- 与 - 谁大？）；③ 不等式串写反（把 0<-1<-2 当成从小到大）；④ 忽视“0”的位置——0 比一切负数大、比一切正数小。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学里我们是怎样比较大小的？ 请把小学阶段常用的比较方法填一填： 比较对象 方 法 举 例 两个正整数 ____________________ ________ 两个同分母分数 ____________________ ________ 两个异分母分数 ____________________ ________ 两个小数 ____________________ ________ 💡 小学阶段的比较是“全在 0 的右边”进行的：我们没接触过负数，也不用担心“正负号”。到了初中，数系“向左延伸”到了负数，比较大小的方法就要升级——这就是本节课的任务。 🔍 回顾二：我们的“工具箱”里都有什么？ 本章前 4 节我们已经积累了 4 件“比较神器”，请填空： 小节 核心概念 怎样帮我们比较大小？ 1.2.1 正数、0、负数 ________________ 1.2.2 数轴（原点/正方向/单位长度） ________________ 1.2.3 相反数（+a 与 -a 关于原点对称） ________________ 1.2.4 绝对值（|a| = 到原点的距离） ________________ 一句话小结：本节课要把 4 件工具串起来用，尤其是数轴和绝对值 这两件——它们是比较有理数大小的“双剑合璧”。 四、新知探究 探究一：数轴法——数轴上右边的数总比左边的大（10 分钟） 📋 观察活动：把 5 个数请上数轴 请把 -3、-1.5、0、+1、+ 这 5 个数在同一条数轴上描出来，并观察它们的位置关系： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 🧠 思考：你能用一句话总结出“数轴上两个点表示的数”的大小关系吗？ 💡 数轴法定则：在数轴上，右边 的数总是大于 左边 的数——即数轴上的点“越靠右越大，越靠左越小”。 推 论：① 正数都在 0 的右边，所以 正数 > 0；② 负数都在 0 的左边，所以 负数 < 0；③ 正数在负数的右边，所以 正数 > 负数。合起来：三类数关系 = 正数 > 0 > 负数。 ✏️ 小试牛刀：用 > 或 < 填空 (1) +6 ___ 0； (2) 0 ___ -8； (3) +2 ___ -100； (4) - ___ +。 探究二：两个负数怎么比？——绝对值法（12 分钟，核心难点） 🔥 情境冲突：“-3” 与 “-5” 谁大？ 小明说：5 比 3 大，所以 -5 比 -3 大！ 小红说：不对！画个数轴看看…… 请你也画一条数轴，把 -3 和 -5 标出来，看看到底谁大： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 🧮 算一算：|·| 看一看 两个负数 各自绝对值 绝对值大小 原数大小（数轴上验证） -3 和 -5 |-3|=3，|-5|=5 ____ ____ -2 和 -7 ____________ ____ ____ - 和 - ____________ ____ ____ 🎯 归纳规律：你有没有发现——两个负数比较大小，“绝对值大的”在数轴上反而离原点更远、更靠左，所以反而更小！ 💡 绝对值法定则（本节最核心）： 1. 两个正数比较大小：绝对值大的大。 例：|+5|>|+3| ⇒ +5>+3 ✓（顺推） 1. 两个负数比较大小：绝对值大的 反而小！例：|-5|>|-3| ⇒ -5<-3 ✗（顺推错，要颠倒） 1. 正数与负数比较：不用算绝对值，正 > 负 直接判！ 1. 任何数与 0比较：正数 > 0；负数 < 0；0 = 0。 🧠 一句口诀：“同号看绝对值——正大负小；异号正数一定大。” 🤔 类比理解：为什么 “负数绝对值大 = 更小”？ 生活类比：把负数当作“欠账”。张三欠 3 元（-3 元），李四欠 5 元（-5 元）——欠得多的（绝对值大的）反而“更穷”，也就是钱更“少”、代数上更“小”。所以 -5 < -3。 数轴类比：负数离原点越远（绝对值越大），在数轴上越靠左，越靠左就越小。 探究三：多个有理数排序——“三步走”综合运用（8 分钟） 现在我们要给一堆有理数排序——比如把下面 6 个数按从小到大排列： -2、+、0、-、+5、-3.5 🔑 通用三步法 第 1 步 分三类：负数、0、正数——三类有天然的大小顺序：负 < 0 < 正。 第 2 步 组内比较：正数组，绝对值大的大；负数组，绝对值大的反而小。 第 3 步 串联结果：从小到大写成不等式串 a₁ < a₂ < a₃ < ... < aₙ。 ✏️ 请你按三步法把上面 6 个数从小到大排列： 第 1 步 分类： 负数组：______________________________ 零：____________ 正数组：______________________________ 第 2 步 组内比较： 负数组从小到大：______________________________ 正数组从小到大：______________________________ 第 3 步 串联（写不等式串）： ____________________________________________________ 五、典例精讲 例 1【数轴法比较】 用 ">" 或 "<" 号填空（无需过程，凭“正负分类” 或 “数轴上位置” 直接判断）： 题 目 答 案 理 由 (1) -8 ___ 0 ____ ________________ (2) 0 ___ -7 ____ ________________ (3) +5 ___ -3 ____ ________________ (4) + ___ - ____ ________________ (5) -1 ___ +100 ____ ________________ 例 2【两个负数比较——需要动脑！】 请比较下列每组数的大小，并写出比较过程： (1) -6 与 -8 解：______________________________________________________________ ∴ __________________________________ (2) - 与 - 解：______________________________________________________________ ∴ __________________________________ (3) -3.5 与 -4 解：______________________________________________________________ ∴ __________________________________ (4) - 与 - 解：______________________________________________________________ ∴ __________________________________ 例 3【多数排序——三步法综合应用】 把下列 6 个数按从小到大排列（用不等式串表达）： +5、-、0、-3、+、-1.5 【解】按三步法： 第 1 步 分类： 负数组：___________________________ 零：____； 正数组：___________________________ 第 2 步 组内比较： 负数组从小到大：______________________________________ 正数组从小到大：______________________________________ 第 3 步 不等式串： _______________________________________________________ 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.【概念填空】 （1）三类数的关系（用 > 或 < 填）：正数 ___ 0 ___ 负数。 （2）在数轴上，越靠 ___ 的数越大，越靠 ___ 的数越小。 （3）两个负数比较大小，绝对值____的反而____。 2.【辨析选择】 下列说法正确的是（ ） A. 因为 |-9| > |-5|，所以 -9 > -5 B. 数轴上，离原点越远的数越大 C. 任何正数都大于任何负数 D. 若 a < b，则 |a| < |b| 3.【比较大小】 请用 > 或 < 号填空： (1) - ___ - (2) -0.6 ___ - (3) - ___ - (4) -|+3| ___ -(-3) 4.【数轴排序】 请把下列 5 个数在数轴上描出对应的点，然后从小到大写成不等式串： -、+3、-1、+、0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 从小到大：_______________________________________________________ 七、课堂小结（思维导图） ┌── 三类数天然顺序：正数 > 0 > 负数 │ ├── 数轴法（几何） │ └── 数轴上：右边 > 左边 有理数大小比较 ──────┤ ├── 绝对值法（代数） │ ├── 两正数：绝对值大 ⇒ 大 （顺推） │ ├── 两负数：绝对值大 ⇒ 小 （颠倒！） │ └── 一正一负：直接判 正 > 负 │ └── 多数排序·三步法 ├── 第 1 步：分三类（负 / 零 / 正） ├── 第 2 步：组内比大小 └── 第 3 步：串成不等式串 🎯 三条核心结论： 1. 正数 > 0 > 负数——这是三类有理数的“天然”顺序。 1. 数轴法：数轴上，右边的数总比左边的大。（数形结合） 1. 绝对值法：两正数——绝对值大的大；两负数——绝对值大的反而小。 🧠 一句口诀：“同号看绝对值——正大负小；异号正数一定大。” 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）数轴上表示 -3 的点在表示 -5 的点的右边。 （ ） 理由：____________________________________________________ （2）两个负数比较大小，绝对值小的反而大。 （ ） 理由：____________________________________________________ （3）因为 |-7| > |-2|，所以 -7 > -2。 （ ） 理由：____________________________________________________ （4）若 a > 0，b < 0，则一定 a > b。 （ ） 理由：____________________________________________________ （5）数轴上离原点越远的数一定越大。 （ ） 理由：____________________________________________________ （6）0 是最小的有理数。 （ ） 理由：____________________________________________________ 2.【填空题】 （1）用 ">" 或 "<" 填空： - ___ -； -2.4 ___ -； -|-3| ___ 0。 （2）数轴上表示 - 的点在原点的 _____ 侧，在表示 -3 的点的 _____ 边。 （3）绝对值最小的有理数是 _______；最大的负整数是 _______；最小的正整数是 _______；没有最大的负数、也没有最小的正数（因为负数、正数都是无限延伸的）。 3.【比较大小·写过程】 请比较下列每组数的大小，并写出比较过程（可以用绝对值法或数轴法）： (1) - 与 - 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ ∴ ___________________ (2) + 与 -3.5 解：__________________________________________________________ ∴ ___________________ (3) - 与 - 解：__________________________________________________________ __________________________________________________________ ∴ ___________________ 🅱️ 能力提升（选做） 4.【多数排序】 请把下列 6 个数按从小到大排列，写成不等式串（用三步法）： -、+2、-1、0、+、-0.5 第 1 步 分类： 负数：__________________________ 零：____； 正数：__________________________ 第 2 步 组内比大小： 负数组从小到大：__________________________________ 正数组从小到大：__________________________________ 第 3 步 不等式串： ______________________________________________________ 5.【条件推理】 已知有理数 a、b、c 满足：a < 0 < b，|a| > b，c > 0 且 c < b。 (1) 请把 a、b、c、0、-a 五个数按从小到大排列。 (2) 请写出 |a|、|b|、|c| 三个绝对值的大小关系。 (1) 排序：_______________________________________________ (2) 绝对值大小关系：_____________________________________ 6.【生活应用】 某日中国 5 个城市的最低气温记录（单位：℃）如下表： 城 市 哈尔滨 北 京 上 海 广 州 三 亚 气温 -28 -5 +6 +15 +22 (1) 请把 5 个城市按气温从冷到热（即从小到大）排序； (2) 哈尔滨比北京冷多少度？（用绝对值列式） (3) 本表中气温最高与最低的差是多少？ (1) 从冷到热：__________________________________________________ (2) 温差 = | ____ - ____ | = ____ ℃ (3) 极值差 = ____ ℃ 🅲 拓展探究（学有余力） 7.【不等式的整数解】 请写出所有满足下列条件的整数 x： (1) |x| ≤ 3； (2) |x| < 3； (3) 2 ≤ |x| < 5。 解： (1) x = _______________________________________________ (2) x = _______________________________________________ (3) x = _______________________________________________ 8.【创意实践·我的一周气温数轴】 请完成以下调查与制作： 1. ① 查阅：查询你所在城市本周 7 天的最低气温（可用天气 App、报纸、电视等）。 1. ② 数轴：在一张 A4 纸上画一条水平数轴，1 单位长度 = 2 ℃；把 7 天最低气温对应的点标出来，写上“星期几”。 1. ③ 排序：把 7 天气温按从小到大写成不等式串。 1. ④ 分析：回答以下 4 个问题： a. 哪天最冷？哪天最暖？ b. 本周最大温差是多少？（用绝对值列式） c. 有几天气温 < 0 ℃？ d. 有没有绝对值相等但正负相反的两天？（如 -3 与 +3） 1. ⑤ 分享：下节课带来你的“气温数轴海报”与同学互评。要求：图文并茂，坐标清晰，分析准确。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出“正数 > 0 > 负数”的三类关系 □ □ □ 会用数轴法比较有理数大小（右边 > 左边） □ □ □ 会用绝对值法比较两个负数（绝对值大的反而小） □ □ □ 会用“三步法”对一组有理数排序，写不等式串 □ □ □ 能用有理数比较解决生活情境问题（气温、海拔、盈亏） □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.5 有理数的大小比较 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 【知识与技能】 1. 通过探究得出有理数大小的比较方法。 1. 会用绝对值法比较两个负数的大小——两个负数比较，绝对值大的反而小。 1. 能对任意一组有理数进行分类、比较、排序，写出不等式串（如 -3<-1<0<+2）。 【过程与方法】 1. 经历“同一条数轴 → 三类数 → 组内比较” 的思考过程，进一步发展数形结合 与分类思想。 1. 通过“两负数比较” 的辨析（|-5|>|-3| 但 -5<-3），培养辩证与逆向思维。 【情感态度与价值观】 1. 感受生活中的“比较”——气温高低、海拔升降、盈亏对比——都可以用有理数表达。 2、 学习重难点 重 点 ① 数轴法与绝对值法 两种比较工具；② “正数 > 0 > 负数” 的三类关系；③ 会写不等式串。 难 点 两个负数比较大小时——“绝对值大的反而小” 的辩证理解（学生的“顺推”直觉正好是错的）。 易错点 ① 顺推 “|-7|>|-2| ⇒ -7>-2”；② 分数比较不通分（- 与 - 谁大？）；③ 不等式串写反（把 0<-1<-2 当成从小到大）；④ 忽视“0”的位置——0 比一切负数大、比一切正数小。 三、小初衔接 · 知识回顾（自主预习 5 分钟） 🔍 回顾一：小学里我们是怎样比较大小的？ 请把小学阶段常用的比较方法填一填： 比较对象 方 法 举 例 两个正整数 看位数，位数多的大；位数相同看最高位。 1024 > 999 两个同分母分数 分子大的大。 > 两个异分母分数 先通分变同分母，再看分子。 通分 > 即 两个小数 从高位起一位一位比较。 3.14 > 3.09 💡 小学阶段的比较是“全在 0 的右边”进行的：我们没接触过负数，也不用担心“正负号”。到了初中，数系“向左延伸”到了负数，比较大小的方法就要升级——这就是本节课的任务。 🔍 回顾二：我们的“工具箱”里都有什么？ 本章前 4 节我们已经积累了 4 件“比较神器”，请填空： 小节 核心概念 怎样帮我们比较大小？ 1.2.1 正数、0、负数 分三类：正数 > 0 > 负数 1.2.2 数轴（原点/正方向/单位长度） 在数轴上，右边的数 > 左边的数 1.2.3 相反数（+a 与 -a 关于原点对称） 帮我们判断“两个数是否对称” 1.2.4 绝对值（|a| = 到原点的距离） 两个负数：绝对值大 ⇒ 更远 ⇒ 更“小” 一句话小结：本节课要把 4 件工具串起来用，尤其是数轴和绝对值 这两件——它们是比较有理数大小的“双剑合璧”。 四、新知探究 探究一：数轴法——数轴上右边的数总比左边的大（10 分钟） 📋 观察活动：把 5 个数请上数轴 请把 -3、-1.5、0、+1、+ 这 5 个数在同一条数轴上描出来，并观察它们的位置关系： -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 教师提示：让学生亲手在数轴上标出 5 个数。学生描完点后引导观察：从左到右的顺序依次是 -3, -1.5, 0, +1, +——正好是 “由小到大” 的顺序！ 🧠 思考：你能用一句话总结出“数轴上两个点表示的数”的大小关系吗？ 💡 数轴法定则：在数轴上，右边 的数总是大于 左边 的数——即数轴上的点“越靠右越大，越靠左越小”。 推 论：① 正数都在 0 的右边，所以 正数 > 0；② 负数都在 0 的左边，所以 负数 < 0；③ 正数在负数的右边，所以 正数 > 负数。合起来：三类数关系 = 正数 > 0 > 负数。 ✏️ 小试牛刀：用 > 或 < 填空 (1) +6 ___ 0； (2) 0 ___ -8； (3) +2 ___ -100； (4) - ___ +。 参考答案： (1) +6 > 0；(2) 0 > -8；(3) +2 > -100（不管正数多小、负数多大，正数永远大于负数！）；(4) - < +（负数 < 0 < 正数）。 探究二：两个负数怎么比？——绝对值法（12 分钟，核心难点） 🔥 情境冲突：“-3” 与 “-5” 谁大？ 小明说：5 比 3 大，所以 -5 比 -3 大！ 小红说：不对！画个数轴看看…… 请你也画一条数轴，把 -3 和 -5 标出来，看看到底谁大： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 教师提示：-3 在 -5 的右边，所以 -3 > -5。小明错了！“负号”不是可以忽略的装饰，它会“颠倒”比较关系。 🧮 算一算：|·| 看一看 两个负数 各自绝对值 绝对值大小 原数大小（数轴上验证） -3 和 -5 |-3|=3，|-5|=5 5 > 3 -3 > -5 -2 和 -7 |-2|=2，|-7|=7 7 > 2 -2 > -7 - 和 - ||=，||= > - < - 🎯 归纳规律：你有没有发现——两个负数比较大小，“绝对值大的”在数轴上反而离原点更远、更靠左，所以反而更小！ 💡 绝对值法定则（本节最核心）： 1. 两个正数比较大小：绝对值大的大。 例：|+5|>|+3| ⇒ +5>+3 ✓（顺推） 1. 两个负数比较大小：绝对值大的 反而小！例：|-5|>|-3| ⇒ -5<-3 ✗（顺推错，要颠倒） 1. 正数与负数比较：不用算绝对值，正 > 负 直接判！ 1. 任何数与 0比较：正数 > 0；负数 < 0；0 = 0。 🧠 一句口诀：“同号看绝对值——正大负小；异号正数一定大。” 🤔 类比理解：为什么 “负数绝对值大 = 更小”？ 生活类比：把负数当作“欠账”。张三欠 3 元（-3 元），李四欠 5 元（-5 元）——欠得多的（绝对值大的）反而“更穷”，也就是钱更“少”、代数上更“小”。所以 -5 < -3。 数轴类比：负数离原点越远（绝对值越大），在数轴上越靠左，越靠左就越小。 探究三：多个有理数排序——“三步走”综合运用（8 分钟） 现在我们要给一堆有理数排序——比如把下面 6 个数按从小到大排列： -2、+、0、-、+5、-3.5 🔑 通用三步法 第 1 步 分三类：负数、0、正数——三类有天然的大小顺序：负 < 0 < 正。 第 2 步 组内比较：正数组，绝对值大的大；负数组，绝对值大的反而小。 第 3 步 串联结果：从小到大写成不等式串 a₁ < a₂ < a₃ < ... < aₙ。 ✅ 教师示范：三步演示 原数：-2、+、0、-、+5、-3.5 第 1 步 分类： 1. 负数组：-2、-、-3.5 1. 零：0 1. 正数组：+、+5 第 2 步 组内比较： 1. 负数组：|-2|=2，||=，|-3.5|=3.5；绝对值 3.5>2>， 1. 按“绝对值大反而小”，负数从小到大：-3.5 < -2 < - 1. 正数组： = 1.5 < 5，所以 + < +5 第 3 步 串联： -3.5 < -2 < - < 0 < + < +5 ✓ 🎯 复盘：整个过程使用了本章 4 件工具——正负分类（1.2.1）、数轴（1.2.2）作直观支撑、绝对值（1.2.4）作组内比较——1.2.5 是前 4 节的“集大成”。 五、典例精讲 例 1【数轴法比较】 用 ">" 或 "<" 号填空（无需过程，凭“正负分类” 或 “数轴上位置” 直接判断）： 题 目 答 案 理 由 (1) -8 ___ 0 ＜ 负数 < 0，所以 -8 < 0，即 0 > -8 (2) 0 ___ -7 > 0 > 负数 (3) +5 ___ -3 > 正数 > 负数，不需要具体比大小 (4) + ___ - > 正数 > 负数（不需要通分！） (5) -1 ___ +100 < 负数 < 正数（正数就算再小也大于负数） 【教学点拨】 1. 这一组题目有意不涉及“两负数”——只要一方是正数（或 0），比较就非常容易。让学生先建立起“正负分类”的直觉。 1. 特别提醒 (4)：+ 虽然是一个 <1 的分数，看起来“小”；- 的绝对值虽然大一点。但只要 (4) 一正一负，就直接判“正 > 负”，不需要通分、不需要算绝对值！ 例 2【两个负数比较——需要动脑！】 请比较下列每组数的大小，并写出比较过程： (1) -6 与 -8 解： 因为 |-6|=6，|-8|=8，且 8>6；两负数“绝对值大的反而小”，所以 -8 < -6，即 -6 > -8 ∴ -6 > -8 (2) - 与 - 解： 先取绝对值：|-|=，|-|=； 通分：=，=， > ； 两负数绝对值大的反而小，所以 - < - ∴ - < - (3) -3.5 与 -4 解： |-3.5|=3.5，|-4|=4；4 > 3.5；绝对值大的反而小，所以 -4 < -3.5，即 -3.5 > -4。 ∴ -3.5 > -4 (4) - 与 - 解： |-|=，|-|=； 通分（分母 36）：=，=； > ； 所以 - < - 例 3【多数排序——三步法综合应用】 把下列 6 个数按从小到大排列（用不等式串表达）： +5、-、0、-3、+、-1.5 【解】按“三步法”： 第 1 步 分类： 负数组：-、-3、-1.5； 零：0； 正数组：+5、+ 第 2 步 组内比较： 1. 负数组：|-|=≈0.67，|-3|=3，|-1.5|=1.5；绝对值 3 > 1.5 > ； 1. 按“绝对值大反而小”，负数从小到大：-3 < -1.5 < - 1. 正数组： = 0.4 < 5，所以 + < +5 第 3 步 串联： -3 < -1.5 < - < 0 < + < +5 ✓ 🎯 复盘：三步法的关键是先分类，再组内比，最后串联；负数组比较时最容易翻车——一定要“颠倒”。 六、当堂检测（8 分钟，独立完成） 1.【概念填空】 （1）三类数的关系（用 > 或 < 填）：正数 ___ 0 ___ 负数。 （2）在数轴上，越靠 ___ 的数越大，越靠 ___ 的数越小。 （3）两个负数比较大小，绝对值____的反而____。 答：（1）正数 > 0 > 负数；（2）越靠右 越大，越靠左 越小；（3）绝对值 大 的反而 小。 2.【辨析选择】 下列说法正确的是（ C ） A. 因为 |-9| > |-5|，所以 -9 > -5 B. 数轴上，离原点越远的数越大 C. 任何正数都大于任何负数 D. 若 a < b，则 |a| < |b| 答：C 1. A 错：两负数“绝对值大的反而小”，应为 -9 < -5。 1. B 错：只在正半轴成立。负数离原点越远反而越小（如 -100 远比 -1 小）。 1. C 对：正数 > 0 > 负数，这是三类数关系的直接推论。 1. D 错：反例：a = -5，b = -3，a < b 但 |a| = 5 > |b| = 3。绝对值的大小和原数的大小不是同向的！ 3.【比较大小】 请用 > 或 < 号填空： (1) - ___ - > (2) -0.6 ___ - = (3) - ___ - < (4) -|+3| ___ -(-3) < 参考解答： 1. 通分：=，=； > ；绝对值大的反而小，所以 - > -。答：- > - 1. -0.6 = - = -；两个数相等！答：-0.6 = - 1. |-|= = 0.875，|-|= = 0.5；绝对值大的反而小，所以 - < - 1. 先化简：-|+3| = -3；-(-3) = +3；-3 < +3。答：-|+3| < -(-3) 4.【数轴排序】 请把下列 5 个数在数轴上描出对应的点，然后从小到大写成不等式串： -、+3、-1、+、0 【解】 参考数轴（教师示范用）： -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 排序：先分类——负数：-、-1（- = -2.5，绝对值 2.5 > 1，所以 - < -1）；零：0；正数：+、+3（+ < +3）。 不等式串：- < -1 < 0 < + < +3 ✓ 七、课堂小结（思维导图） ┌── 三类数天然顺序：正数 > 0 > 负数 │ ├── 数轴法（几何） │ └── 数轴上：右边 > 左边 有理数大小比较 ──────┤ ├── 绝对值法（代数） │ ├── 两正数：绝对值大 ⇒ 大 （顺推） │ ├── 两负数：绝对值大 ⇒ 小 （颠倒！） │ └── 一正一负：直接判 正 > 负 │ └── 多数排序·三步法 ├── 第 1 步：分三类（负 / 零 / 正） ├── 第 2 步：组内比大小 └── 第 3 步：串成不等式串 🎯 三条核心结论： 1. 正数 > 0 > 负数——这是三类有理数的“天然”顺序。 1. 数轴法：数轴上，右边的数总比左边的大。（数形结合） 1. 绝对值法：两正数——绝对值大的大；两负数——绝对值大的反而小。 🧠 一句口诀：“同号看绝对值——正大负小；异号正数一定大。” 八、分层作业 🅰️ 基础巩固（必做） 1.【判断题】 下列说法正确的打 √，错误的打 ×，并简要说明理由。 （1）数轴上表示 -3 的点在表示 -5 的点的右边。 【√】 理由：-3 > -5，数轴上大数在右边。（负数：绝对值小的反而大） （2）两个负数比较大小，绝对值小的反而大。 【√】 理由：“绝对值大的反而小”的等价说法。 （3）因为 |-7| > |-2|，所以 -7 > -2。 【×】 理由：两负数“绝对值大反而小”，应为 -7 < -2。 （4）若 a > 0，b < 0，则一定 a > b。 【√】 理由：正数 > 负数（不管两者具体大小）。 （5）数轴上离原点越远的数一定越大。 【×】 理由：只对正半轴成立。负半轴上离原点越远反而越小（如 -100 << -1）。 （6）0 是最小的有理数。 【×】 理由：0 不是最小——所有负数都小于 0，且负数没有“最小”（-1、-100、-10⁶ 都比 0 小）。 2.【填空题】 （1）用 ">" 或 "<" 填空： - < -； -2.4 = -； -|-3| < 0。 （2）数轴上表示 - 的点在原点的 左 侧，在表示 -3 的点的 右 边。 （3）绝对值最小的有理数是 0；最大的负整数是 -1；最小的正整数是 +1；没有最大的负数、也没有最小的正数（因为负数、正数都是无限延伸的）。 【说明 (1) 第 1 空】 - 与 -：|-|= = ；|-|= = ； > ；两负数绝对值大反而小，所以 - ＜ -。 【说明 (1) 第 2 空】 -2.4 = - = -，两数完全相等，用 "="。 【说明 (1) 第 3 空】 -|-3| = -3 < 0。 3.【比较大小·写过程】 请比较下列每组数的大小，并写出比较过程（可以用绝对值法或数轴法）： (1) - 与 - 解：|-|= = ；|-|= = ； > ；两负数绝对值大反而小， ∴ - < -。 (2) + 与 -3.5 解：一正一负——正数一定大于负数， ∴ + > -3.5。 (3) - 与 - 解：通分（分母 60）：|-|= = ；|-|= = ； > ；两负数绝对值大反而小， ∴ - < -。 🅱️ 能力提升（选做） 4.【多数排序】 请把下列 6 个数按从小到大排列，写成不等式串（用三步法）： -、+2、-1、0、+、-0.5 【解】 1. 第 1 步 分类：负数：-、-1、-0.5；零：0；正数：+2、+ 1. 第 2 步 组内比：|-|= = 3.5，|-1|=1，|-0.5|=0.5；绝对值 3.5 > 1 > 0.5； 1. 负数从小到大：- < -1 < -0.5 1. 正数： = 0.75 < 2，正数从小到大：+ < +2 第 3 步 串联： - < -1 < -0.5 < 0 < + < +2 ✓ 5.【条件推理】 已知有理数 a、b、c 满足：a < 0 < b，|a| > b，c > 0 且 c < b。 (1) 请把 a、b、c、0、-a 五个数按从小到大排列。 (2) 请写出 |a|、|b|、|c| 三个绝对值的大小关系。 【解】 分析条件： 1. a < 0 < b：a 在原点左侧，b 在原点右侧； 1. |a| > b：a 到原点的距离比 b 到原点的距离更远； 1. c > 0 且 c < b：c 是正数且比 b 小，所以 0 < c < b； 1. -a 是 a 的相反数，因为 a < 0，所以 -a > 0；且 |-a| = |a|，即 -a = |a| > b。 (1) 综合： a 在最左（负数中绝对值最大）；然后 0；然后 c；然后 b；最后 -a（=|a|，最大）。 a < 0 < c < b < -a ✓ (2) 绝对值大小：|c| = c < b = |b|（因为 c < b 且都是正数）；|a| > b = |b|；所以 |c| < |b| < |a|。 🎯 复盘：条件推理题的关键是把每个条件翻译成“数轴上的位置”——数形结合能大大降低推理难度。 6.【生活应用】 某日中国 5 个城市的最低气温记录（单位：℃）如下表： 城 市 哈尔滨 北 京 上 海 广 州 三 亚 气温 -28 -5 +6 +15 +22 (1) 请把 5 个城市按气温从冷到热（即从小到大）排序； (2) 哈尔滨比北京冷多少度？（用绝对值列式） (3) 本表中气温最高与最低的差是多少？ 【解】 1. (1) 冷到热排序：先分类——负数：-28、-5；零：无；正数：+6、+15、+22；负数组：|-28|=28 > |-5|=5，绝对值大反而小，所以 -28 < -5；正数组：+6 < +15 < +22。合起来：哈尔滨(-28) < 北京(-5) < 上海(+6) < 广州(+15) < 三亚(+22) 1. (2) 温差计算：哈尔滨温度是 -28℃，北京是 -5℃。两地“差”用绝对值表示：|-28|-|-5| = 23 ℃。哈尔滨比北京冷 23 ℃。 1. (3) 极值差：最高 +22℃（三亚），最低 -28℃（哈尔滨）：|+22| +|- 28| = 50 ℃。 🎯 复盘：生活情境里，“温差”、“海拔差”、“盈亏差”这些量都用“两数之差的绝对值”来表达——绝对值天生就是描述“差多少”的工具。 🅲 拓展探究（学有余力） 7.【不等式的整数解】 请写出所有满足下列条件的整数 x： (1) |x| ≤ 3； (2) |x| < 3； (3) 2 ≤ |x| < 5。 【解】 1. (1) |x| ≤ 3 表示 x 到原点距离不超过 3，即 -3 ≤ x ≤ 3。整数解共 7 个：x = -3、-2、-1、0、1、2、3。 1. (2) |x| < 3 表示 -3 < x < 3（严格小于）。整数解共 5 个：x = -2、-1、0、1、2（注意 -3 和 +3 都不满足）。 1. (3) 2 ≤ |x| < 5 表示 x 到原点距离在 [2, 5)。分两段：2 ≤ x < 5 → x = 2、3、4；-5 < x ≤ -2 → x = -4、-3、-2。共 6 个：x = -4、-3、-2、2、3、4。 🎯 复盘：|x| ≤ k 这类不等式的整数解题，是 1.2.4 绝对值“几何意义”与 1.2.5“大小比较”的联合应用——把绝对值不等式转化为x 的双向不等式串，再枚举整数。这类题会伴随后续整个初中数学。 8.【创意实践·我的一周气温数轴】 请完成以下调查与制作： 1. ① 查阅：查询你所在城市本周 7 天的最低气温（可用天气 App、报纸、电视等）。 1. ② 数轴：在一张 A4 纸上画一条水平数轴，1 单位长度 = 2 ℃；把 7 天最低气温对应的点标出来，写上“星期几”。 1. ③ 排序：把 7 天气温按从小到大写成不等式串。 1. ④ 分析：回答以下 4 个问题： a. 哪天最冷？哪天最暖？ b. 本周最大温差是多少？（用绝对值列式） c. 有几天气温 < 0 ℃？ d. 有没有绝对值相等但正负相反的两天？（如 -3 与 +3） 1. ⑤ 分享：下节课带来你的“气温数轴海报”与同学互评。要求：图文并茂，坐标清晰，分析准确。 【评价维度】 1. ① 数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）标注是否完整； 1. ② 7 天气温描点位置是否正确（尤其是负数与分数）； 1. ③ 不等式串是否写对（尤其两个负数比较）； 1. ④ 温差计算是否用了 |a-b| 的绝对值形式； 1. ⑤ 是否有创意（如颜色、图标、附加统计数据）。 🎯 教学价值：这道题综合了本章 1.2.1~1.2.5 全部内容——正负数（1.2.1）、数轴（1.2.2）、相反数（1.2.3）、绝对值（1.2.4）、大小比较（1.2.5）——是本单元的完美收束。 九、学习反思（课后自评） 反思项目 完全掌握 ☺ 基本掌握 😐 还需努力 😟 能说出“正数 > 0 > 负数”的三类关系 □ □ □ 会用数轴法比较有理数大小（右边 > 左边） □ □ □ 会用绝对值法比较两个负数（绝对值大的反而小） □ □ □ 会用“三步法”对一组有理数排序，写不等式串 □ □ □ 能用有理数比较解决生活情境问题（气温、海拔、盈亏） □ □ □ 我的困惑： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 我的收获： _______________________________________________________________ 　　　　　 _______________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $